考點05三角函數(shù)（20種題型8個易錯考點）（原卷版）

考點05三角函數(shù)（20種題型8個易錯考點）

?【課程安排細目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四、易錯分析

五.刷壓軸

鏢一、真題搶先刷，考向提前彳"

一.選擇題（共2小題）

1.（2021?上海）已知/（x）=3sinx+2,對任意的制曰0,與，都存在期日。，與，使得/（xi）=〃t（工2+。）

+2成立，則下列選項中，e可能的值是（）

A.32LB."C.4D.22L

5555

2.（2020?上海）“a=B"是"sin2a+cos2p=lw的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

二.填空題（共5小題）

3.（2022?上海）函數(shù)/（x）=cos2x-sin2x+l的周期為.

4.（2022?上海）若lanu—3,則Lan（u+--）—_________.

4

5.（2021?上海）已知。＞0,存在實數(shù)年，使得對任意於N*,cos（〃6+（p）V返，則。的最小值

2

是.

6.（2020?上海）已知3sin2x=2sinx,（0,ir）,則x=.

7.（2020?上海）函數(shù)y=tan2x的最小正周期為.

三.解答題（共1小題）

8.(2020?上海)已知函數(shù)/(x)=sin(ox.o)>0.

(1)f(x)的周期是4n,求3,并求/(k)=』"的解集；

2

(2)已知3=1,g(x)=/(x)+V3f(-%)f(-—■x),xG[0,求g(x)的值域.

24

市清單

一.任意角的概念

一、角的有關(guān)概念

1.從運動的角度看，角可分為正角、負角和零角.

2.從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角.

3.若B與a是終邊相同的角，則0用a表示為0=2Ki+a(AEZ).

【解題方法點撥】

角的概念注意的問題

注意易混概念的區(qū)別：第?象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第?類是象限角，第二類、

第三類是區(qū)間角.

二.終邊相同的角

終邊相同的角：

妙360'+a(k￡Z)它是與a角的終邊相同的角，(4=0時，就是a本身)，凡是終邊相同的兩個角，則它們之

差一定是360°的整數(shù)倍，應(yīng)該注意的是：兩個相等的角終邊一定相同，而有相同的終邊的兩個角則不一定

相等，也就是說，終邊相同是兩個角相等的必要條件，而不是充分條件.

還應(yīng)該注意到：J=｛x|x=^360°+30°,AWZ｝與集合5=｛小=〃?360°-330°,髭Z｝是相等的集合.

相應(yīng)的與x軸正方向終邊相同的角的集合是｛x|x=女?360°,依Z｝；與x軸負方向終邊相同的角的集合是｛x|x

=4?360°+180°,依Z｝：與y軸正方向終邊相同的角的集合是｛x|x=K360°+90°,依Z｝；與歹軸負方向

終邊相同的角的集合是｛x|x=左?360°+270°,AWZ｝

【解題方法點撥】

終邊相同的角的應(yīng)用

（1）利用終邊相同的角的集合S={q〃=2E+a,AWZ}判斷一個角幽在的象限時，只需把這個角寫成［0,

2n）范圍內(nèi)的一個角a與27r的整數(shù)倍的和，然后判斷角。的象限.

（2）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集

合，然后通過對集合中的參數(shù)人賦值來求得所需角.

三.象限角、軸線角

在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角

（1）象限角：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認(rèn)為

這個角是第幾象限角.

（2）若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.

（3）所有與角修邊相同的角連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合5={用〃=研4?360°,keZ}.

【解題方法點撥】

（1）注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第

二類、第三類是區(qū)間角.

（2）角度制與弧度制可利用180°=nrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混

用.

（3）注意熟記0°?360°間特殊角的弧度表示，以方便解題.

四.弧度制

1弧度的角

把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

規(guī)定：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是o,倒=!，/是以角間乍為圓

r

心角時所對圓弧的長，「為半徑.

2.弧度制

把弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，比值上與所取的「的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).

r

【解題方法點撥】

角度制與弧度制不可混用

角度制與弧度制可利用180°進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

五.弧長公式

弧長、扇形面積的公式

設(shè)扇形的弧長為/,圓心角大小為a(“")，半徑為尸，則/=也，扇形的面積為S=17r=L2a.

22

【解題方法點撥】

弧長和扇形面積的計算方法

(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷.

