控制科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)報(bào)告

控制科學(xué)與工程實(shí)驗(yàn)

(ControlScienceandEngineeringExperiments)

報(bào)告

學(xué)科專(zhuān)業(yè):控制工程

年級(jí):_________________

學(xué)號(hào):_________________

姓名:_________________

2013年6月

實(shí)驗(yàn)一倒立擺系統(tǒng)

一實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵?/p>

1.運(yùn)動(dòng)經(jīng)典控制理論控制直線一級(jí)倒立擺，包括實(shí)際系統(tǒng)模型的建立、根

軌跡分析和控制器設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)分析、PID控制分析等內(nèi)容。

2.學(xué)習(xí)MATLAB工具軟件在控制工程中的應(yīng)用。

3.掌握對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模的方法，熟悉利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真,

利用學(xué)習(xí)的控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際控制實(shí)驗(yàn)，對(duì)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行觀察和分析，非常直觀的感受控制器的控制作用。

二實(shí)驗(yàn)原理

1.直線一級(jí)倒立擺的物理模型

系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì)

象上加一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè)其

可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入一輸出關(guān)系。這里面包括輸入信

號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是

在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系

統(tǒng)內(nèi)部的輸入一狀態(tài)關(guān)系。

對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。

但是忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可

以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面采用牛頓-歐

拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和

勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示:

圖1-1直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)

做如下假設(shè)：

M小車(chē)質(zhì)量

m擺桿質(zhì)量

b小車(chē)摩擦系數(shù)

/擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度

I擺桿慣量

產(chǎn)加在小車(chē)上的力

x小車(chē)位置

“擺桿與垂直向上方向的夾角

。擺桿與垂直向卜方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）

下圖是系統(tǒng)中小車(chē)和擺桿的受力分析圖。其中，N和尸為小車(chē)與擺桿相互

作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)盒執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而

矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?/p>

Fnclcn

圖1-2小車(chē)及擺桿受力分析

分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程:

Mx^F-bx-N(1-1)

由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:

N=in—r(x+/sin0)(1-2)

df

即:

N=mx+ml0cos0-mlO~sin0(1-3)

把這個(gè)等式帶入式（1-1）中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:

(M+m)x+bx+ml0cos3-ml0~sin6=F(1-4)

為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行了分

析，可以得到下面方程:

P-mg-m--(/cos9)(1-5)

dt-

P-mg--ml3sin0-ml3~cos0(1-6)

力矩平衡方程如下:

-PIsin0-Nlcos0=10(1-7)

注意:此方程中力矩的方向,由于e=%+0,cos。=-cos6,sin。=-sin6,故

等式前面有負(fù)號(hào)。

合并這兩個(gè)方程，約去N和尸，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:

(/+ml2)0+mglsin0=-mixcos3(1-8)

設(shè)。=萬(wàn)+”("是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)。與1(單位是

弧度)相比很小，及。<<1,則可以進(jìn)行近似處理：cos8=-l,sin9=-。,(第=0。

用〃來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F,線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：

2

J(I+ml~)^-mgl(/)-mix

+m)x+hx-ml^=u(1-9)

對(duì)式(1-9)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到

(/+ml2)^>(s)s2-〃?g/①(s)=mlX(s)s2

(M+m)X(s)s2+bX(5)5-ml<t>(s)s2=U(s)(1-10)

注意：推到傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。

由于輸出為角度。，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到：

X(S)=5M6)⑴⑴

mls

或

①(s)_mis2

X(s)(/+/??/2)5,2-mgl

如果令u=x,則有：

①(s)_ml(1-13)

V(s)(/+m/2)52-mgl

把上式代入方程組的第二個(gè)方程，得到：

(M+m)(/+“"1一《①($)$2+6(/+"",)+與①(s)s-〃〃①(S川2=(y(s)(1-14)

mlsmls~

整理后得到傳遞函數(shù):

ml2

—s

①(S)二_______________q____________________

2

U(5)4/?(/+m/)3(M+機(jī))mg/2bmgl

SH——S-----------------S------S(1-15)

qqq

其中q-[(Af+m)(I+ml2)-(ml)2]

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為:

N=AX+Bu(1-16)

y-CX+Du

方程組對(duì)元力解代數(shù)方程，得到解如下：

x=x

..-{I+ml2)bin2gl2.(/+ml2)

x=---------------------x+---------------------(b+---------------------u

Z(M+m)+Mml2I(M+m)+Mml11(M+m)+Mml2

3=6(1/7)

?--mlb.mgl(M+m).ml

(b=--------------------7X+--------------------7(P4--------------------7〃

/(M+m)+Mml~/(M+m)+Mml，/(M+m)+Mml~

整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:

一?

