2024屆河北省張家口市宣化一中高三3月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

2024屆河北省張家口市宣化一中高三3月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．給出下列四個(gè)命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設(shè)集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．2．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（）A． B． C． D．24．如圖所示點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．6．以下四個(gè)命題：①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1；②在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．17．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有8．下列說(shuō)法正確的是（）A．命題“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，滿足，則C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布（），若，則D．設(shè)是實(shí)數(shù)，“”是“”的充分不必要條件9．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．10．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A．12 B．11 C．6 D．312．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為_(kāi)_________．14．已知向量，滿足，，，則向量在的夾角為_(kāi)_____.15．已知函數(shù)f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y=3x﹣e，則a+b=_____.16．在中，已知，則的最小值是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核．記表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績(jī)滿足的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）記表示學(xué)生的考核成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效．請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由．18．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面為正三角形，且面面，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）（文科）求三棱錐的體積；（理科）求二面角的正切值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（1）求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.20．（12分）已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，，．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，，求的取值范圍．21．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足.（1）求，及的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）如圖，在四棱錐中底面是菱形，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．求證：平面平面；是否存在滿足的點(diǎn)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

①利用真假表來(lái)判斷，②考慮內(nèi)角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個(gè)是假命題，故①錯(cuò)誤；當(dāng)內(nèi)角為時(shí)，不是象限角，故②錯(cuò)誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因?yàn)椋?，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的問(wèn)題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.2、B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵；幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.3、C【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z，進(jìn)而求得其模.【詳解】因?yàn)椋怨蔬x：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn)，求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，即可由的周長(zhǎng)求得其范圍.【詳解】拋物線，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個(gè)曲線上，總是平行于軸，因而兩點(diǎn)不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長(zhǎng)為，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.5、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷,

②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷,

③根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判斷,

④根據(jù)點(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，可進(jìn)行判斷.【詳解】①若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故①正確;

②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯(cuò)誤;

③若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因?yàn)辄c(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，即，不一定成立，而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯(cuò)誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性，擬合性檢驗(yàn)，兩個(gè)線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系，以及兩個(gè)變量的線性回歸方程，注意理解每一個(gè)量的定義，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；B：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說(shuō)法正確；D：當(dāng)時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說(shuō)法不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A；可能相交，可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；或，利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】命題“，”的否定形式是“，”，故A錯(cuò)誤；，，則可能相交，故B錯(cuò)誤；若，則，所以，故，所以C錯(cuò)誤；由，得或，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容易題.9、B【解析】

由模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查模長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；又，，所以排除選項(xiàng)A、C，故選D．11、B【解析】

畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)（時(shí)有三個(gè)，時(shí)有兩個(gè)），所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根（若有兩個(gè)根，則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根），由，可得的值分別為，則故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于常考題型.12、A【解析】

由已知可得，根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.,故答案為414、【解析】

把平方利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，∴，∴，因?yàn)樗?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，考查向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15、0【解析】

由題意，列方程組可求，即求.【詳解】∵在點(diǎn)處的切線方程為，，代入得①.又②.聯(lián)立①②解得：..故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：，然后再結(jié)合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)，故cosC的最小值為.點(diǎn)睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用，能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績(jī)有16個(gè)，求出滿足條件的概率即可．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件，由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設(shè)從圖中考核成績(jī)滿足的學(xué)生中任取2人，至少有一人考核成績(jī)優(yōu)秀為事件，因?yàn)楸碇谐煽?jī)?cè)诘?人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，所以基本事件空間包含15個(gè)基本事件，事件包含9個(gè)基本事件，所以（Ⅲ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足的成績(jī)有16個(gè)，所以所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效．【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖問(wèn)題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．18、（1）見(jiàn)解析（2）（文）（理）【解析】

（1）證明：取PD中點(diǎn)G，連結(jié)GF、AG，∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且，又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，又EF不在平面PAD內(nèi)，AG在平面PAD內(nèi)，∴EF∥面PAD；（2）（文）解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，又PC為面ABCD斜線，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴F到面ABCD距離，故；（理）連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，∴∠MEB=∠AOB，則∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．連PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，則PM⊥EC，即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，在Rt△EBC中，，∴，∴，即二面角P-EC-D的正切值為．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.本題（1）是就是利用方法①證明的.19、（1），（2）【解析】

（1）利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程，把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；（2）把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得．【詳解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，將ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝1，設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)镻的極坐標(biāo)為（，），所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，1）．（2）將代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，因?yàn)椤鳎?102﹣4×41×25＝8000＞0，故可設(shè)方程的兩根為t1，t2，則t1，t2為A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，且t1+t2，依題意，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，所以|PM|＝||．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題．20、（1）（2）【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出，得到，所