(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最

值.

(3)記住下列公式：①/=aR；②S=LR；③5=工解其中R是扇形的半徑，/是弧長，a(0VaV2n)

22

為圓心角，S是扇形面積.

六.扇形面積公式

弧長、扇形面積的公式

設(shè)扇形的弧長為/,圓心角大小為a(md),半徑為八則/=厘，扇形的面積為S=Zr=a

22

【解題方法點撥】

弧長和扇形面積的計算方法

(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷.

(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于渝不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最

值.

(3)記住下列公式：①/=加②S=*③S=/2其中R是扇形的半徑，/是弧長，a(0<a<2n)

22

為圓心角,S是扇形面枳.

七.任意角的三角函數(shù)的定義

任意角的三角函數(shù)

1定義：設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點。(x,y),那么sina=2，cosa=x,tana=X

2.幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在送4上，余弦線的起點都是

原點，正切線的起點都是(1,0).

【解題方法點撥】

利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法

利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：

(1)角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x；(2)縱坐標(biāo)門(3)該點到原點的距離幾若題目中已

知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同).

八.三角函數(shù)線

幾何表示

三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線

的起點都是(1,0).

如圖中有向線段“尸，OM,4T分別叫做角顓正弦線，余弦線和正切線.

、,VVf

T

廠人z-K

f/LNA。0)何久、(a人於A(LO)

九.三角函數(shù)的定義域

【概念】

函數(shù)的定義域指的是函數(shù)在自變量x的取值范圍，通俗的說就是使函數(shù)有意義的x的范圍.三角函數(shù)作為

一類函數(shù)，也有定義域，而且略有差別.

【三角函數(shù)的定義域】

以下所有的4都屬于整數(shù).

①正弦函數(shù)：表達式為》=$2；(2h1)TT,(2k+1)TT],其中在[2ATT-2L,2E+?L]單調(diào)遞增，其他

22

區(qū)間單調(diào)遞減.

②余弦函數(shù)：表達式為歹=cosx；xe[(2k-I)n,(2A+1)n],其中在單調(diào)遞增，其他區(qū)間

單調(diào)遞減.

③正切函數(shù)：表達式為y=tanx；xG(kn--,內(nèi)計匹)，在區(qū)間單調(diào)遞增.

22

④余切函數(shù)：表達式為歹=cotr,xE(E-?,內(nèi)葉?)，在區(qū)間單調(diào)遞減.

⑤正割函數(shù)：表達式為卜=$?3,xE（2K-2-,2KT+?L）U（2KT+2L,2ka+有secx?cosx=1.

2222

⑥余割函數(shù)：表達式為^=?$以，xW（2ATT-K,2內(nèi)r）U（2E,2內(nèi)r+u）,有cscx,sinx=1.

【考點點評】

這是一個概念，主要是熟記前面四種函數(shù)的定義域，特別是他們各自的單調(diào)區(qū)間和各自的周期，在書寫的

時候一定不要忘了補充kWZ.

十.三角函數(shù)值的符號

三角函數(shù)值符號記憶口訣

記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）.即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限

正切為正，第四象限余弦為正.

十一.三角函數(shù)的周期性

周期性

①一股地，對于函數(shù)/（x）,如果存在一個非零常數(shù)兀使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+r）

=f（x）,那么函數(shù)/（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)r叫做這個函數(shù)的周期.

②對于一個周期函數(shù)/（X）,如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做了（X）

的最小正周期.

③函數(shù)y=/sin（3x+（p）,xWR及函數(shù)y=4cos（3x+（p）；xWR（其中4、3、（p為常數(shù)，且4W0,（D>0）

的周期T=22L.

3

【解題方法點撥】

1.一點提醒

求函數(shù)y=/sin（cox+（p）的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)注意3的符號，只有當(dāng)3>0時，才能把a）x+<p看作一個整體，代

入丁二蜘t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤.

2.兩類點

y=sin.r,xG[O,2n],y=cosx,x€[0,2可的五點是：零點和極值點（最值點）.

3.求周期的三種方法

①利用周期函數(shù)的定義./（x+T）=/（x）

②利用公式：y=As\n（o）x+（p）和y=/cos（o）x+（p）的最小正周期為,y=tan（o）x+（p）的最小正周

期為

|3|

③利用圖象.圖象重復(fù)的》的長度.

