三角形的五心與向量

三角形的五心與向量（一）三角形的內(nèi)心是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，則的軌跡一定通過(guò)的()A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．外心【解析】、分別表示向量、方向上的單位向量的方向與的角平分線一致又，向量的方向與的角平分線一致一定通過(guò)的內(nèi)心選．練習(xí)1.已知滿足，，則為()A．頂角為的等腰三角形 B．等腰直角三角形C．有一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形 D．等邊三角形【解析】設(shè)，則，而，所以是的角平分線，又，所以為等腰三角形，，所以是等邊三角形.

練習(xí)2.O是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，A,B，C是平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)三角形ABC的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【解析】∵、分別表示向量、方向上的單位向量∴的方向與∠BAC的角平分線重合又∵可得到λ（）∴向量的方向與∠BAC的角平分線重合，∴一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心，選A（二）三角形的重心已知中，向量，則點(diǎn)的軌跡通過(guò)的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【解析】設(shè)為中點(diǎn)，則，即點(diǎn)在中線上可知點(diǎn)軌跡必過(guò)的重心，選練習(xí)1．過(guò)的重心作直線，已知與、的交點(diǎn)分別為、，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或B．或C．或D．或【解析】設(shè),因?yàn)镚為的重心，所以,即由于三點(diǎn)共線，所以，即因?yàn)?，，所以即有，解之得或，選B

練習(xí)2.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若=,則O點(diǎn)是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解析】作BD∥OC，CD∥OB，連OD，OD與BC相交于G，則BG＝CG，（平行四邊形對(duì)角線互相平分），∴，又∵，可得：，∴，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理：BO，CO的延長(zhǎng)線也為△ABC的中線．∴O為三角形ABC的重心．選C．練習(xí)3.已知是所在平面上的一定點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的()A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】∵＝設(shè)它們等于t，∴而表示與共線的向量,而點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以即P的軌跡一定通過(guò)三角形的重心，選C練習(xí)4.已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的__________心．【解析】設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則，于是有，，P，D三點(diǎn)共線，又D是BC的中點(diǎn)，所以AD是邊BC的中線，于是點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的重心是平面上不共線的三點(diǎn)，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)____心（內(nèi)心、外心、垂心或重心）．【解析】∵動(dòng)點(diǎn)P滿足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三點(diǎn)共線，又D是AB的中點(diǎn)，∴CD為中線，∴點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)△ABC的重心．故答案為重心．（三）三角形的外心已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則的內(nèi)角等于()A．B．C．D．【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)為的重心，延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，又為外接圓的圓心，所以，則，同理可得，為等邊三角形，，故選B.

練習(xí)1.已知，點(diǎn)，為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，，，則點(diǎn)為的()A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即所以，即所?所以，同理，所以為的外心，選B練習(xí)2.在中，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心【解析】設(shè)為中點(diǎn)，則為的垂直平分線軌跡必過(guò)的外心選練習(xí)3.是銳角的外接圓圓心，是最大角，若，則的取值范圍為_(kāi)______【解析】設(shè)是中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知，依題意，即，利用正弦定理化簡(jiǎn)得.由于，所以，即.由于是銳角三角形的最大角，故，故.

練習(xí)4.已知O是△ABC外接圓的圓心，AB=6，AC=15，=+，2+3=1，則cos∠BAC=______．【解析】如圖所示，過(guò)O點(diǎn)分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．則AD=DB，AE=EC．則，則因?yàn)?+，所以，即18=36x+90ycosA，=90xcosA+225y，又2x+3y=1，聯(lián)立解得cosA=（四）三角形的垂心點(diǎn)P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則點(diǎn)P的軌跡通過(guò)的A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【解析】處理原式得到故所在的直線與三角形的高重合，故經(jīng)過(guò)垂心，故選C。練習(xí)1.在中，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【解析】∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由，得到OA⊥BC∴點(diǎn)O是△ABC的三條高的交點(diǎn)，選D練習(xí)2.是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（）A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心【解析】λ（），∴，∴，即點(diǎn)P在BC邊的高上，即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心，選B（五）三角形問(wèn)題綜合在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B． C． D．【解析】，，化簡(jiǎn)可得，，，，，且，均為單位向量，過(guò)分別作，，垂足分別為，，則，，，，兩式相加可得，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解可得，則的最大值為，選B

練習(xí)1.若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則為（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．以上都不對(duì)【解析】即，，，即，，三角形為等腰三角形，選練習(xí)2.已知是直線上任意兩點(diǎn)，是外一點(diǎn)，若上一點(diǎn)滿足，則的值是________.【解析】∵A、B、C三點(diǎn)共線，且cosθcos2θ∴cosθ+cos2θ＝1，（三點(diǎn)共線的充要條件）∴cos2θ＝1﹣cosθ，∴cosθ＝1﹣cos2θ＝sin2θ∴sin6θ＝cos3θ＝cosθ?（1﹣sin2θ）＝cosθ（1﹣cosθ）＝cosθ﹣cos2θ＝cosθ﹣（1﹣cosθ）＝2cosθ﹣1∴sin2θ+sin4θ+sin6θ＝cosθ+cos2θ+2cosθ﹣1＝cosθ+1﹣cosθ+2cosθ﹣1＝2cosθ，由cos2θ＝1﹣cosθ得cosθ或cosθ1，舍去，∴cosθ∴原式＝2cosθ1練習(xí)3．已知為△的重心，過(guò)點(diǎn)的直線與邊分別相交于點(diǎn).若,則當(dāng)與的面積之比為時(shí)，實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.【解析】設(shè)，，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，，為的重心，，，，兩式相乘得①，②，②代入①即解得或即或練習(xí)4.已知中，點(diǎn)在線段上，且，延長(zhǎng)到，使．設(shè)．（1）用表示向量；（2）若向量與共線，求的值．【解析】（1）為BC的中點(diǎn)，，可得，而（2）由（1）得，與共線，設(shè)，即，根據(jù)平面向量基本定理，得，解得練習(xí)4.已知P是三角形ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿足則:______【解析】取D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，則2，2．∵，∴（2（），∴，∴P是DE上靠近E的三等分點(diǎn)，∴故答案為：1:3．（六）五心綜合點(diǎn)O在△ABC所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4）．則點(diǎn)O依次為△ABC的（）A．內(nèi)心、外心、重心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心、垂心C．重心、垂心、內(nèi)心、外心D．外心、內(nèi)心、垂心、重心【解析】由三角形“五心”的定義，我們可得：（1）時(shí)，得在三角形中，是邊的中點(diǎn)，則，即是三角形的重心，為的重心；（2）時(shí)，得，即,所以.同理可知,所以為的垂心；（3），，當(dāng)