X01X0

0一(/+/4)。(Z+zn/2)

i土

I(M+m)+Mml2I(MMml2

.0

000010

-3

o0-mlbmgl{M+tn)0ml

一I(M+m)+M〃42I(M+m)+M/n/2.I(M+m)+Mml2

X

由(1-9)的第一個(gè)方程為：

(/+/nF)$-mgle-mix

對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：

I=—ml2

3

于是可以得到：

\—ml2+ml2—mgl(/)=mix

化簡(jiǎn)得到:

?;3g°+3￡

(P-(1-19)

4Z4/

設(shè)X={x,x,“,。},”=無(wú)則有:

x0100x0

工VVuVX?

I1

3-oo。1

%”+0u

3ooo?

火3

一■

4/4/

x-_1ooo-

-0

-o=oo1oI+u(1-20)

-一-0

另外，也可以用MATLAB中tf2ss命令對(duì)（1-13）式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得上述狀

態(tài)方程。

實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:

M小車(chē)質(zhì)量1.096Kg

m擺桿質(zhì)量0.109Kg

b小車(chē)摩擦系數(shù)0.1N/m/sec

I擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25m

I擺桿慣量0.0034KG*m*m

把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。

擺桿角度和小車(chē)位移的傳遞函數(shù):

①0.027255-

(s)(1-21)

X(s)0.0102125?-0.26705

擺桿角度和小車(chē)加速度之間的傳遞函數(shù)為:

①⑸0.02725

(1-22)

V(5)0.0102125?-0.26705

擺桿角度和小車(chē)所受外界作用力的傳遞函數(shù):

①⑸2.35655s

(1-23)

U(s)+0.0883167?-27.91695-2.30942

以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

-?

X01000

￡

0-0.08831670.62931700.883167

3+u

00010

3

-0-0.23565527.828502.36555

x

000X0

+u(1-24)

000

以小車(chē)的加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

X0100X0

X0000X1

—+u

00010

0029403

1000.一。-

+u(1-25)

00100

,

一

三主要實(shí)驗(yàn)設(shè)備

計(jì)算機(jī)及MTALAB等相關(guān)軟件

固高倒立擺系統(tǒng)的軟件

固高一級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)，包括運(yùn)動(dòng)卡和倒立擺實(shí)物

倒立擺相關(guān)安裝工具

四實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄

1.倒立擺系統(tǒng)仿真

在Simulink中將倒立擺的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)連接好，如下圖:

圖3-1Simulink仿真圖

得到仿真結(jié)果，示波器模擬圖如下：

圖3-2示波器仿真圖

由此仿真結(jié)果可以看出，此開(kāi)環(huán)的倒立擺系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此必須添加一定的

控制器控制此系統(tǒng)，才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。

PID控制器因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對(duì)系統(tǒng)建立精確的模型，因

此在控制方面應(yīng)用較廣泛。本系統(tǒng)選取PID控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，以達(dá)到實(shí)

驗(yàn)要求。

對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)建立PID控制仿真模型如下圖：

圖3-3直線一級(jí)倒立擺PID控制Simulink仿真模型

設(shè)置PID參數(shù)，令35,Kj=0,K'=0得以下仿真結(jié)果：

圖3-4直線一級(jí)倒立擺P控制仿真結(jié)果圖（K〃=5）

由波形圖可以看出，依舊不收斂，增大控制量，3,=40,Ki=Q,跖=0,得

到以下仿真結(jié)果:

圖3-5直線級(jí)倒立擺P控制仿真結(jié)果圖（K〃=40）

從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩，周期約為0.7s。為了消除系統(tǒng)的

振蕩，增加微分控制參數(shù)K。，令K,=40,K,=0,K0=4,得到仿真結(jié)果如下：

從圖中可以看出來(lái)，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，大約為4s,且在兩個(gè)振蕩周期后

才能穩(wěn)定，因此再增加微分控制參數(shù)K。，令K〃=40,K,=0,K0=10,得到仿真

結(jié)果如下：

圖3-7直線一級(jí)倒立擺PD控制仿真結(jié)果圖(Kp=40,Kd=10)

從上圖可以看出，系統(tǒng)在2.5S后達(dá)到平衡，但是存在一定的穩(wěn)態(tài)

誤差。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，我們?cè)黾臃e分參數(shù)K,,令K,,=40,K,=20,

K0=10,得到仿真結(jié)果如下：

圖3-8直線一級(jí)倒立擺PID控制仿真結(jié)果圖(Kp=40,Ki=20,Kd=10)

從上圖仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但是由于積分因素的影響,

穩(wěn)定時(shí)間明顯增大。

雙擊“Scopel”，得到小車(chē)的位置輸出曲線為:

圖3-9直線一級(jí)倒立擺PD控制仿真結(jié)果圖（小車(chē)位置曲線）

可以看出，由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角

度，并不能控制小車(chē)的位置，所以小車(chē)會(huì)往一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。

2.倒立擺系統(tǒng)驗(yàn)證

打開(kāi)直線一級(jí)倒立擺PID控制界面如下圖:

圖3-10直線--級(jí)倒立擺MATLAB實(shí)時(shí)控制界面

輸入PID參數(shù)后，，編譯程序，完成后點(diǎn)擊連接使得計(jì)算機(jī)和倒立擺建立連

接。雙擊運(yùn)行程序，檢查電機(jī)是否伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位

置，在程序進(jìn)入自動(dòng)控制后松開(kāi)，當(dāng)校車(chē)運(yùn)動(dòng)到正負(fù)極限位置的時(shí)候，用工具擋

一下擺桿，使得小車(chē)反響運(yùn)動(dòng)。

得到如下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖：

->Scopel

d?E3S

<0016

402

-0022

?oax

■0029

003

<0032

?0g

-oax

圖3-11直線一級(jí)倒立擺PID控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從圖中可以看出，倒立擺有比較好的穩(wěn)定性，擺桿的角度在1.5（弧度）左

右擺動(dòng)，小車(chē)的位置也基本上保持在一個(gè)固定的位置，保證倒立擺能夠穩(wěn)定直立

在小車(chē)之上。說(shuō)明實(shí)驗(yàn)中的控制器能夠控制擺桿的倒立，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證成功。

3.倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)

由上面的驗(yàn)證性試驗(yàn)，可以看出PID控制器能夠很好地控制倒立擺系統(tǒng)，

但是由波形圖還是可以看出，擺桿的角度的波形還是有一些毛刺，說(shuō)明倒立擺系

統(tǒng)的控制器還是不能保持完全的穩(wěn)定，因此，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制器進(jìn)行重新設(shè)

計(jì)，以保證更好的穩(wěn)定性。在新的控制器中，加入模糊控制方法，將PID控制

和模糊控制結(jié)合起來(lái)，從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

重新設(shè)計(jì)的模糊PID控制器如下圖：

圖3-12直線一級(jí)倒立擺的模糊PID控制器設(shè)計(jì)

將此控制器接入仿真模型中，給定參數(shù)，設(shè)定K°=50,Kj=30,K『17,得

到如下仿真圖：

EQScope

，茴Q麗"ft寇聒目?

Timeoffset:0

圖3-13直線一級(jí)倒立擺模糊PID控制仿真圖

由圖可以看出，此控制器有很好的穩(wěn)定性，能夠迅速保持系統(tǒng)穩(wěn)定，將此控

制器接入實(shí)際控制界面，編譯運(yùn)行后，倒立擺系統(tǒng)能夠很好地穩(wěn)定倒立，得到如

下波形：

圖3-14直線一級(jí)倒立擺模糊PID控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由此圖可以看出，在系統(tǒng)經(jīng)過(guò)Is多的響應(yīng)之后，開(kāi)始穩(wěn)定，擺桿的角度一

直保持在0（弧度），而小車(chē)的位置也趨近于靜止不動(dòng)，相比于上面驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中

的控制結(jié)果圖，波形沒(méi)有過(guò)多的毛刺，控制結(jié)果更加穩(wěn)定。在4s多時(shí)候外界給

一個(gè)干擾之后，擺桿弧度就會(huì)出現(xiàn)變化，而小車(chē)位置也出現(xiàn)比較大的波動(dòng)，但是

如果干擾不大，沒(méi)有超過(guò)系統(tǒng)的自適應(yīng)范圍，整個(gè)系統(tǒng)還是會(huì)自動(dòng)重新趨近于穩(wěn)

定，相比原來(lái)的PID控制器，有很大的優(yōu)點(diǎn)。

五實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

對(duì)比上面兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看出：

1）對(duì)于直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)，PID控制器能夠很好地控制此系統(tǒng)，使系統(tǒng)

快速進(jìn)入穩(wěn)定，由此證明PID控制器在對(duì)于直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)上面的可能性。

2)PID控制器設(shè)計(jì)原理簡(jiǎn)單，控制快速有效，但是對(duì)于非線性、時(shí)變、耦

合及參數(shù)和結(jié)構(gòu)不確定性的復(fù)雜過(guò)程，PID控制器就顯示出來(lái)不足。如果PID控

制器不能控制復(fù)雜過(guò)程，無(wú)論怎么調(diào)節(jié)參數(shù)都是沒(méi)有用的。

3)對(duì)于PID控制器的不足，往往可以將PID控制器與其他控制器相結(jié)合，

比如根軌跡控制器、模糊控制器等，來(lái)增加控制器的精度穩(wěn)定性等。兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)

