第2章 微專題進(jìn)階課1　函數(shù)的新定義問題-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）

函數(shù)的新定義問題在函數(shù)的概念與表示中，函數(shù)新定義問題是一個?？紵狳c(diǎn)知識，通過函數(shù)新定義問題考查閱讀理解能力，分析問題、解決問題的能力，也是復(fù)習(xí)的一個難點(diǎn)．概念型新定義函數(shù)問題已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，0≤x≤1，,x－1，1<x≤2.))如果對任意的n∈N*，定義fn(x)＝，那么f2021(2)的值為()A．0 B．1C．2 D．3A解析：因?yàn)閒1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期為3，所以f2021(2)＝f3×673＋2(2)＝f2(2)＝0.(多選題)若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函數(shù)”．例如函數(shù)y＝x2，x∈[1,2]與函數(shù)y＝x2，x∈[－2，－1]即為“同值函數(shù)”．給出下面四個函數(shù)，其中能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”的是()A．y＝[x]([x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[0.1]＝0)B．y＝x＋eq\r(x＋1)C．y＝eq\f(1,x)－log3xD．y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x＋1)))AD解析：根據(jù)題意，“同值函數(shù)”需滿足：對于同一函數(shù)值，有不同的自變量與其對應(yīng)．因此，能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”的函數(shù)必須滿足在其定義域內(nèi)不單調(diào)．y＝[x]的定義域?yàn)镽，在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故A可以構(gòu)造“同值函數(shù)”；y＝x＋eq\r(x＋1)為定義在[－1，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，故B不可以構(gòu)造“同值函數(shù)”；y＝eq\f(1,x)－log3x為定義在(0，＋∞)上的單調(diào)遞減函數(shù)，故C不可以構(gòu)造“同值函數(shù)”；y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x＋1)))不是定義域上的單調(diào)函數(shù)，故D可以構(gòu)造“同值函數(shù)”．故選AD．性質(zhì)型新定義函數(shù)問題(2020·濰坊模擬)已知集合A0＝{x|0<x<1}．給定一個函數(shù)y＝f(x)，定義集合An＝{y|y＝f(x)，x∈An－1}．若An∩An－1＝對任意的n∈N*成立，則稱該函數(shù)y＝f(x)具有性質(zhì)“φ”．(1)具有性質(zhì)“φ”的一個一次函數(shù)的解析式可以是________.(2)給出下列函數(shù)：①y＝eq\f(1,x)；②y＝x2＋1；③y＝coseq\f(π,2)x＋2.其中具有性質(zhì)“φ”的函數(shù)的序號是________．(1)y＝x＋1(答案不唯一)(2)①②解析：(1)對于解析式y(tǒng)＝x＋1，因?yàn)锳0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<3}，…，符合An∩An－1＝.(2)對于①，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|x＞1}，A2＝{x|0<x<1}，…，循環(huán)下去，符合An∩An－1＝；對于②，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1＜x＜2}，A2＝{x|2<x<5}，A3＝{x|5<x<26}，…，根據(jù)單調(diào)性得相鄰兩個集合不會有交集，符合An∩An－1＝；對于③，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|2＜x＜3}，A2＝{x|1<x<2}，A3＝{x|1<x<2}，不符合An∩An－1＝.故選①②.具有性質(zhì)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．下列函數(shù)：①f(x)＝x－eq\f(1,x)；②f(x)＝x＋eq\f(1,x)；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()A．①②B．①③C．②③D．①B解析：對于①，f(x)＝x－eq\f(1,x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)－x＝－f(x)，滿足“倒負(fù)”變換；對于②，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)＋x＝f(x)，不滿足“倒負(fù)”變換；對于③，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x