一次函數(shù)二（江蘇專用）初中數(shù)學(xué)

第二步大題得高分

考點(diǎn)16一次函數(shù)（2）

真題回顧

1.（2020?湖南衡陽(yáng)市?中考真題）如圖1,平面直角坐標(biāo)系xQy中，等腰A4BC的底邊

在x軸上，BC=8,頂點(diǎn)A在y的正半軸上，04=2,一動(dòng)點(diǎn)E從（3,0）出發(fā)，以每

秒1個(gè)單位的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)。8的中點(diǎn)停止.另一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以相

同的速度沿CB向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。停止.已知點(diǎn)E、尸同時(shí)出發(fā)，以EF為邊作正方形

EFGH,使正方形EFGH和AABC在的同根心設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒（r20）.

圖1圖2

（1）當(dāng)點(diǎn)”落在AC邊上時(shí)，求f的值；

91

（2）設(shè)正方形EFG〃與A48c重疊面積為S,請(qǐng)問(wèn)是存在f值，使得S==?若存在,

36

求出，值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2,取AC的中點(diǎn)D,連結(jié)?！?gt;,當(dāng)點(diǎn)E、尸開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)。出發(fā),

以每秒2石個(gè)單位的速度沿。C-C。-。。運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)問(wèn)在點(diǎn)E

的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)〃在

正方形EFG”內(nèi)（含邊界）的時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1

143445

【答案】(1)t=l；(2)存在，t=—，理由見(jiàn)解析；(3)可能，-4/4一或一一或

35533

3W/W5理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，根據(jù)題意用t表示出點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入求解即

可；

(2)根據(jù)已知，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)0停止運(yùn)動(dòng)前，重疊最大面積是邊長(zhǎng)為1的正方形的面積，

91

即不存在t,使重疊面積為S=三，故t>4,用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，求出點(diǎn)H

36

落在BC邊上時(shí)的t值，求出此時(shí)重疊面積為《〈線，進(jìn)一步求出重疊面積關(guān)于t的表達(dá)

936

式，代入解t的方程即可解得t值；

(3)由己知求得點(diǎn)D(2,1),AC=2有，OD=OC=OA=J^，結(jié)合圖形分情況討論即可得

出符合條件的時(shí)長(zhǎng).

【詳解】

(1)由題意，A(0,2),B(-4,0),C(4,0),

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b,

將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入，得:

'4k+0=0k=--

〈，c，解得:

b=2

，直線AC的函數(shù)解析式為y=-;x+2,

當(dāng)點(diǎn)“落在AC邊上時(shí)，點(diǎn)E(3-t,0),點(diǎn)H(3-t,1),

將點(diǎn)H代入y=—+2,得：

2

l=-1(3-r)+2,解得：t=l；

1491

(2)存在，t=—,使得5=。.

336

根據(jù)已知，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)0停止運(yùn)動(dòng)前，重疊最大面積是邊長(zhǎng)為1的正方形的面積，即

91

不存在t,使重疊面積為S=*,故t>4,

36

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n,

將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入，得：

1

-4m+n=0m=-

c，解得:《2,

n=2

n=2

直線AC的函數(shù)解析式為丁=3X+2,

當(dāng)t>4時(shí)，點(diǎn)E(3-t,0)點(diǎn)H(3-t,t-3),G(0,t-3),

當(dāng)點(diǎn)H落在AB邊上時(shí)，將點(diǎn)H代入y=gx+2,得：

t-3=^1-(3-t)+2,解得：/=1一3；

23

此時(shí)重疊的面積為3)2=4—3)2等，

.1691.13

?—<—,??—<t<5,

9363

如圖1,設(shè)GH交AB于S,EH交ABfT,

將丫=卜3代入y=g無(wú)+2得：f—3=gx+2,

解得：x=2t-10,

.?.點(diǎn)S(2t-10,t-3),

3

將x=3-t代入y=gx+2得：y=g(3_，)+2=g(7—Z),

???點(diǎn)T(3—5(7—，))，

1/r、

/.AG=5-t,SG=10-2t,BE=7-t,ET=-(7-r),

11

5=/9=Z(7-?)29,

1?

S.G:產(chǎn)GDSG=(5T)2

IS27133

22

所以重疊面積s=SMOB-=4--(7-z)-(5-O=--r+—r--—,

3

(3)可能，jwtwi或t=4.