十二.誘導(dǎo)公式

【概達】

三角函數(shù)作為一個類，有著很多共通的地方，在一定條件下也可以互相轉(zhuǎn)化，熟悉這些函數(shù)間的關(guān)系，對

于我們解題大有裨益.

【公式】

①正弦函數(shù)：表達式為卜=$m丫；

有sin(H+X)=sin(-x)=-sinx；sin(u-x)=sinx,sin(匯+c)=sin(------x)=cosx

22

②余弦函數(shù)：表達式為卜=8汝；

兀

有ccs(n+x)=cos(n-x)=-COST,COS("X)=COSX,COS(------x)=sinx

2

③正切函數(shù)：表達式為丁=42舊；

tan(-x)--tanr?tanx)=cotx,tan(n+x)=tanx

2

④余切函數(shù)：表達式為^=8支；

兀

cot(-x)=-cotx,cot(------x)=taiu,cot(n+x)=coU.

2

【應(yīng)用】

1、公式：

公式一：sin(a+2內(nèi)i)=sina,cos(a+2kir)=cos_a,其中依Z.

公式二：sin(ir+a)=-sina,cos(n+a)=~cos_a>tan(ir+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sinfl>cos(-a)=cos_g.

公式囚：sin(TT-a)=sina,cos(IT-a)=-cos_a.

公式五：sin=cosa>cos=sina.

公式六：sin=cos_g>cos=-sing

2、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限.

3、在求值與化簡時，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式匕皿=巨巴化成正、余弦.

cosa

(2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin6±cos0)2=1±2sin8cos8的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化.

(3)巧用“1”的變換:1=sin20+cos20=cos20(l+tan20)=tan45°=….

4、注意：

（1）利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負f脫

周f化銳.特別注意函數(shù)名稱和符號的確定.

（2）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號.

（3）注意求值與化簡后的結(jié)果?般要盡可能有理化、整式化.

十三.運用誘導(dǎo)公式化簡求值

利用誘導(dǎo)公式化簡求值的思路

1.“負化正”，運用公式三將任意負角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù).

2.“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于

180°的角的三角函數(shù)化為0°到180。的三角函數(shù).

3.“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0。到90°的角的三角函數(shù).

4.“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計算器求得.

十四.正弦函數(shù)的圖象

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象

中二二卜產(chǎn):in

-11m

定義域RRkEZ

值域[-1，1][-1，1]R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

/2兀…兀、/,兀，兀、

(2kn----,2E+---)(2ATT-n,2Zm)(Air----,lai+---)

2222

(Jt€Z)；

(依Z)：(jt6Z)

遞減區(qū)間：

遞減區(qū)間：

(2kn,2kn+n)

(2kn+—,2ATT+^2L)

22(kWZ)

(左€Z)

最值=2ku+—(2)時，加。x=2kn(依Z)時，ymax=1;無最值

x2

=1;x=2Ani+n(kEZ)時，

x=2kit--(kEZ)時，ymtn~-1

2

1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對稱性對稱中心：（內(nèi)r,0）（ZrGZ）對稱中心：（內(nèi)什三，0）對稱中心：（業(yè)0）（JtGZ）

22

,兀

對稱軸：,kWZ

2（依Z）無對稱軸

對稱軸：x=kn,kwZ

周期2TT2nTT

十五.正弦函數(shù)的單調(diào)性

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=/sin（郎+Q）或y=/cos（5+夕）（其中，o>>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視"他葉口”為一個整體,

通過解不等式求解.但如果3V0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.

十六.正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性

【正弦函數(shù)的對稱性】

正弦函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點對稱，即有sin（?x）=?sinx.另

外，正弦函數(shù)具有周期性，其對稱軸為x=E+匹，kWz.

2

十七.余弦函數(shù)的圖象

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象i

ltn

牛r\工?」-

-)X

定義域RRkez

值域[-1,1][7,1]R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間

[2kn-Ti,2An](kWZ)

(ZrGZ)；(AeZ)；

遞減區(qū)間：遞減區(qū)間：

[2E,2E+ir]

(kez)(任Z)

==

最值x=2內(nèi)r+(k￡Z)時，ymax=1;x2krc(k€Z)時，ymax1：無最值

x=2kn-(kWZ)時，x=2kn+it(kEZ)時，

ymin—1ymin=1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對稱性對稱中心：(內(nèi)T,0)(%WZ)對稱中心：awz)對稱中心：(AWZ)

對稱軸：x=E+,k6Z對稱軸：x=kn,kwZ無對稱軸

周期2ir2TtTT

十八.余弦函數(shù)的單調(diào)性

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=4sin(w+8)或y=4cos(5+夕)(其中，3>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視"&r+夕”為一個整體,

通過解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.