果的對(duì)比就能說(shuō)明問(wèn)題。

實(shí)驗(yàn)二磁懸浮系統(tǒng)

一實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵?/p>

1.觀察自穩(wěn)定的磁懸浮物理現(xiàn)象；

2.了解磁懸浮的作用機(jī)理及其理論分析的基礎(chǔ)知識(shí);

3.自行設(shè)計(jì)一個(gè)控制器來(lái)控制磁懸浮系統(tǒng)。

—實(shí)驗(yàn)原理

磁懸浮控制系統(tǒng)是研究磁懸浮技術(shù)的平臺(tái)，是一個(gè)典型的吸浮式懸浮系統(tǒng)。

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖。

電磁鐵

圖2-1磁懸浮系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖

電磁鐵繞組中通過(guò)一定的電流會(huì)產(chǎn)生電磁力F,只要控制電磁鐵繞組中的電

流，使之產(chǎn)生的電磁力與鋼球的重力〃吆相平衡，鋼球就可以懸浮在空中而處于

平衡狀態(tài)。為了得到一個(gè)穩(wěn)定的平衡系統(tǒng)，必須實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制，使整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定

具有一定的抗干擾能力。本系統(tǒng)采用光源和光電位置傳感器組成的無(wú)接觸測(cè)量裝

置檢測(cè)鋼球與電磁鐵之間的距離X的變化，為了提高控制的效果，還可以檢測(cè)距

離變化的速率。電磁鐵中控制電流的大小作為磁懸浮控制對(duì)象的輸入量。

1.磁懸浮的物理模型

假設(shè)忽略小球受到的其他干擾力(風(fēng)力、電網(wǎng)突變產(chǎn)生的力等)，則受控對(duì)

象小球在此系統(tǒng)中只受電磁吸力尸和自身的重力mg。球在豎直方向的動(dòng)力學(xué)方

程可以如下描述：

m-F(i,x')+mg(2-1)

dr

式中：x-一…小球質(zhì)心與電磁鐵磁極之間的氣隙(以磁極面為零點(diǎn))，單位：m

m----小球的質(zhì)量，單位：Kg

F(i,x)——電磁吸力，單位:N

g-----重力加速度，單位：根//

在圖2-1磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中，小球到電磁鐵磁極的氣隙為X。由上面

假設(shè)可知磁路的磁阻主要集中在電磁鐵磁極和小球所組成的氣隙上。其磁阻為：

R(X)=-L+二<2-2)

岷)AOA

式中：/……鐵芯(包括銜鐵)的導(dǎo)磁長(zhǎng)度(m)；

-…分別為空氣磁導(dǎo)率和鐵芯的相對(duì)磁導(dǎo)率；

AA)---分別為螺線管一頭的空氣隙和鐵芯導(dǎo)磁截面積；

其中“o=4%乂10"H/用

因?yàn)殍F芯由鐵磁材料制成，其磁阻與氣隙磁阻相比很小，上式中右邊第一項(xiàng)可以

忽略，所以

R(x)=I2v(2-3)

4A

由磁路的基爾霍夫定律有:

Ni=@(i,x)R(x)(2-4)

則:

Ni

“(i,x)=(2-5)

扃

將式(2-3)代入式(2-4)中得到:

</>(i,x)=pAN(2-6)

02x

在這里，假設(shè)電磁鐵沒(méi)有工作在磁飽和狀態(tài)下，且每匝線圈中通過(guò)的磁通量都是

相同的，則線圈的磁通鏈數(shù)為：

W(Lx)=N(f)(i,x)=ROAN」(2-7)

由畢奧-薩法爾定律可知，在空間任意一點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度都與回路中的電

流強(qiáng)度成正比，因此通過(guò)回路所包圍的面積則磁通量”也與電流/成正比，即

NgU(2-8)

則瞬時(shí)電磁鐵繞組線圈電感為：

L(i,x)=W(、x)JOAN-(2-9)

i2x

磁場(chǎng)的能量—x)為:

叱“(i,x)=gL(i,x),(2-10)

以上A為電磁鐵下方整個(gè)空氣隙的磁通截面積，換算到小球的截面積，則小球電

磁的吸引力:

氏KfAN32

尸億%)=變巫2=上4x)氏AN,KfJ、2

-=-------(2-11)

6x8x

式中：A。---空氣磁導(dǎo)率，4=4萬(wàn)xlO"H/m；

KfA----磁通流過(guò)小球截面的導(dǎo)磁面積；

N----電磁鐵線圈匝數(shù)；

A----小球質(zhì)心到電磁鐵磁極表面的瞬時(shí)氣隙；

i——電磁鐵繞組中的瞬時(shí)電流；

其中，可定義一常系數(shù)K：

M氏AN?Kf

IX---------------

4

則電磁力可改寫(xiě)為：

尸(i,x)=K(±)2(2-12)