?.?點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),且OA=2,OC=4,

.?.點(diǎn)D(2,1),AC=275>OD=OC=OA=6

易知M點(diǎn)在水平方向以每秒是4個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；

當(dāng)0<t<g?時(shí)，M在線段OD上，H未到達(dá)D點(diǎn)，所以M與正方形不相遇;

4

1ii3

當(dāng)一<t<l時(shí)，一+---i-(1+4)=一秒，

2225

3134

；.，=彳時(shí)M與正方形相遇，經(jīng)過(guò)1+(1+4)=§秒后，M點(diǎn)不在正方行內(nèi)部，則1K，<二；

當(dāng)t=l時(shí)，由(1)知，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到原E點(diǎn)處，M點(diǎn)到達(dá)C處；

41

當(dāng)lWtW2時(shí)，當(dāng)t=l+l+(4-1)=三秒時(shí)，點(diǎn)M追上G點(diǎn)，經(jīng)過(guò)1+(4-1)=一秒，點(diǎn)

33

45

“都在正方形EFGH內(nèi)(含邊界)，-</<-

33

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)0處停止運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)0處，當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)返回到點(diǎn)0處，

當(dāng)34/W5時(shí)，點(diǎn)”都在正方形石尸6”內(nèi)(含邊界)，

3445

綜上，當(dāng)一4/4—或一4t?—或34145時(shí)，點(diǎn)M可能在正方形EFG”內(nèi)(含邊界).

5533

圖2

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及求一次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、直角三

角形的性質(zhì)、不規(guī)則圖形的面積、解一元二次方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，提取相

關(guān)信息，利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和

計(jì)算.

5

2.(2020?北京中考真題)小云在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到一個(gè)函數(shù)

1,

y^-\x\(x2-x+\)(x>-2).下面是小云對(duì)其探究的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

6

(1)當(dāng)—2Kx<0時(shí)，對(duì)于函數(shù)乂=|幻，即％=一%，當(dāng)—2Wx<0時(shí)，y隨x的增大

而，且X>0；對(duì)于函數(shù)必=/一1+1，當(dāng)—2Wx<0時(shí)，M隨x的增大而,

且以〉o；結(jié)合上述分析，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于函數(shù)了,當(dāng)-2<x<o時(shí)，y隨x的增

大而.

(2)當(dāng)XN0時(shí)，對(duì)于函數(shù)y,當(dāng)x20時(shí)，y與X的幾組對(duì)應(yīng)值如下表:

5_

X01223???

~222

1￡1957_

y01,..

616482

綜合上表，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)xNO時(shí)，)'隨X的增大而增大.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中,

畫出當(dāng)xzo時(shí)的函數(shù)y的圖象.

(3)過(guò)點(diǎn)(0,m)(機(jī)>0)作平行于X軸的直線/,結(jié)合(1)(2)的分析，解決問(wèn)題：若

直線/與函數(shù)y=2IxI(/—x+1)(%>-2)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)的最大值是

6

7

【答案】(1)減小，減小，減??；(2)見(jiàn)解析；(3)—

6

【分析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案；

（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，進(jìn)行描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)的圖像；

（3）根據(jù)函數(shù)圖像和性質(zhì)，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有最大值，代入計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

解：（1）根據(jù)題意，在函數(shù)y=-x中，

V/:=—1<0,

???函數(shù)y=一%在一2Kx<0中，*隨x的增大而減??；

21/1、23

*/v=x-x+1=（x—）~+一,

2924

，對(duì)稱軸為：尢=1，

，%=￡-x+l在一2Kx<0中，％隨X的增大而減?。?/p>

I,

綜合上述，y=—X+D在一24%<0中，了隨》的增大而減小；

6

故答案為：減小，減小，減??；

（2）根據(jù)表格描點(diǎn)，連成平滑的曲線，如圖：

（3）由（2）可知，當(dāng)X20時(shí)，）,隨工的增大而增大，無(wú)最大值;

7

由（1）可知y=,|x|（f-x+1）在一2?x<0中，y隨x的增大而減?。?/p>

6

???在-2〈x<0中，有

7

當(dāng)工二-2時(shí)，y=一,

3

7

???m的最大值為1；

_7

故答案為：—,.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練學(xué)

握題意，正確的作出函數(shù)圖像，并求函數(shù)的最大值.