十九.正切函數(shù)的圖象

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

圖象i

ltn

牛r…\?-

%-

定義域RRkez

值域[7,1][7,1]R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

[2kn-—,2^r+—](^eZ)；[2kn-Ti,2An](kWZ)

22

(KZ)；

遞減區(qū)間：

遞減區(qū)間：

,2kn+^-\

22[2E,2E+ir]

(M)

(依Z)

==

最值x=2kn+(k€Z)時，ymax=1;x2krc(k€Z)時，ymax1：無最值

x=2kn-(kWZ)時，x=2kn+it(kEZ)時，

ymin—1ymin=1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對稱性對稱中心：（內(nèi)T,0）（%WZ）對稱中心：（Kr+三，0）對稱中心：（"-,0）（AGZ）

22

對稱軸：x=kn+—,kwz

2（Q）無對稱軸

對稱軸：x=kn,kEZ

周期2TT2nTT

二十.正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=4sin（cox+（p）或y=4cos（<ox+（p）（其中，CD>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“cox+tp”為一個整體,

通過解不等式求解.但如果3V0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.

【正切函數(shù)的周期性】

正切函數(shù)），=1@舊的最小正周期為IT,即tan（Kr+x）=tanx.

二十一.正切函數(shù)的奇偶性與對稱性

三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性

1.判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時，一般先將三角函數(shù)式化為一個角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶

性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解.

2.求三角函數(shù)的周期主要有三種方法：（1）周期定義；（2）利用正（余）弦型函數(shù)周期公式；（3）借助函

數(shù)的圖象.

二十二.函數(shù)y=Asin（a）x+<p）的圖象變換

函數(shù)產(chǎn)sinx的圖象變換得到y(tǒng)=4sin（小。（J>0,a）>0）的圖象的步驟

法一法二

畫出V=sinx的圖彖畫出v=sinx的圖象|

向右（*X>）或L/如,*,Y,,..

向行（XI）世移"I個小位橫小標(biāo)變對除來的1倍

步

驟

得到y(tǒng)=sin（jr+<0的圖軟|2I得到、=sinw.r的圖象

橫不標(biāo)變?yōu)閨原來的［倍3>0）或

一*1個的位

步向〃（中<o>平移

既

R｝到v=sin（5+4）的圖象3依/到.v=$in（3r+<）的圖象

雙啜林變?yōu)闅w來的A倍■縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼陌吮?/p>

得到丫=Asin（3工+號）的圖彖4一”到、=A*in(3Ky)的圖象

兩種變換的差異

先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是依|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移

的量是JA1（3>0）個單位.原因是相位變換和周期變換都是針對X而言的.

3

【解題方法點撥】

1.一個技巧

列表技巧：表中“五點”中相鄰兩點的橫向距離均為工，利用這一結(jié)論可以較快地寫出“五點”的坐標(biāo).

4

2.兩個區(qū)別

（1）振幅/與函數(shù)y=<sin（口什。+人的最大值，最小值的區(qū)別：最大值”=力+6,最小值〃?=-4+〃，

故人口

2

（2）由歹=sinx變換到y(tǒng)=4sin（皿+夕）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由夕=5山工的圖

象變換到y(tǒng)=4sin（3+勿）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是⑷

個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是-L立1（3>0）個單位.原因在于相位變換

3

和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于3r加減多少值.

3.三點提醒

（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；

（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；

（3）由y=/sin3V的圖象得到y(tǒng)=4sin（otr+3）的圖象時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為-L$-L而不是⑷.

二十三.由y=Asin（<ox+（p）的部分圖象確定其解析式

根據(jù)圖象確定解析式的方法：

在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為加，最小值為w，則4=正坦，上=史理，3由周期r確定，即

22

由2±=7求出，夕由特殊點確定.

