專題1起勢-極值點(diǎn)偏移“0”開始(學(xué)生版+解析)

極值點(diǎn)偏移“0”開始自古習(xí)武由基礎(chǔ)動作開始，武術(shù)基本功分為肩功、腰功、腿功、手形、手法、步形、步法、跌撲滾翻等。學(xué)習(xí)極值點(diǎn)偏移咱們從“0”開始……極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn).如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏；若，則稱為極值點(diǎn)右偏.如函數(shù)的極值點(diǎn)剛好在方程的兩根中點(diǎn)的左邊，我們稱之為極值點(diǎn)左偏.極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.問題初現(xiàn)，形神合聚★函數(shù)有兩極值點(diǎn)，且.證明：.★已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，過的中點(diǎn)作軸的垂線分別交，于點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.內(nèi)練精氣神，外練手眼身★已知函數(shù)f(x)=－ax(a>0).(1)當(dāng)a=1時(shí)，求證：對于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函數(shù)y=f(x)恰好在x=x1和x=x2兩處取得極值，求證：x1★過點(diǎn)P（1,0）作曲線f(x)=ex的切線（1）求切線l的方程；（2）若直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1)極值點(diǎn)偏移問題在近幾年高考及各種?？?，作為熱點(diǎn)以壓軸題的形式給出，很多學(xué)生對待此類問題經(jīng)常是束手無策，而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型又是含有參數(shù)的.其實(shí)，此類問題處理的手段有很多，方法也就有很多，下面我們來逐一探索！極值點(diǎn)偏移“0”開始自古習(xí)武由基礎(chǔ)動作開始，武術(shù)基本功分為肩功、腰功、腿功、手形、手法、步形、步法、跌撲滾翻等。學(xué)習(xí)極值點(diǎn)偏移咱們從“0”開始……極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn).如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏；若，則稱為極值點(diǎn)右偏.如函數(shù)的極值點(diǎn)剛好在方程的兩根中點(diǎn)的左邊，我們稱之為極值點(diǎn)左偏.極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.問題初現(xiàn)，形神合聚★函數(shù)有兩極值點(diǎn)，且.證明：.所以，所以，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞減所以，即.★已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，過的中點(diǎn)作軸的垂線分別交，于點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.內(nèi)練精氣神，外練手眼身★已知函數(shù)f(x)=－ax(a>0).(1)當(dāng)a=1時(shí)，求證：對于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函數(shù)y=f(x)恰好在x=x1和x=x2兩處取得極值，求證：x1【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝ex?12x2﹣則f′（x）＝ex﹣x﹣1，∴f″（x）＝ex﹣1＞0，（x＞0），∴f′（x）＝ex﹣x﹣1單調(diào)遞增，∴f′（x）＞f′（0）＝0，∴f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（0）＝1＞0，故對于任意x＞0，都有f（x）＞0成立；（2）∵函數(shù)y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2兩處取得極值∴x1，x2是方程f′（x）＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)x1＜x2，∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，當(dāng)a≤0時(shí)，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）單調(diào)遞增，f′（x）＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不符合題意，當(dāng)a＞0時(shí)，f″（x）＜0的解集為（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集為（lna，+∞），∴f′（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，由題意，應(yīng)有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，此時(shí)f′（﹣1）0，∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0，易知當(dāng)時(shí)，f(x).∴存在x2∈（lna，）使得f′（x2）＝0，∴a＞1滿足題意，∵f′（x1）＝f′（x2）＝0，∴ex1?ax∴a=e∴f″（x1+x22）=設(shè)x2?∴ex2?x設(shè)g（t）＝（2t﹣et）et+1，∴g′（t）＝2（t+1﹣et）et，由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣et）et＜0恒成立，∴g（t）單調(diào)遞減，∴g（t）＜g（0）＝0，即f″（x1∴e∴l(xiāng)na．★過點(diǎn)P(_?,0)作曲線f(x)=ex的切線（1）求切線l的方程；（2）若直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1)【答案】（1）y=x+1（2）見解析【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率y'|x=0=1，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程y=x+1因?yàn)?，不妨設(shè)x1<?2，x2設(shè)g(x)=f(x)?f(?4?x)，則g'當(dāng)x>?2時(shí)，g'(x)>0，g(x)在(?2,+_?所以g(x)>g(?2)=0，所以當(dāng)x>?2時(shí)，f(x)>f(?4?x)．因?yàn)閤2>?2，所以從而f(x1)>f(?4?x2)