模擬預(yù)測(cè)

3.（2021?陜西西安市?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)其他模擬）在“新冠病毒”防控期

間，某益康醫(yī)療器械公司分兩次購(gòu)進(jìn)酒精消毒液與測(cè)溫槍兩種商品進(jìn)行銷售，兩次購(gòu)進(jìn)同

一商品的進(jìn)價(jià)相同，具體情況如下表所示：

購(gòu)進(jìn)數(shù)量（件）

項(xiàng)目購(gòu)進(jìn)所需費(fèi)用（元）

酒精消毒液測(cè)溫槍

第一次30408300

第二次40306400

（1）求酒精消毒液和測(cè)溫槍兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）公司決定酒精消毒液以每件20元出售，測(cè)溫槍以每件240元出售.為滿足市場(chǎng)需求，

需購(gòu)進(jìn)這兩種商品共1000件，且酒精消毒液的數(shù)量不少于測(cè)溫槍數(shù)量的4倍，求該公司銷

售完上述1000件商品獲得的最大利潤(rùn).

8

【答案】（1）酒精消毒液的進(jìn)價(jià)為10元，測(cè)溫槍的進(jìn)價(jià)為200元;

（2）該公司銷售完這1000件商品獲得的最大利潤(rùn)為16000元.

【分析】

（1）設(shè)酒精消毒液和測(cè)溫槍每件的進(jìn)價(jià)分別是x，y,根據(jù)第一次購(gòu)買30件酒精消毒液和

40件測(cè)溫槍的總費(fèi)用為8300可以列出30x+40y=8300,根據(jù)第二次購(gòu)買40件酒精消毒

液和30件測(cè)溫槍的總費(fèi)用為6400可以列出40x+30y=6400,聯(lián)立這兩個(gè)方程即可求解;

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)酒精消毒液。件，則購(gòu)進(jìn)測(cè)溫槍（1000-件，銷售完這1000件商品獲得的

利潤(rùn)為W，根據(jù)酒精消毒液以每件20元出售，測(cè)溫槍以每件240元出售，可以得到酒精

消毒液每件的利潤(rùn)為10元，測(cè)溫槍每件的利潤(rùn)為40元，由此可以求出利潤(rùn)的表達(dá)式；同

時(shí)結(jié)合酒精消毒液的數(shù)量不少于測(cè)溫槍數(shù)量的4倍列出不等式「24（1000-a）,即可求出

a的取值范圍，從而求出最大利潤(rùn)；

【詳解】

（1）設(shè)酒精消毒液和測(cè)溫槍每件的進(jìn)價(jià)分別是1元，y元

30^+40^=8300

由題意可得:

40x+30y=6400

x=10

解得:

y=200

酒精消毒液的進(jìn)價(jià)為10元，測(cè)溫槍的進(jìn)價(jià)為200元

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)酒精消毒液a件，則購(gòu)進(jìn)測(cè)溫槍（1000—件，銷售完這1000件商品獲得的

利潤(rùn)為W

由題意可得：W=（20-10）a+（240-200）（1000-a）=40000-30a

?.?酒精消毒液的數(shù)量不少于測(cè)溫槍數(shù)量的4倍

9

/.a>4(1000-o)

解得：a>80()

???利潤(rùn)W是關(guān)于。的一次函數(shù)，同時(shí)一30<0

W隨著。的增大而減小

當(dāng)a=800時(shí)，W有最大值為16000

該公司銷售完這1000件商品獲得的最大利潤(rùn)為16000元

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求最值，充分理解題意

列出方程組，以及利潤(rùn)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵.

4.(2021?浙江杭州市?九年級(jí)一模)隨著生活水平的提高，人們對(duì)飲用水品質(zhì)的要求越

來(lái)越高，某公司根據(jù)市場(chǎng)需求代理A,B兩種型號(hào)的凈水器，其中B型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為

2000元，B型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為1800元，該公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A,B兩種型號(hào)的凈水器共

50臺(tái)進(jìn)行試銷，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型凈水器x臺(tái)，購(gòu)進(jìn)這批凈水器的總費(fèi)用為y元.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)已知購(gòu)進(jìn)這批凈水器的總費(fèi)用不超過(guò)98000元,試銷時(shí)A型凈水器每臺(tái)售價(jià)2500元，

B型凈水器每臺(tái)售價(jià)2180元,公司決定從銷售A型凈水器的利潤(rùn)中按每臺(tái)捐獻(xiàn)a(a<120)

元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金，若公司售完50臺(tái)凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利

潤(rùn)不超過(guò)23000元，求a的取值范圍.

【答案】(1)y=200x+90000；(2)20Wa<120

【分析】

(1)根據(jù)總費(fèi)用=人型凈水機(jī)的費(fèi)用+B型凈水機(jī)的費(fèi)用，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：

(2)根據(jù)題意可以求得x的取值范圍和利潤(rùn)與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)

即可解答本題.