3

二十四.三角函數(shù)的最值

【三角函數(shù)的最值】

三角函數(shù)的最值其實就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單

調(diào)性和它們的圖象.在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡和換元.化簡的原則通常是盡量的把復(fù)合三角

函數(shù)化為只含有一個三角函數(shù)的一元函數(shù).

二十五.同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：si/ti+cos?a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：sin(=1=tana.

cosa

2.誘導(dǎo)公式

公式一：sin(m2E)=sina,cos(行2hr)=cos_a，其中

公式二：sin(n+a)=-sin.g,cos(n+a)=-cosa，tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sincos(-a)=cos_a

公式四：sin(n-a)=sina,cos(n-a)=-cosa.

兀_J￡

公式五：sin(-a)=cosa>cos(--a)=sina.

~2

公式六：sin(-y-t-a)=cosa,cos(-=-sing

2

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<aP)：cos(a-p)=;

(2)C<a+p)：cos(a+p)=cosacasB-s山as加B;

(3)S<a+p>：sin(a+p)=sinacosB+cosaB：

(4)S(a.p)：sin(a-p)=s加acosB-ccsas加B：

(5)r<a+p>：tan(a+B)=tan-+ta叫

1-tanJtanp

TC“E(Z_tanCI-tanP

\oz/(a-p)?tern\Ctp/——?

1+tanCItanp

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)Slatsin2a=2sin俄osq；

(2)C2a：cos2o=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1?Zsi—a；

(3)72a：tan2a=2tan^_.

1-tana

【解題方法點撥】

誘導(dǎo)公式記憶口訣：

對于角“畢士優(yōu)'(2WZ)的三角函數(shù)記憶I1訣"奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)

2

后為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)上為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”.“符號看象限”是指“在。的三角函

數(shù)值前面加上當(dāng)。為銳角時，原函數(shù)值的符號”.

二十六.兩角和與差的三角函數(shù)

(1)C<a.p)：cos(a-P)=cosacosB+sinasinB;

(2)C<a+p)：cos(a+P)=cosacosB-sinasinB；

(3)S<a+B>：sin(a+0)=sinacosB+cosasinB:

(4)S{aP)：sin(a-p)=sinacosB-ccsasinB；

（5）r（a+|5）：tan（a+P）=tanCI譽吸

1-tan。tanp

tan（a-p）=tanCI-tanP

（6）T（a-P）：

1+tanO.tanp

二十七.二倍角的三角函數(shù)

【二倍角的三角函數(shù)】

二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=0的一種特例，其公式為：sin2a=2sina?

cosa；其可拓展為l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=B的一種特例，其公式為：cos2a=cos2a

-sin2ot=2cos2a-1=1-2sin2a.

二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即a=B的一種特例，其公式為：tan2a=

2tan?.對于這個公式要求是能夠正確的運用其求值化簡即可.

1-tan2Q

二十人.半角的三角函數(shù)

【半角的三角函數(shù)】

半角的三角函數(shù)關(guān)系主要是指正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關(guān)系(正余弦的半角關(guān)系其實就是二倍角關(guān)

.aaaa

asii1.

sirrz-*cos-z-.ns1n

系）,其公式為：①tan—=--------—/=smQ.②tan￡=

2a1+cos?！?/p>

C0STcos~2°。行

,2a

__________/_1-8SQ

.aa-"Sina,

sinr^-,cos-^-

二十九.三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值

【概述】

三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時，如何轉(zhuǎn)化成我們常見的數(shù)值比較小的而且相等的三

角函數(shù)，主要的方法就是運用它們的周期性.

【公式】

①正弦函數(shù)有y=sin(2內(nèi)r+x)=sinx,sin(匯+t)=sinx)=cosx

22

②余弦函數(shù)有y=cos(2KT+X)=COSX,COS(2--X)=sinx

2

③正切函數(shù)自y=tan(而+x)=tanx,tanx)=cotx,

④余切函數(shù)有y=cotx)=tanx,cot(An+x)=cotx.

三十.三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

I.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(I)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=I.

(2)商數(shù)關(guān)系：囪皿-=tana.

cosa

2.誘導(dǎo)公式

公式一：sin(a+2kn)=sina,cos(a+2hr)=cosa,tan(a+2依)=tana,其中k6Z.

公式二：sin(ir+a)=-sina,cos(n+a)="cosa?tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa?tan(-a)=-tana.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(IT-a)--cosa,tan(n-a)=-tana.

