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文檔簡介

2025屆防城港市重點中學高二數學第一學期期末統考模擬試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知圓C過點,圓心在x軸上,則圓C的方程為()A. B.C. D.2.已知中,角,,的對邊分別為,,,且,,成等比數列,則這個三角形的形狀是()A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形3.已知命題,;命題,,那么下列命題為假命題的是()A. B.C. D.4.正方體中,E、F分別是與的中點,則直線ED與所成角的余弦值是()A. B.C. D.5.《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算,其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖,在塹堵中,M是的中點,,,,若,則()A. B.C. D.6.已知向量,,且與互相垂直,則()A. B.C. D.7.直線l的方向向量為,且l過點,則點到l的距離為()A B.C. D.8.已知一個乒乓球從米高的高度自由落下,每次落下后反彈的高度是原來高度的倍,則當它第8次著地時,經過的總路程是()A. B.C. D.9.設α,β是兩個不同的平面,m,n是兩條不重合的直線,下列命題中為真命題的是()A如果,,n∥β,那么B.如果,,,那么α∥βC.如果m∥n,,,那么α∥βD.如果m∥n,,,那么10.橢圓:與雙曲線:的離心率之積為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.11.如圖,雙曲線的左,右焦點分別為,,過作直線與C及其漸近線分別交于Q,P兩點,且Q為的中點.若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距.則C的離心率為()A. B.C. D.12.若等比數列的前n項和,則r的值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖直線過點,且與直線和分別相交于,兩點.(1)求過與交點,且與直線垂直的直線方程;(2)若線段恰被點平分,求直線的方程.14.設橢圓,點在橢圓上,求該橢圓在P處的切線方程______.15.正方體的棱長為2,點為底面正方形的中心,點在側面正方形的邊界及其內部運動,若,則點的軌跡的長度為______16.容積為V圓柱形密封金屬飲料罐,它的高與底面半徑比值為___________時用料最省.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,A1C的中點,AD=AA1=2,AB=(1)求證:EF∥平面ADD1A1;(2)求平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值;(3)在線段A1D1上是否存在點M,使得BM⊥平面EFD?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由18.(12分)為了了解高一年級學生的體能情況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試,將所得數據整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示),圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組的頻數為12(1)第二小組的頻率是多少?樣本量是多少?(2)若次數在110以上(含110次)為達標,則該校全體高一年級學生的達標率是多少?(3)樣本中不達標的學生人數是多少?(4)第三組的頻數是多少?19.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.(I)在平面PAB內找一點M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;(II)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.20.(12分)如圖,在長方體中,,,,M為上一點,且(1)求點到平面的距離;(2)求二面角的余弦值21.(12分)已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點,如圖,過點任作兩條互相垂直的直線,,分別交拋物線于,,,四點,,分別為,的中點.(1)求的值;(2)求證:直線過定點,并求出該定點的坐標;(3)設直線交拋物線于,兩點,試求的最小值.22.(10分)設橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,短軸長為.(1)求橢圓的標準方程;(2)設左、右頂點分別為、,點在橢圓上(異于點、),求的值;(3)過點作一條直線與橢圓交于兩點,過作直線的垂線,垂足為.試問:直線與是否交于定點?若是,求出該定點的坐標,否則說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設出圓的標準方程,將已知點的坐標代入,解方程組即可.【詳解】設圓的標準方程為,將坐標代入得:,解得,故圓的方程為,故選:C.2、B【解析】根據題意求出,結合余弦定理分情況討論即可.