計算機圖形學-曲線和曲面-算法

曲線和曲面的表示西安電子科技大學計算機學院5.1三次參數(shù)曲線

曲線和曲面可以用折線和多邊形進行一次線性逼近，為了達到一定精度，需要生成和存儲大量的頂點坐標，數(shù)據(jù)的交互繁瑣。所以，一般使用結構更緊湊、更易于控制的分段光滑曲線（曲面）表示－比線性更高次的函數(shù)，存儲空間更少，更易于控制。

高次函數(shù)一般有三種表示方法

直接將y和z表示成x的顯函數(shù)

y=f(x),z=g(x)f(x,y,z)=0的隱式方程曲線的參數(shù)表示

x=x(t)，y=y(t),z=z(t)

為什么參數(shù)曲線次數(shù)為3？低于三次的函數(shù)控制曲線形狀時不夠靈活，高于三次的曲線會增加不必要的擺動其增加計算量。三次參數(shù)曲線是三維空間中次數(shù)最低的非平面曲線。高于3次的曲線還是有應用的

5.1.13次參數(shù)曲線的基本特征

令則系數(shù)矩陣曲線寫成曲線的導數(shù)表示曲線的切向量

曲線段之間的連續(xù)性幾何連續(xù)Gi

與參數(shù)連續(xù)CiG0

連續(xù)(C0)：兩條曲線段拼接成一條曲線。G1連續(xù)：兩條曲線段拼接點處切向量方向相同。若相等（方向、大?。瑿1Gｎ連續(xù)：兩條曲線段拼接點處切向量的階導數(shù)方向相同。n階導數(shù)相等－Cn例2：證明如下的兩條三次曲線段達到C2連續(xù)，并畫出兩條曲線段。

曲線與約束的關系

曲線段可以用端點、切向量和曲線段之間的連續(xù)性等約束條件來定義兩個端點和兩端點處的切向量定義Hermite曲線；兩個端點和另外兩個控制端點切向量的點定義的Bezier曲線；由四個控制頂點定義的樣條曲線。

如何確定曲線的約束條件

拆分為四個元素的幾何約束行向量矩陣為基矩陣展開曲線是幾何矩陣中約束元素的加權和。每個權都是關于的三次多項式，稱為調和函數(shù),記為

于是5.1.2Hermite

曲線由端點P1、P4和端點處切向量R1、R4的約束確定

，其幾何矩陣為

僅討論其x分量

Hermite

曲線完全插值控制點（2個，P1、P4）。切向量對曲線的影響如圖

兩段Hermite連接連續(xù)，可以輕易實現(xiàn)連續(xù)。

兩段Hermite曲線連續(xù)

繪圖過程給定兩個端點和端點處切向量，利用M矩陣,t=0:step:1，計算中間點P，依次連線,構成最后曲線

5.1.3Bezier曲線通過給定兩個不在曲線上的中間點來間接地確定端點切向量

5.1.3Bezier曲線5.1.3Bezier曲線5.1.3Bezier曲線5.1.3Bezier曲線5.1.3Bezier曲線R1和R4的方向可直觀看出，便于控制曲線形狀。兩段Bezier曲線，當P4–P3=k(P5-P4)時（三點相異且共線），k>0端點連接處是連續(xù)的。如果k=1,則連續(xù)。5.1.3Bezier曲線曲線段一定落在P1、P2、P3、P4定義的凸多邊形（凸殼）內。如果調和函數(shù)非負且其和為1，且三次曲線對所有控制點做加權求和而定義，凸殼特性對曲線成立。給定四個控制點P1(0,0,0)、P2(1,1,1)、P3(2,-1,-1)、P4(3,0,0)，構造Bezier曲線，并計算t=0,t=1,t=1/3，t=2/3處的值。

5.1.4B樣條曲線B樣條通常用m+1個控制點（P0、P1、…Pm）產(chǎn)生m-2個曲線段

(Q3、Q4、…Qm),m>=3。

B樣條曲線一般不過控制點。

5.1.4B樣條曲線5.1.4B樣條曲線若要產(chǎn)生封閉曲線，結尾處重復使用P0~P2。即P0P1P2…PmP0P1P2.

5.1.4B樣條曲線5.1.4均勻B樣條曲線5.1.4B樣條曲線四點加權求和，調和函數(shù)非負且和為1，具有凸殼特性。5.1.4B樣條曲線5.1.4B樣條曲線5.1.4B樣條曲線5.1.4B樣條曲線5.1.4B樣條曲線5.1.4B樣條曲線手繪曲線5.1.4B樣條曲線HermiteBezierB-spine凸殼