10

【詳解】

(1)根據(jù)題意得：y=2000x+1800(50-x)=200x+90000

(2)根據(jù)題意得:

200x+90000<98000,

解得：xW40,

設(shè)公司售完50臺(tái)凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利潤(rùn)為w元，

貝w=(2500-2000-a)x+(2180-1800)(50-x)=(120-a)x+19000

?/a<120,/.120-a>0,當(dāng)x=40時(shí),w取得最大值,

.,.40(120-a)+19000^23000

解得：a220,

Aa的取值范圍是20^a<120

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次

函數(shù)的性質(zhì)解答.

5.(2021?普定縣第二中學(xué)九年級(jí)二模)為更新樹(shù)木品種，某植物園計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩個(gè)

品種的樹(shù)苗栽植培育若計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種樹(shù)苗共41棵，其中甲種樹(shù)苗的單價(jià)為6元/棵，購(gòu)

買乙種樹(shù)苗所需費(fèi)用五元)與購(gòu)買數(shù)量A(棵)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若在購(gòu)買計(jì)劃中，乙種樹(shù)苗的數(shù)量不超過(guò)35棵，但不少于甲種樹(shù)苗的數(shù)量.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)購(gòu)

買方案，使總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用.

11

;(2)當(dāng)購(gòu)買甲種樹(shù)苗20棵，乙種樹(shù)苗21棵時(shí)，使

總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是286.4元

【分析】

(1)分兩種情況：①當(dāng)0〈后20時(shí)，②當(dāng)x>20時(shí)，根據(jù)題意列出y與x的函數(shù)關(guān)系式

即可；

(2)列式求出總費(fèi)用，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出總費(fèi)用的最小值即可.

【詳解】

解：(1)設(shè)當(dāng)0</20時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為尸依，

20-160,得上=8,

即當(dāng)0<A<20時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為尸8x,

設(shè)當(dāng)x>20時(shí)，夕與x的函數(shù)關(guān)系式是尸ax+A,

’20”+8=160

140。+8=288'

a-6.4

得，“-

8=32

即當(dāng)x>20忖，y與x的函數(shù)關(guān)系式是尸6.4%+32,

12

由上可得y與X的函數(shù)關(guān)系式為：尸CC、；

[6.4x+32(x>20)

(2)1?購(gòu)買乙種樹(shù)苗x棵,

，購(gòu)買甲種樹(shù)苗(41-刈棵，

?.?在購(gòu)買計(jì)劃中，乙種樹(shù)苗的數(shù)量不超過(guò)35棵，但不少于甲種樹(shù)苗的數(shù)量，

.*.41-EE35,

解得,20.5WK35,

設(shè)購(gòu)買樹(shù)苗的總費(fèi)用為w元，

：20.5WA<35且x為整數(shù)，

PK=(6.4X+32)+6X(41-刈=0.4*+278,

.,.當(dāng)JV=21時(shí),w取得最小值,此時(shí)w=286.4,41-L20,

答：當(dāng)購(gòu)買甲種樹(shù)苗20棵，乙種樹(shù)苗21棵時(shí)，使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是286.4元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(2021-內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?九年級(jí)一模)在抗擊新型冠狀病毒感染的肺炎疫情過(guò)程中，

某醫(yī)藥研究所正在試研發(fā)一種抑制新型冠狀病毒的藥物，據(jù)臨床觀察：如果成人按規(guī)定的

劑量注射這種藥物，注射藥物后每毫升血液中的含藥量)'(微克)與時(shí)間八小時(shí))之間的關(guān)系

近似地滿足圖中折線.

(1)求注射藥物后每毫升血液中含藥量與時(shí)間r之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取

值范圍；

(2)據(jù)臨床觀察：每毫升血液中含藥量不少于4微克時(shí)，對(duì)控制病情是有效的.如果病人

按規(guī)定的劑量注射該藥物后，求控制病情的有效時(shí)間.

13

10,

—(小時(shí))

【分析】

（1）當(dāng)OWtWl時(shí)，是正比例函數(shù)，用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，即可，當(dāng)l<tW10時(shí)，是一

次函數(shù)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的關(guān)系式，即可;

（2）當(dāng)OWtWl時(shí)，當(dāng)含藥量上升到4微克時(shí)，控制病情開(kāi)始有效，令y=4,代入y=6t,

求出對(duì)應(yīng)的t值，同理，當(dāng)1<良10時(shí)，求出另一個(gè)t值，他們的差就是藥的有效時(shí)間.

【詳解】

(1)當(dāng)OWtWl時(shí)，設(shè)y=kit,則6=kiXl,

ki=6,

.'.y=6t.