【詳解】解:因為,所以.由題意得,利用余弦定理得:.當,即時,,即,解得:.此時三角形為等邊三角形;當,即時,,不成立.所以三角形的形狀是等邊三角形.故選:B.【點睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀,屬于基礎題.3、B【解析】由題設命題的描述判斷、的真假,再判斷其復合命題的真假即可.【詳解】對于命題,僅當時,故為假命題;對于命題,由且開口向上,故為真命題;所以為真命題,為假命題,綜上,為真,為假,為真,為真.故選:B4、A【解析】以A為原點建立空間直角坐標系,求出E,F,D,D1點的坐標,利用向量求法求解【詳解】如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,設正方體的邊長為2,則,,,,,直線與所成角的余弦值為:.故選:A【點睛】本題考查異面直線所成角的求法,屬于基礎題.5、C【解析】建立坐標系,坐標表示向量,求出點坐標,進而求出結果.【詳解】以為坐標原點,,,的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系.不妨令,則,,,,,.因為,所以,則,,,,則解得,,,故.故選:C6、D【解析】根據垂直關系可得,由向量坐標運算可構造方程求得結果.【詳解】,,又與互相垂直,,解得:.故選:D.7、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計算.【詳解】∵,∴又,∴在方向上的投影,∴P到l距離故選:C.8、C【解析】根據等比數列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經過的路程為,第2次著地到第3次著地經過的路程為,組成以為首項,公比為的等比數列,所以第1次著地到第8次著地經過的路程為,所以經過的總路程是.故答案為:C.9、C【解析】AB.利用兩平面的位置關系判斷;CD.利用面面平行的判定定理判斷;【詳解】A.如果,,n∥β,那么α,β相交或平行;故錯誤;B.如果,,,那么α,β垂直,故錯誤;C.如果m∥n,,則,又,那么α∥β,故C正確;D錯誤,故選:C10、C【解析】先求出橢圓的離心率,再由題意得出雙曲線的離心率,根據離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓:的離心率為,則,依題意,雙曲線;的離心率為,而,于是得,解得:,所以雙曲線的漸近線方程為故選:C11、C【解析】先根據等腰三角形的性質得,再根據雙曲線定義以及勾股定理列方程,解得離心率.【詳解】連接,由為等腰三角形且Q為的中點,得,由知.由雙曲線的定義知,在中,,(負值舍去)故選:C【點睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率,考查基本分析求解能力,屬基礎題.12、B【解析】利用成等比數列來求得.【詳解】依題意,等比數列的前n項和,,,所以.故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(1);(2).【解析】本題考查直線方程的基本求法:垂直直線的求法、點關于點對稱、點在直線上的待定系數法【詳解】(1)由題可得交點,所以所求直線方程為,即;(2)設直線與直線相交于點,因為線段恰被點平分,所以直線與直線的交點的坐標為將點,的坐標分別代入,的方程,得方程組解得由點和點及兩點式,得直線的方程為,即【點睛】直線的考法主要以點的對稱和直線的平行與垂直為主.點關于點的對稱,點關于直線的對稱,直線關于直線的對稱,是重點考察內容14、【解析】由題意可知切線的斜率存在,所以設切線方程為,代入橢圓方程中整理化簡,令判別式等于零,可求出的值,從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在,所以設切線方程為,將代入中得,,化簡整理得,令,化簡整理得,即,解得,所以切線方程為,即,故答案為:15、【解析】取中點,利用線面垂直的判定方法可證得平面,由此可確定點軌跡為,再計算即可.【詳解】取中點,連接,平面,平面,,又四邊形為正方形,,又,平面,平面,又平面,;由題意得:,,,,;平面,,平面,,在側面的邊界及其內部運動,點軌跡為線段;故答案為:.16、【解析】設圓柱的底面半徑為,高為,容積為,由,得到,進而求得表面積,結合不等式,即可求解.【詳解】設圓柱的底面半徑為,高為,容積為,則,即有,可得圓柱的表面積為,當且僅當時,即時最小,即用料最省,此時,可得.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2);(3)不存在;理由見解析【解析】(1)連接AD1,A1D,交于點O,所以點O是A1D的中點,連接FO,根據判定定理證明四邊形AEFO是平行四邊形,進而得到線面平行;(2)建立坐標系,求出兩個面的法向量,求得兩個法向量的夾角的余弦值,進而得到二面角的夾角的余弦值;(3)假設在線段A1D1上存在一點M,使得BM⊥平面EFD,設出點M的坐標,由第二問得到平面EFD的一個法向量,判斷出和該法向量不平行,故不存在滿足題意的點M.【詳解】(1)證明:連接AD1,A1D,交于點O,所以點O是A1D的中點,連接FO因為F是A1C的中點,所以OF∥CD,OF=CD因AE∥CD,AE=CD,所以OF∥AE,OF=AE所以四邊形AEFO是平行四邊形所以EF∥AO因為EF?平面ADD1A1,AO?