X

由電磁力公式(2-12)可以得知電磁吸力廠(i,x)與氣隙x是非線性的反比關(guān)

系，這也是磁懸浮系統(tǒng)不穩(wěn)定的根源所在。

為了研究問(wèn)題方便，我們將電磁鐵線圈模型化，即考慮主要特性，忽略次要

特性。將電磁鐵線圈用一電阻R與一電感線圈L串聯(lián)來(lái)代替。同時(shí)，為了減小誤

差，模型應(yīng)充分考慮懸浮小球?qū)﹄姶啪€圈的音響。有電磁感應(yīng)定律及電路的基爾

霍夫定律可知有如下關(guān)系：

U⑴=Ri⑴+兇)=&⑺+(2-13)

dtdt

由上式可以看出，電磁鐵繞組中的瞬時(shí)電感L(x)是關(guān)于小球到電磁鐵磁極

表面的氣隙x的函數(shù)，而且與其成非線性的關(guān)系。

功率放大器主要是解決感性負(fù)載的驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，將控制信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂齐娏鳌?/p>

因系統(tǒng)功率低，故采用模擬放大器。

模擬功率放大器根據(jù)輸出信號(hào)的不同又分為電壓-電流型功率放大器和電壓

-電壓型功率放大器。前者根據(jù)控制器的輸出信號(hào)自動(dòng)地向勵(lì)磁線圈提供電流，

而后者的輸入輸出均為電壓信號(hào)。本系統(tǒng)設(shè)計(jì)采用電壓-電流型功率放大器。

在功率放大器的線性范圍以?xún)?nèi)，其主要表現(xiàn)為一階慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)可

以表小為：

GO(S)=5^=-^-(2-14)

/⑶1+4

其中：K”為功率放大器的增益，，為功率放大器的滯后時(shí)間常數(shù)。

在系統(tǒng)實(shí)際過(guò)程當(dāng)中，功率放大器的滯后時(shí)間常數(shù)非常小，對(duì)系統(tǒng)影響可以

忽略不計(jì)。因此可以近似認(rèn)為功率放大器環(huán)節(jié)僅由一個(gè)比例環(huán)節(jié)構(gòu)成，其比例系

數(shù)為K”。本系統(tǒng)中傳遞函數(shù)由硬件電路計(jì)算得：

G0(s)=K“=5.8929(2-15)

小球處于平衡狀態(tài)時(shí)，其加速度為零，由牛頓第二定律可知小球此時(shí)所受合

力為零。小球受到向上的電磁力與小球自身的重力相等，即：

?

/ng+/(zo,xo)=O(2-16)

磁懸浮系統(tǒng)方程可以由上面的方程聯(lián)合描述，現(xiàn)歸納如下：

=F(i,x)+mg

d(i,x)=K(32

]X

mg+F(i,x)=O

ooJ?

U(f)=R(f)+L]?

Iat

此磁懸浮系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，如果欲用線性理論來(lái)求解此系統(tǒng)，

必須需要首先對(duì)其非線性部分進(jìn)行線性化處理。

實(shí)際的物理系統(tǒng)都不是線性的，只不過(guò)其非線性的程度有所不同而已，但是，

有一些非線性系統(tǒng)在一定條件下或一定范圍內(nèi)可以近似地視為線性的系統(tǒng)，這種

有條件地把非線性的數(shù)學(xué)模型華為線性模型來(lái)處理的方法，稱(chēng)為非線性數(shù)學(xué)模型

的線性化。在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，線性化是一種常見(jiàn)的、有效的方法。

控制系統(tǒng)都有一個(gè)額定的工作狀態(tài)，以及與其相對(duì)應(yīng)的工作點(diǎn)。非線性數(shù)學(xué)

模型線性化的一個(gè)基本假定就是，變量偏離工作點(diǎn)的偏差量很小。由級(jí)數(shù)理論可

知，若變量在給定的區(qū)間各階導(dǎo)數(shù)都存在，便可在給定工作點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函

數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。當(dāng)偏差的范圍很小時(shí)，可以忽略級(jí)數(shù)中偏差的高次項(xiàng)，得到

只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程。這種線性化的方法稱(chēng)為小偏差法。

對(duì)于具有一個(gè)自變量的非線性系統(tǒng)，設(shè)其輸入量x,輸出量為y=/(x),如

果在給定工作點(diǎn)%=/(%)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，那么在打=/(劉)附近展開(kāi)成泰