當(dāng)lVtWIO時(shí)，設(shè)y=k2t+b,

k2=~l

6=k+b3

‘0=102…解得：

,20

b=——

3

220

y=--1+一,

33

14

6/(0</<1)

綜上所述：y=\220;

--r+y(l<r<10)

2

(2)當(dāng)OWtWl時(shí)，令y=4,即:6t=4,解得:t=一,

220

當(dāng)0<tW10時(shí)，令y=4,即：一一t+——=4,解得：t=4,

33

210

...控制病情的有效時(shí)間為：4——=—(小時(shí)).

33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握一次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法,

是解題的關(guān)鍵.

7.(2021?哈爾濱市蕭紅中學(xué)九年級(jí)一模)已知，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+6交x

軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C為0B上一點(diǎn)，連接AC,且tan/B4C=；；

(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)D為0C上一點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,連接OE、CE,取AE中點(diǎn)F,連接BF、OF,

當(dāng)F在第一象限時(shí)，求SECO+SBOF的值；

(3)在(2)的條件下，將射線AC延AE翻折交0E于點(diǎn)P,連接BP,過(guò)。作OHLAE于

H,若AD=4FH,OE=M，求直線PB的解析式.

【答案】(1)C(0,3)；(2)9；(3)y=y%+6

【分析】

15

(1)作CR，A3,證得□CRB是等腰直角三角形，設(shè)CR=BR=。，由已知得RA=3a,

根據(jù)勾股定理列出等式即可求解；

(2)作ET_LOB于T,取。E中點(diǎn)K,連接K/交CO于/,根據(jù)三角形中位線定理，

即可得出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)8P交無(wú)軸于S，取中點(diǎn)G,連接OG,作OQ_LOP交AP于Q，ONLAP,

AMLEO交E0延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,設(shè)即=a,GF=b,根據(jù)勾股定理及銳角三角函數(shù)求

得有關(guān)線段，證得△BQPgAAOQ,得到NPBO=NPAO,設(shè)設(shè)法求得

ON=-t，4%=受包"從而求得點(diǎn)S的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解.

55

【詳解】

(1)作CRLA3,如圖：

令y=0,則x=6,令x=0,則y=6,

???點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為(6,0),(0,6)

0A=6?0B=6?

AB—\/CZ42+OB2=A/62+62=6V5?

?/OA=OB=6,

.,.ZOBA=45°,

???□CRB是等腰直角三角形，

16

設(shè)CR=BR=a,

tanZBAC=-=

RA3

RA=3a,

RA+BR=3a+。=AB=6>/2，

解得：a貶,

2

BC=V2C/?=V2x-V2=3,

2

OC=OB—BC=6—3=3,

:.C點(diǎn)坐標(biāo)為：C(0,3);