平面ADD1A1,所以EF∥平面ADD1A1(2)以點A為坐標原點,直線AB,AD,AA1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,因為點E,F分別是AB,A1C的中點,AD=AA1=2,AB=,所以B(,0,0),D(0,2,0),E,F所以=,=(0,1,1)設平面EFD的法向量為,則即令y=1,則z=-1,x=2所以,由題知,平面DEC的一個法向量為m=(0,0,1),所以cos<,>==所以平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值是(3)假設在線段A1D1上存在一點M,使得BM⊥平面EFD設點M的坐標為(0,t,2)(0≤t≤2),則=(,t,2)因為平面EFD的一個法向量為,而與不平行,所以在線段A1D1上不存在點M,使得BM⊥平面EFD18、(1)0.08,150;(2)88%;(3)18;(4)51.【解析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數據落在各小組內的頻率大小,所以計算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計算(1),(2),由公式直接計算可得(1)中樣本容量;根據(2)問中的達標率,可計算不達標率,從而求出不達標人數,可得(3);單獨計算第三組的頻率,由公式計算頻數,可求出(4).【小問1詳解】頻率分布直方圖以面積形式反映數據落在各小組內的頻率大小,因此第二小組的頻率為=0.08所以樣本容量==150.【小問2詳解】由直方圖可估計該校高一年級學生的達標率為×100%=88%.【小問3詳解】由(1)(2)知達標率為88%,樣本量為150,不達標的學生頻率為1-0.88=0.12所以樣本中不達標的學生人數為150×0.12=18(人)【小問4詳解】第三小組的頻率為=0.34又因為樣本量為150,所以第三組的頻數為150×0.34=5119、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎知識,考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.第一問,利用線面平行的定理,先證明線線平行,再證明線面平行;第二問,可以先找到線面角,再在三角形中解出正弦值,還可以用向量法建立直角坐標系解出正弦值.試題解析:(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB與CD不平行.延長AB,DC,相交于點M(M∈平面PAB),點M即為所求的一個點.理由如下:由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM∥平面PBE.(說明:延長AP至點N,使得AP=PN,則所找的點可以是直線MN上任意一點)(Ⅱ)方法一:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.設BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2.過點A作AH⊥CE,交CE的延長線于點H,連接PH.易知PA⊥平面ABCD,從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q,則AQ⊥平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中,AEH=45°,AE=1,所以AH=.在Rt△PAH中,PH==,所以sinAPH==.方法二:由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.設BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2.作Ay⊥AD,以A為原點,以,的方向分別為x軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2)設平面PCE的法向量為n=(x,y,z),由得設x=2,解得n=(2,-2,1).設直線PA與平面PCE所成角為α,則sinα==.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.考點:線線平行、線面平行、向量法.20、(1)(2)【解析】(1)以A為原點,以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,利用空間向量求解,(2)求出和的法向量,利用空間向量求解【小問1詳解】以A為原點,以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系由,,,,所以,,,因此,,,設平面的法向量,則,,所以,取,則,,于是,所以點到平面的距離【小問2詳解】由,,設平面的法向量,則,,所以,取,則,,于是,由(1)知平面的法向量為,記二面角的平面角為,則,由圖可知二面角為銳角,所以所求二面角的余弦值為21、(1)(2)證明見解析,(3,0)(3)【解析】(1)求出橢圓的焦點坐標,從而可知拋物線的焦點坐標,進而可得的值;(2)首先設出直線的方程,聯立直線與拋物線的方程,得到,坐標,令,可得直線過點,再證明當,,,三點

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