勒級(jí)數(shù)：y=/(x)=/(Xo)+，(x7o)+U^(x-Xo)2+3

C?VV

式中的導(dǎo)數(shù)均在x=x0點(diǎn)上計(jì)算。如果變量的變化x-%很小，則可以忽略x-x0的

高階項(xiàng)。于是上式寫(xiě)成：

y=y（）+K（x-%）

式中

＞0=/（。）

K=%一

dxf

上式表明，y-%與x-Xo成正比。

下面研究另外一種非線性系統(tǒng)，它的輸出量是兩個(gè)輸入量的函數(shù)，因此

y=/（占,X2）

為了得到這一非線性系統(tǒng)的線性近似關(guān)系，可以將上式在額定工作點(diǎn)%,乙。附近

展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)。于是方程變成

y=/（M）+信（xf）+秒-臼+］答（…。＞+2融—』）+簧C/+…

于是在額定工作狀態(tài)附近，這個(gè)非線性系統(tǒng)的線性數(shù)學(xué)模型可寫(xiě)成

J-JO=儲(chǔ)（七一網(wǎng)0）+長(zhǎng)2（＞2—40）

由于電磁系統(tǒng)中的電磁力E和電磁鐵中繞組中的瞬時(shí)電流i、氣隙X間存在

著較復(fù)雜的非線性關(guān)系，若要用線性理論進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)必須對(duì)系統(tǒng)中各個(gè)非

線性部分進(jìn)行線性化。此系統(tǒng)有一定的控制范圍，所以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化的可能

性是存在的，同時(shí)實(shí)驗(yàn)也證明，在平衡點(diǎn)（%,X。）對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理是可行的。

利用前面提到的非線性系統(tǒng)線性化方法，可以對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。

對(duì)式（2-12）作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，省略高階項(xiàng)可得

F（i,x）=F（i0,x0）+Fi（z0,x0）（z-i0）+Fx（z0,x0）（x-x0）（2-17）

式中產(chǎn)&,/）是當(dāng)磁極與小球間的氣隙為X0，平衡電流為io時(shí)電磁鐵對(duì)小球的電

磁引力，且與小球的重力平衡，即

F(z0,x0)=(2-18)

分別定義&,K,為:

2Ki

Kj=Fj(io，x°)=與(2-19)

%

Kr=FxO-o，x())=-----(2-20)

xo

其中，K,為平衡點(diǎn)處電磁力對(duì)電流的剛度系數(shù)，儲(chǔ)為平衡點(diǎn)為電磁力對(duì)氣

隙的剛度系數(shù)。

將式(2-18)、式(2-19)和式(2-20)代入式(2-17)有:

F(i,x)=K/+K,x+(2-21)

故完整描述此系統(tǒng)的方程式如下：

d2

機(jī)-7xT=K,?-。)+K1(x—X。)(2-21)

at

本系統(tǒng)在建立模型時(shí)，由于輸入量直接是電磁鐵的控制電流，沒(méi)有考慮感抗

對(duì)系統(tǒng)的影響，從而感性元件儲(chǔ)能的角度加以分析建模。且假設(shè)功率放大器的輸

出電流與輸入電壓之間呈嚴(yán)格的線性關(guān)系且無(wú)延遲。

系統(tǒng)可用下列方程來(lái)描述：

d2x?、、—2Ki0.2Ki：

〃2-jy=Kg-z0)+Kx(x-x0)=——i------x

dtx()

拉普拉斯變換后得到：

/、2一2Ki。IKil

x(s)s-—r，G)-----rx。)

mxQmxQ

由邊界方程〃吆=-K(2)2代入得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù):

X。X(5)_-1

l(s)~AS2-B

定義系統(tǒng)對(duì)象的輸入量為功率放大器的輸入電壓也即控制電壓U,“，系統(tǒng)對(duì)

象輸出量x所反映出來(lái)的輸出電壓(傳感器后處理電路輸出電壓)，則該系

統(tǒng)控制對(duì)象的模型可寫(xiě)為：

KRs)-(KJK.)

U,“G)K〃i(s)AS2-B

A=_L,B=b

2gx0

則有開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：AS2-B=O

解得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為：s=±需=±杼

由上所得，取系統(tǒng)狀態(tài)變量分別為X1=,x2=iiou,系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

(0-ro"i

2gK

過(guò)0+uin

7X27

(X。>【io-K"

y=[i0石

%

可以看出系統(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判

據(jù)，即系統(tǒng)所有的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)必須位于復(fù)平面的左半平面時(shí)系統(tǒng)才穩(wěn)定，所以磁懸

浮球系統(tǒng)是本質(zhì)不穩(wěn)定的。

代入實(shí)際物理模型的參數(shù)后，可得:

9]/omi°v

&廠〔980.00d*12499.1)in

系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以寫(xiě)為:

X=AX+BUin

Y=CX

對(duì)方程進(jìn)行拉普拉斯變換可得:

X(s)=(s/-A)-"(s)

yG)=C「X(s)

故4.-丫間的傳遞函數(shù)為

G^)=^-=CT(SI-AY'B

a,G)

將以上參數(shù)值代入有

77.8421

G0(s)

0.0311?-30.5250

三主要實(shí)驗(yàn)設(shè)備

計(jì)算機(jī)及MTALAB等相關(guān)軟件

磁懸浮系統(tǒng)的軟件

磁懸浮系統(tǒng)實(shí)物

磁懸浮相關(guān)安裝工具

四實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄

1.磁懸浮系統(tǒng)仿真

磁懸浮系統(tǒng)的頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)可以表示為如下問(wèn)題:

一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

77.8421

G(s)=

0.03111—30.5250

設(shè)計(jì)控制器3(5),使得系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為5,相位裕量為50%,

增益裕量等于或大于10分貝。

1)選擇控制器。給系統(tǒng)增加一個(gè)超前校正就可以滿足設(shè)計(jì)要求，設(shè)超前校

正裝置為：

1

s+一

7\+1

K_T_

1

+——

aT

已校正系統(tǒng)具有開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G,(s)G(s)

設(shè)

77.8421xK

G(s)=KG(s)=

0.031l.v2-30.5250

式中K=K,a。

2)根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求計(jì)算增益K,

(s+亍)778421

K?=limG(s)G(s)=limK——x-----------------=5

p20八c"''一。fc,1.0.031152-30.5250

(s+f)

aT

可以得到:

K=K,a=1.9607

于是有:

77.8421x1.9607

G,(s)=-----------------

10.0311?-30.5250

3)根據(jù)設(shè)計(jì)要求，需要增加裕量50%,增加超前校正裝置會(huì)改變Bode圖

的幅值曲線，這是增益交界頻率會(huì)向右移動(dòng)，必須對(duì)增益交界頻率增加所造成的

GU3)的相位滯后量進(jìn)行補(bǔ)償，因此，假設(shè)需要的最大相位超前量耙近似等于

55%O

因?yàn)?，?jì)算可以得到a=0.0994。

4)確定了衰減系數(shù)，就可以確定超前校正裝置的轉(zhuǎn)角頻率0=1/7'和

o=l/(aT),可以看出，最大相位超前角落發(fā)生在兩個(gè)轉(zhuǎn)角頻率的幾何中心上,

即。=1/(而)，在。=1/(向)點(diǎn)上，由于包含(75+1)/(&75+1)項(xiàng)，所以幅值的

變化為1/而。

5)于是校正裝置確定為:

'caTs+1c5+383.1543

/Cc=—=19.7254

a

進(jìn)入MATLAB,打開(kāi)磁懸浮仿真圖，如下

0GMLmodelfreq*I，團(tuán)，漢」、

圖3-1磁懸浮的頻率響應(yīng)校正模擬圖

點(diǎn)擊運(yùn)行后，得到小球的位置波形圖如下:

BJScope回次

圖2-2磁懸浮模擬結(jié)果圖

由此圖可以看出，小球能夠在很短的時(shí)間內(nèi)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，可見(jiàn)通過(guò)頻域法

得到的控制器具有很好地穩(wěn)定性，下面可進(jìn)行實(shí)時(shí)驗(yàn)證來(lái)證明以上結(jié)論。

2.磁懸浮系統(tǒng)驗(yàn)證

打開(kāi)實(shí)時(shí)工具箱中的“FrequencyResponseControlD一mo"，如卜圖:

ftla(4?*X?*l?

口HR?Vu?*7L的夕to3

GoogolMagneticLevitationSystemFrequencyResponseControlDemo

圖2-3磁懸浮的頻率響應(yīng)校正實(shí)時(shí)控制程序

將控制器選擇在Controller2上，編譯連接運(yùn)行，調(diào)節(jié)PosRef參數(shù)，使得小

球穩(wěn)定懸浮。得到如下圖結(jié)果：

圖2-4磁懸浮的實(shí)際運(yùn)行結(jié)果圖

雙擊示波器，得到如卜.波形圖:

圖3-5磁懸浮系統(tǒng)驗(yàn)證波形圖

由圖可以看出，在初期調(diào)節(jié)階段，小球的不穩(wěn)定導(dǎo)致波形的振蕩，再調(diào)節(jié)好

具體參數(shù)后，小球則保持穩(wěn)定，由此可驗(yàn)證此控制器可以控制磁懸浮系統(tǒng)保持穩(wěn)

定。

3.磁懸浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)