(2)作￡T_LO6于T,取OE中點(diǎn)K,連接KF交CO于/,

：K是OE的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn),

；.KF〃OA,KF=-OA=3,

2

ETVOB,

：.ET〃KF〃OA,

Kl=-ET,

2

17

11,

Z.S&ECO+S&BOF=-ETOC+-OBFI=KIOC+OCFI=KFOC=32=9-,

(3)延長(zhǎng)8P交X軸于S，取A。中點(diǎn)G，連接0G,作OQ_LOP交AP于Q，ONJ.AP,

AM，EO交EO延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

設(shè)HF=a，則A。=4a,

AG=GD=2a=OG,

設(shè)GF=b,

:.AF=AG+GF=2a+b=EF,

EH=EF—HF=2a+b—a=a+b=GH,

VOH1AE于H,

；?GO=EO=04=715，

EO2-EH2=0^-AH2,即E。一EH2=OA2—(AG+G")2,

即E。一=QA2-(AG+E”)2,

(V15)2一EH2=G-(M+EH)2,

18

解得:昨半

AH=AG+EH+

AE=AH+EH=^^

3V10

由勾股定理得OH

5

八ECOH3八“OH1

??tan/HEO==—,tanNHAO=-----=一

EH4AH3

VtanZ.BAC=—

3

ZHAO=ABAC=Z.GAO,

設(shè)NHAO=ABAC=ZGAO=a,

ZCAE=45°-2a=4PAE,

GO=EO=GA,

：.NOGE=ZOEG=2a,

NOPA=ZOEG+ZPAE=45°,

又???OQ±OP,

：.PO=QO,

■：ZPOQ=ZAOB=90°,

ZPOB=ZAOQ,乂AO=BO.PO=QO,

19

XBOP^XAOQ

：.NPBO=4PAO,

設(shè)O〃=3f,EH=4t,EO=5t,AH=3OH=9t,AE=\3t,

CH3

VsinZ.HEO------=—,且NOPA=45°,

EO5

339

AM=-AE=—t=PM,

55

，AP=.呼,

?/cosZ//EO=—=-,

EO5

452

EM=-AE=—t,

55

：.0M=EM—EO=—t,PO=PM-OM=—t,

55

?/ZOPA=45°,

PN=ON=POsin45°=^-^t,

5

?*-AN=AP—PN=―-

5

tanZPBO=tanZ.PAO=----=—

AN11

OS=OBtanNPBO——=—,

3311

20

，點(diǎn)S的坐標(biāo)為（-打，0）,

設(shè)直線PB的解析式為丁=丘+6,

1211

把SG1,0）代入得：k=—,

112

直線PB的解析式為y=y%+6

【點(diǎn)睛】

本題是一次函數(shù)與幾何的綜合題，考查了待定系數(shù)法求??次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，勾

股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等，綜合性很強(qiáng)，難度較大.

8.（2021?河南九年級(jí)一模）某公司推出一款產(chǎn)品，成本價(jià)10元/千克，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，

該產(chǎn)品的日銷售量.V（千克）與銷售單價(jià)X（元/克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，該產(chǎn)品的日

銷售量與銷售單價(jià)之間的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：

銷售單價(jià)元/千克）14182226

日銷售量y（千克）240180120m

（注：日銷售利潤(rùn)=日銷售量X（銷售單價(jià)-成本單價(jià)））

（1）求）‘關(guān)于X的函數(shù)解析式（不要求寫出X的取值范圍）；

（2）根據(jù)以上信息，填空：

①機(jī)=___元；

②當(dāng)銷售價(jià)格X=一元時(shí)，日銷售利潤(rùn)W最大，最大值是一元；

（3）該公司決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐贈(zèng)100元給“精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象，為了保證捐贈(zèng)后每

天的剩余利潤(rùn)不低于1025元，試確定該產(chǎn)品銷售單價(jià)的范圍.

【答案】（1）y=-15x+45O；（2）①60,②20,1500；（3）當(dāng)15別：25時(shí)，捐贈(zèng)后每

天的剩余利潤(rùn)不低于1025元

21

【分析】

（1）從表格中取點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式即可求解；（2）①由表格信息規(guī)律直接填寫答案，

或利用（1）中的函數(shù)解析式，求當(dāng)x=26時(shí)的函數(shù)值.②建立W與X的函數(shù)關(guān)系式，利用

二次函數(shù)性質(zhì)求最大值即可.（3）先求捐贈(zèng)后的利潤(rùn)為1025元時(shí)的銷售單價(jià)，再利用二次

函數(shù)的性質(zhì)直接下結(jié)論即可；

【詳解】

解：（1）設(shè)>與X的函數(shù)關(guān)系式為

14%+。=240

則《解得:k=-l5,。=450.

\Sk+b=lS0

y=—15x+450,

(2)①因?yàn)閥=-15x+450,

所以當(dāng)x=26時(shí)，/〃=y=60.

故答案為：機(jī)=60.

②因?yàn)閃=(—15x+450)(x—10)=—15x2+600》—4500,

b600

所以當(dāng)無(wú)=_丁=_久=20時(shí),W有最大值，

2a2x(-15)

最大值為W=-15x202+600x20-4500=1500，

故答案為20,1500

(3)因?yàn)閃-100=-15S+600x-4500-100=1025，

整理得：—15。-20)2=-375,解得：玉=15,%=25

所以，當(dāng)15勃k25時(shí)，捐贈(zèng)后每天的剩余利潤(rùn)不低于1025元

22

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，能夠理解題意列出合理的方程和不等式是解題

的關(guān)鍵.

9.(2021?江蘇南通市?九年級(jí)其他模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線小尸桿6

與了軸交于點(diǎn)4直線%:產(chǎn)麻+b與y軸交于點(diǎn)8,與人相交于。-3,3),AO=2BO.

(1)求直線出：尸履+6的解析式；

(2)求△4%的面積.

(答案】(1)尸-2x-3；(2)S/\ABC—~

2

【分析】

(1)根據(jù)y軸匕點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)AO=2BO,可求B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系

數(shù)法可求直線h的解析式；

(2)利用三角形面積公式即可求得.

【詳解】

解：(1)：直線/i：尸x+6與y軸交于點(diǎn)4

當(dāng)x=0時(shí)，尸0+6=6,

.M(0,6).

,:AO=2BO,

."(0,-3).

