第16講含參單調(diào)性討論、極值和最值(原卷版+解析)

第16講含參單調(diào)性討論、極值和最值高考預(yù)測一：含參單調(diào)性討論1．設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間．2．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在處的切線斜率為1．①設(shè)（其中為正常數(shù)），求函數(shù)的最小值；②若，，證明：．3．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為，（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)于任意的，，都有成立，求正整數(shù)的最大值．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于任意的，都有，求的取值范圍．高考預(yù)測二：含參極值問題7．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間，上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和0．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若的極小值為，求的極大值．高考預(yù)測三：含參最值問題9．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在，上的最小值．10．已知函數(shù)（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為28，求的取值范圍．11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求證：在上是增函數(shù)；（Ⅱ）求在，上的最小值．12．已知函數(shù)，．（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間，上的最大值．13．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值．14．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，求用表示函數(shù)在的最小值．高考預(yù)測四：已知最值求參15．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）記．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，求的值．16．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，說明理由．17．已知函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得函數(shù)在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考數(shù)據(jù)：．高考預(yù)測五：用函數(shù)在區(qū)間上的最值點(diǎn)若不是區(qū)間端點(diǎn)就是極值點(diǎn)解題18．已知函數(shù)，其中．（1）若，求的值；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．19．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．求的表達(dá)式；估計(jì)的近似值（精確到．參考數(shù)值：，，．20．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求的值．21．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的值．第16講含參單調(diào)性討論、極值和最值高考預(yù)測一：含參單調(diào)性討論1．設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間．【解析】解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時(shí)，由，解得．、隨的變化情況如下表0極小值從上表可知當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增．2．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在處的切線斜率為1．①設(shè)（其中為正常數(shù)），求函數(shù)的最小值；②若，，證明：．【解析】解：（Ⅰ）：，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)時(shí)，令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（Ⅱ）在處的切線斜率為1，（1），解得，，①，，，令，解得，當(dāng)，即，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，即，函數(shù)單調(diào)遞減，②不妨設(shè)，令，，，，令，解得，當(dāng)，即，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，即，函數(shù)單調(diào)遞減，，．3．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為，（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．【解析】解：（Ⅰ）在點(diǎn)，（2）處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，，即（2），同時(shí)（2），，，則，即，；（Ⅱ），；，，，與同號(hào)，令，則，由，得，此時(shí)為減函數(shù)，由，得，此時(shí)為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值（1），則（1），故，即的單調(diào)區(qū)間是，無遞減區(qū)間．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)于任意的，，都有成立，求正整數(shù)的最大值．【解析】解：（1），①時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，③當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)，函數(shù)上單調(diào)遞增，當(dāng)，函數(shù)上單調(diào)遞減，（2）對(duì)任意的，，成立，即成立，即恒成立，△，即，令，令，在上單調(diào)遞增，又，，在上有唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，為增函數(shù)，，，，恒成立，，且是正整數(shù)，或，的最大值為2．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)，單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)；（2）①若時(shí)，由（1）可知：最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于和，當(dāng)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，的最小值小于0即可，由在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)，，，即，設(shè)，則，，求導(dǎo)，由（1），，解得：，的取值范圍．方法二：（1）由，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)，單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時(shí)，由（1）可知：最多有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，取得最小值，，當(dāng)，時(shí)，，故只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，即，故沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，由，故在有一個(gè)零點(diǎn)，假設(shè)存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個(gè)零點(diǎn)．的取值范圍．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于任意的，都有，求的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）．令，得，當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下：00遞增遞減0遞增所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下：00遞減0遞增遞減所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，和，單調(diào)遞增區(qū)間是；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，有，不合題意，當(dāng)時(shí)，由知在上的最大值是，任意的，，，解得，故對(duì)于任意的，都有，的取值范圍是，高考預(yù)測二：含參極值問題7．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間，上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】解：（1），，100遞減極小值遞增極大值遞減所以的極小值為，極大值為．（2）由（1）得，①當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上遞減．又因?yàn)?，，，所以在，上有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，在，上有兩個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在，上遞減，又因?yàn)?，，，所以在，上有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增．又因?yàn)?