通過(guò)計(jì)算可以得到系統(tǒng)的兩個(gè)極點(diǎn)一個(gè)為正一個(gè)為負(fù)，分別為［=31.3291,

￡=-31.3291,用matlab可以繪制出其根軌跡如下圖:

RootLocus

20

s

一

登

RealAxis

圖3-6磁懸浮系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡

由上圖可以看出，磁懸浮控制系統(tǒng)的兩個(gè)極點(diǎn)分別位于復(fù)平面的左右兩個(gè)平

面的十軸上，起源于右半平面極點(diǎn)的根軌跡沿實(shí)軸向左到原點(diǎn)處，這意味著無(wú)論

增益如何變化，這條根軌跡始終位于右半平面，因此，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，要實(shí)

現(xiàn)對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，設(shè)計(jì)的控制器必須能對(duì)根軌跡進(jìn)行校正。

通過(guò)校正后重新設(shè)計(jì)控制器，接入實(shí)際仿真模型中如下：

圖3-7磁懸浮系統(tǒng)根軌跡模型圖

對(duì)其進(jìn)行仿真模擬后，得到模擬波形圖如下:

圖3-8磁懸浮系統(tǒng)的仿真模擬

由此可以看出，此設(shè)計(jì)的控制器可以達(dá)到良好的控制效果，在1s之后，能

夠處于穩(wěn)定狀態(tài)。將此控制器接入實(shí)際模型中，編譯連接運(yùn)行后，得到如下波形:

圖3-9磁懸浮系統(tǒng)控制器波形圖

由波形圖可以看出，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一陣子調(diào)節(jié)之后，能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由此證

明重新設(shè)計(jì)的根軌跡法控制器也能夠有效的控制磁懸浮系統(tǒng)。

五實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

通過(guò)以上兩組控制器的對(duì)比，可以看出，頻域法設(shè)計(jì)的控制器和根軌跡法設(shè)

計(jì)的控制器都能夠有效的控制磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定，但是相對(duì)設(shè)計(jì)過(guò)程來(lái)講，頻域

法控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程相對(duì)比較繁瑣，控制器比較復(fù)雜，沒(méi)有根軌跡法控制器結(jié)構(gòu)

簡(jiǎn)答方便。

實(shí)驗(yàn)三球桿系統(tǒng)

一實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵?/p>

1.觀察球桿系統(tǒng)的穩(wěn)定機(jī)制；

2.了解磁球桿系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)；

3.自行設(shè)計(jì)一個(gè)控制器來(lái)控制球桿系統(tǒng)。

—實(shí)驗(yàn)原理

L球桿系統(tǒng)的機(jī)械模型

球桿系統(tǒng)的機(jī)械原理如下圖。

圖2-1球桿系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)

連線（連桿和同步帶輪的連接點(diǎn)與齒輪中心的連線）和水平線的夾角為。。

的角度存在一定的限制，在最小和最大的范圍之間），連桿和齒輪的連接點(diǎn)與齒

輪中心的距離為d,橫桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng),于是，橫桿的傾斜角a和6之間有如下數(shù)

學(xué)關(guān)系：

如前所述，角度。和電機(jī)軸之間存在一個(gè)減速比〃=4的同步帶，控制器設(shè)

計(jì)的任務(wù)是通過(guò)調(diào)節(jié)齒輪的角度。，使得小球在某一位置平衡。

小球的動(dòng)力學(xué)和重力、慣量以及離心力等有關(guān)系，小球在橫桿上滾動(dòng)的加速

度公式如下：

+m\r+tngsina-mr(a)2=0(3-1)

其中，重力加速度為g

小球的質(zhì)量為M

小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1/

小球在橫桿上的位置r

小球的半徑為R

假設(shè)小球在橫桿上面運(yùn)動(dòng)為滾動(dòng)，且摩擦力可以忽略不計(jì)。

因?yàn)槠谕嵌萢在0附近，因此可以在0附近對(duì)其進(jìn)行線性化,并代入公式

（3-1）,得到近似的線性方程:

mgmgd$

a=——(3-2)

r+機(jī)

INR?

2.球桿系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)模型

球桿系統(tǒng)是一個(gè)典型的單輸入單輸出系統(tǒng)，以下傳遞函數(shù)可以近似為一個(gè)兩

階的積分器，其中

X(s)mgd1

W(s)

為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的拉普拉斯變換。

X（s）和仇s）分別為系統(tǒng)輸出（小球的位置）和輸入（齒輪的角度）的拉普

拉斯變換。

三實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及數(shù)據(jù)記錄

1.球桿系統(tǒng)仿真

打開(kāi)MATLAB仿真控制模塊，如下圖:

圖3-1球桿系統(tǒng)模擬仿真圖

設(shè)置PID控制器參數(shù)，K