23

?1(-3,3),

"_3女+6=3

代入直線力：尸中得＜

/7=一3

k=-2

解得《

b=-3

故直線k的解析式為y=-2x-3：

1127

（2）S^ABC——AB*\xc\=~x（64-3）X3=—.

乙乙N

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題，待定系數(shù)法，三角形的面積，關(guān)鍵是求出A點(diǎn)

坐標(biāo)，B點(diǎn)坐標(biāo).

10.（2021?新疆九年級(jí)一模）快車和慢車分別從A市和B市兩地同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，

先相向而行，慢車到達(dá)A市后停止行駛，快車到達(dá)B市后，立即按原路原速度返回A市（調(diào)

頭時(shí)間忽略不計(jì)），結(jié)果與慢車同時(shí)到達(dá)A市.快、慢兩車距B市的路程開(kāi)、H（單位：km）

與出發(fā)時(shí)間x（單位：h）之間的函數(shù)圖像如圖所示.

（1）A市和B市之間的路程是km；

（2）求a的值，并解釋圖中點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義；

（3）快車與慢車迎面相遇以后，再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距20km?

24

【答案】（1）360.（2）a=12O,點(diǎn)”的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義是兩車出發(fā)2小時(shí)時(shí)，

在距B市120km處相遇.（3）快車與慢車迎面一相遇以后，再經(jīng)過(guò)5或？'h兩車相距20km.

【分析】

（1）由函數(shù)圖象的數(shù)據(jù)意義直接可以得出A、B兩地之間的距離；

（2）根據(jù)題意得快車速度是慢車速度的2倍，觀察圖象知2小時(shí)快車與慢車迎面相遇，列

出方程可求得答案；

（3）利用待定系數(shù)法分別求出AB、BC、OC的解析式，根據(jù)題意列出方程求解即可.

【詳解】

（1）由題意得：A市和B市之間的路程是360km；

（2）根據(jù)題意得快車速度是慢車速度的2倍,設(shè)慢車速度為xkm/h,則快車速度為2xkm/h.

根據(jù)題意，得2（X+2A）=360,解得A^60.

2X60=120,所以a=120.

點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義是兩車出發(fā)2小時(shí)時(shí)，在距B市120km處相遇.

（3）快車速度為120km/h,到B市后又回到A市的時(shí)間為360x2+120=6（h）.

慢車速度為60km/h,到達(dá)A市的時(shí)間為360+60=6（h）.

如圖：

當(dāng)0W-3時(shí),

25

設(shè)AB的解析式為：y=kx+b

由圖象得：x=0.y-360：x=2,y=120；代入y=Ax+〃得:

b=36Q

'2m20

1=-120

解得：〈

力=360

.,.AB的解析式為:y=-120X+360(0<A<3).

當(dāng)3VA<6時(shí),

設(shè)BC的解析式為:X=k、x+b]

由圖象得：x=3,y=0；x=6,y=360；代入〉|=匕》+4得:

3kl+偽=0

6Z1+偽=360

勺=120

解得：<

4=—360

函數(shù)的解析式為:H=120X-360(3<Z6).

設(shè)0C的解析式為：%=k2x

由圖象得：x=6,y=360；代入>2=七％得:

6攵2=360

解得：&=60

；.OC的解析式為：戶=60虱0<A<6).

26

當(dāng)0WA<3時(shí),

根據(jù)題意，得〃-y=20,即60_￥■—(—120x+360)=20,

…1919cl

解得x=—,---2=—

999

當(dāng)3VA<6時(shí),

根據(jù)題意，得力一分=20,即60L(120萬(wàn)—360)=20,

，…171711

解得--,-----2——

333

所以，快車與慢車迎面相遇以后，再經(jīng)過(guò)"或:1?h兩車相距20km.

【點(diǎn)睛】

本題考查了行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)

與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

11.(2021?北京交通大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)零模)在平面內(nèi)，C為線段AB外的一點(diǎn)，若以

A,B,C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則稱C為線段AB的直角點(diǎn).特別地，當(dāng)該三角形

為等腰直角三角形時(shí)，稱C為線段AB的等腰直角點(diǎn).

(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0),在點(diǎn)Pi(0,T),P2(5,l),

P3(2,2)中，線段0M的直角點(diǎn)是；

I________[11I1?

-10123456x

-1事

-2-

圖1

27

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,4),(1,-6),直線1的解析式為

y=-x+7.