，，，所以在，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在，上沒有零點(diǎn)，所以在，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，恒成立，在，單調(diào)遞增，，（2），所以在，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，在，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在，上有兩個(gè)零點(diǎn)．8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和0．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若的極小值為，求的極大值．【解析】解：（Ⅰ）．令，，的零點(diǎn)就是的零點(diǎn)，且與符號(hào)相同．又，當(dāng)，或時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是的極小值點(diǎn)，所以有解得，，．所以函數(shù)的解析式為．又由（Ⅰ）知，的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是．所以，函數(shù)的極大值為．高考預(yù)測三：含參最值問題9．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在，上的最小值．【解析】解：（1）函數(shù)，令，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；令，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）①當(dāng)時(shí)，由于，故，故，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)的最小值為（2）．②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為．綜上，10．已知函數(shù)（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為28，求的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)，，（1），（1），，在處的切線方程：；（Ⅱ），，，，或，，，100單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增，（1），（2），在區(qū)間，上的最大值為28，11．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求證：在上是增函數(shù)；（Ⅱ）求在，上的最小值．【解析】證明：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)．（5分）（Ⅱ）解：，當(dāng)，，，．若，則當(dāng)，時(shí)，，所以在，上是增函數(shù)，又（1），故函數(shù)在，上的最小值為1．若，則當(dāng)，時(shí)，，所以在，上是減函數(shù)，又（e），所以在，上的最小值為．若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)．又，所以在，上的最小值為．綜上可知，當(dāng)時(shí)，在，上的最小值為1；當(dāng)時(shí)，在，上的最小值為；當(dāng)時(shí)，在，上的最小值為．（13分）12．已知函數(shù)，．（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間，上的最大值．【解析】解：（1）由公共切點(diǎn)可得：，則，，，則，，①又（1），（1），，即，代入①式可得：．（2），設(shè)則，令，解得：，；，，原函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增①若，即時(shí)，最大值為；②若，即時(shí)，最大值為③若時(shí)，即時(shí)，最大值為．綜上所述：當(dāng)，時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最大值為．13．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以，隨的變化情況如下表：000極大值極小值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（2），，，．，，解得，令，，所以在上是減函數(shù)，（1），．即所以，隨的變化情況如下表：，，0極小值所以，，，令則，所以在上遞減，而，所以存在使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．綜上，函數(shù)在，上的最大值．14．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，求用表示函數(shù)在的最小值．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，．令得，2．列表如下：0，22，00極大值極小值由表可知，函數(shù)的遞減區(qū)間為，，遞增區(qū)間為，2，．（2），，，由（1）可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．．高考預(yù)測四：已知最值求參15．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）記．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，求的值．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，．?分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為．（4分）（2）當(dāng)時(shí)，，則．由解得：；由解得：．所以函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，取最小值，且（1）．（6分）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即．實(shí)數(shù)的取值范圍為．（8分）（3）由題意，．①若，則，在上單調(diào)遞減；，即，適合題意．（10分）②若，即，則，在上單調(diào)遞增；，即，適合題意．（12分）③若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，即（舍．（14分）④若，即，在上單調(diào)遞減；，即，不合題意．綜上所述，或．（16分）16．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，說明理由．【解析】解：（1）．令，解得，或．①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．②時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．③時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）由（1）可得：①時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增．則，（1），解得，，滿足條件．②時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減．，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減．則，（1），解得，，滿足條件．③，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．則最小值，化為：．而，（1），最大值為或．若：，，解得，矛盾，舍去．若：，，解得，或0，矛盾，舍去．綜上可得：存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1．，的所有值為：，或．17．已知函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得函數(shù)在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考數(shù)據(jù)：．【解析】解：（1），令，，，，在，上單調(diào)遞增，，（1），①若時(shí)，恒成立，即在區(qū)間，上單調(diào)遞增，②若時(shí)，則（1），則，則在區(qū)間，上單調(diào)遞減，③若，則，（1），又在，上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)，時(shí)，，則，則在，上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，則，則在，上單調(diào)遞增，綜上所述：若時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，若時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，若時(shí)，存在唯一的實(shí)數(shù)，，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）由（1）可得：①若，則，則，而（1），解得滿足題意，②若時(shí)，則，則時(shí)，而（1），解得滿足題意，③若時(shí)，令，，，則，在，上單調(diào)遞減，，令，，，由（1）可知（1），令，，，由（1）可知（1），，，，，綜上：當(dāng)且，或當(dāng)且時(shí)，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1．高考預(yù)測五：用函數(shù)在區(qū)間上的最值點(diǎn)若不是區(qū)間端點(diǎn)就是極值點(diǎn)解題18．已知函數(shù)，其中．（1）若，求的值；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，在上遞減，，，（1），，；（2）由（1）可知：，時(shí)取等號(hào)，，時(shí)取等號(hào)，①時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；②時(shí)，，，（1），，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；③時(shí)，，，（1），，令，，在上遞增，（1），，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上：時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．19．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，記這人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．求的表達(dá)式；估計(jì)的近似值（精確到．參