兀/兀、./兀、

公式五：sin(----a)=cosa,cos(----a)=sina,tan(----a)=cota.

222

兀,71、

公式六：sin(—+a)=cosa?cos="sing,tan(—+a)=-cota.

222

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(I)C(a.|3)：cos(a-P)=cosacosp+sinasinp；

(2)C<a+p):cos(a+p)=cosacosp-sinasinp；

(3)S<a+B>：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；

(4)S(a-p)：sin(a-p)=sinacosp-ccsasinp；

(5)T<a+p)：tan(aip)=tana+tanB

1-tanO.tanP

(6)r-p)：tan(a-p)=tana-tanB

(a1+tanO.tanB

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）$2a：sin2a=2sinacosa；

（2）Cia：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

（3）72a：tan2a=2tan（1—.

1-tan?a

三十一.三角函數(shù)應(yīng)用

1.三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用：1）在生活中的應(yīng)用；2）；在建筑學(xué)中的應(yīng)用：3）在航海中的應(yīng)用；4）在

物理學(xué)中的應(yīng)用.

2.解三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：

（1）閱讀理解材料：將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言；

（2）建立變量關(guān)系：抽象成數(shù)學(xué)問題，建立變量關(guān)系；

（3）討論變量性質(zhì)：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)討論變量性質(zhì)；

（4）作出結(jié)論.

【解題方法點撥】

1、方法與技巧：

（1）在生產(chǎn)生活中，常常有一些與角有關(guān)的最值問題，需要確定以角作為變量的三角函數(shù)來解決.

（2）理清題意，分清題目中已知和所求，準(zhǔn)確解讀題FI中的術(shù)語和有關(guān)名詞.

（3）要能根據(jù)題意，畫出符合題意的圖形.

（4）對計算結(jié)果，可根據(jù)實際情況進行處理.

2^注意：

（1）建立三角函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)慕亲鳛樽兞?

（2）解決應(yīng)用問題要注重檢驗.

（3）選擇變量后，要根據(jù)題中的條件，確定角的范圍.

三十二.解三角形

1.已知兩角和一邊（如4、B、C）,由Z+8+C=TT求C,由正弦定理求a、b.

2.已知兩邊和夾角（如八b.c）,應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用

A+B+C=it,求另一角.

3.已知兩邊和其中一邊的對角（如&/）,應(yīng)用正弦定理求慶由4+RH?=n求再由正弦定理或余

弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況.

4.己知三邊a、b、c,應(yīng)用余弦定理求力、B,再由4+8+C=ir,求角C.

5.方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角

（一般指銳角），通常表達成.正北或正南，北偏東XX度，北偏西XX度，囪偏東XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中?！辏尽?/p>

0E是視線，是仰角，是俯角.

7.關(guān)于三角形面積問題

（九、hb、he分別表示。、b、c上的高）;

(^)SAABC=—<7^sinC=--Z>csiiL4=—<zcsin5：

222

@S^BC=2R2s\nAsinBsinC.CR為外接圓半徑)

4R

@S^BC=VS(s-a)(s-b)(s-c)，(s=￡(a+b+c));

⑥&/8C=Ls，(r為△NBC內(nèi)切圓的半徑)

在解-:角形時，常用定理及公式如下表:

名稱公式變形

內(nèi)角和定理/+8+C=ir為旦=三-±2A+2B=2n-2C

2222

222

余弦定理a2=b2+c1-2bccosA/b+c-a

2bc

b2=a1+c1-2accosB22,2

cos"a+Xc-b

c1=a1+b2-2abcosC2ac

2,22

cosC=aX+b-c

2ab

正弦定理/=b=c=2Ra=2Rs,\nA,6=2&sin8,c=2&sinC

sinAsinBsinC

sia4=-^-,sinB=-^-,sinC=-^-

R為△48C的外接圓半徑2R2R2R

射影定理acosB+hcosA=c

acosC+ccosA=b

bcosC+ccosB=a

①&==羨九2S

面積公式s\nA=—A—

be

=工力sinC=工csinB=-^csinJsinB=

222

2SA

③s-

ac

2SA

(4)5=Vs(s-a)(s-b)(s~c)?(5=-isinC=——

Aab

(a+b+c))；

⑤