①如圖2,C是直線1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若C是線段AB的直角點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②如圖3,P是直線1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將所有線段AP的等腰直角點(diǎn)稱為直線1關(guān)于點(diǎn)A的

伴隨點(diǎn),若00的半徑為r,且。0上恰有兩個(gè)點(diǎn)為直線1關(guān)于點(diǎn)A的伴隨點(diǎn)，直接寫出r的

取值范圍.

圖3

28

【答案】(1)PHP3；(2)①點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4)或(13,-6)或(4,3)或(5,2)；②變<r<

2

2.

【分析】

(1)根據(jù)直角點(diǎn)的定義判定即可；

(2)①NBAC=90°時(shí)，可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,b).因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)已知，點(diǎn)C在直線上,

可解得點(diǎn)C的坐標(biāo)；ZABC=90°時(shí)，已知點(diǎn)B坐標(biāo)同理可解點(diǎn)C坐標(biāo)；取AB的中點(diǎn)P,

連接CM,根據(jù)A、B坐標(biāo)可求出P點(diǎn)坐標(biāo)及AB的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可

得CP的長(zhǎng)，列方程求出a、b的值即可求得點(diǎn)C坐標(biāo)：

②設(shè)P(m,-m+7),連接AP,以AP為邊向下作正方形APC3C1，連接PCi、AC3,交于C2,

則Q、C2>C3為AP的等腰直角點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別過(guò)點(diǎn)P、Ci作y軸平行線，

交x軸的平行線于E、F,利用AAS可證明△AFC&Z\APE,可得AF=PE=4-(-m+7)=m-3,

FCi=AE=m-l,即可用m表示出Ci坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示出C2坐標(biāo)，即可得出

Q、C2的運(yùn)動(dòng)軌跡，分別求出兩條直線與。。相切時(shí)的r值即可得答案.

【詳解】

(1)VZMOPi=90°,

...Pi為0M的直角點(diǎn),

VP2(5,1),M(4,0),

...△MOP2是鈍角三角形，

；.P2不是OM的直角點(diǎn),

VP3(2,2),

?'?OP3=2正，MP3=2及，OM=4,

2

.".OP3+MP32=OM2,

29

.??△0MP3是直角三角形,

；.P3是0M的直角點(diǎn)，

故答案為:Pl、P3

(2)①如圖，當(dāng)NBAC=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,b),

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)C在直線y=f+7上,

b=4?b=一。+7,

解得a=3,

ACi(3,4),

當(dāng)NABC=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,b),

??,點(diǎn)B的坐標(biāo)為點(diǎn)C在直線y=—x+7上，

b=—6?b=—a+7,

解得a=13,

/.C2(13,-6).

當(dāng)NACB=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,b),AB的中點(diǎn)P,連接CP,

???點(diǎn)C在直線y=-x+7上，

b——a+7,

???點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,4),(1,-6),

.\AB=10,

VZACB=90°,當(dāng)P為AB中點(diǎn)，

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1),CP=3AB=5,

30

7(?-1)2+0+1)2=5，即(a-l)2+(8-a)2=25,

解得：ai=4,a2=5,

.".bi=3,b2=5,

AC3(4,3),C4(5,2).

綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,4）或（13,-6）或（4,3）或（5,2）.

②如圖，設(shè)P（m,-m+7）,連接AP,以AP為邊向下作正方形APC3C1，連接PCi、AC3,

交于C2,則Ci、C2、C3為AP的等腰直角點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別過(guò)點(diǎn)P、J作y軸平行線，交x軸的平行線于E、F,

???△AEP、aAFCi為直角三角形，

VZFACi+ZEAP=90°,NEAP+NAPE=90°,

AZFACi=ZAPE,

31

=NPE4=90。

在△AFCi和4APE中一NE4￡=NAPE,

AG=AP

AAFCi^AAPE,

AF=PE=4-(-m+7)=m-3,FCi=AE=m-l,

/.Ci(4-m,5-m),

VP(m,-m+7),C2為PCi中點(diǎn)，

Cz(2,6-m),

???點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線

Ciy=x+l,C2x=2,

直線y=x+l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),

當(dāng)y=x+l于。0相切時(shí)，r=,

2

當(dāng)直線x=2與。。相切時(shí)，r=2,

的取值范圍為立Vr<2.

2

32

本題考查了定義的自學(xué)能力，一次函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系，利用函數(shù)式表示坐標(biāo)并運(yùn)用討論條件

的思想是解題關(guān)鍵.

12.(2021?河南九年級(jí)其他模擬)在直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)0及點(diǎn)A(8,0),C(0,6)

作矩形OABC,連接OB,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE,作DF_LDE,

交OA于點(diǎn)F,連接EF