新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第8講角度問題(原卷版+解析)

第8講角度問題一、解答題1．設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在該橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：△為鈍角三角形．2．已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向（ⅰ）若，求直線的斜率（ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形3．設(shè)拋物線C：y2＝2x，點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；(2)證明：∠ABM＝∠ABN.4．設(shè)拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，點(diǎn)為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，直線l過點(diǎn)A且與C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)為異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合且直線l垂直于x軸時(shí)，.（1）求C的方程；（2）若直線l不垂直于坐標(biāo)軸，且，求證：為定值.5．如圖，已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn).A（-a，0），|AF|=3.（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M.直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點(diǎn)E.求證：∠ODF=∠OEF.6．設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若(O為原點(diǎn))，求k的值.7．（本小題滿分14分）已知橢圓x2a2+y（Ⅰ）求直線BF的斜率;（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P（P異于點(diǎn)B）,過點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q（Q異于點(diǎn)B）直線PQ與y軸交于點(diǎn)M,|PM（?。┣螃说闹?（ⅱ）若,求橢圓的方程.8．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長(zhǎng)度為.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)動(dòng)直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn),⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E,F,求EDF的最小值.10．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.11．設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率.第8講角度問題一、解答題1．（本小題滿分為16分）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在該橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：△為鈍角三角形．【答案】（1）（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）求橢圓的方程一般利用待定系數(shù)法求解，本題兩個(gè)獨(dú)立條件可求出方程中兩個(gè)未知數(shù)，關(guān)鍵長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的條件不能列錯(cuò)，（2）證明△為鈍角三角形，可利用向量數(shù)量積求證：，這樣只需列出各點(diǎn)坐標(biāo)即可.試題解析：（1）由題意：，所以．所求橢圓方程為．又點(diǎn)在橢圓上，可得．所求橢圓方程為．（2）證明：由（1）知：．設(shè)，．則直線的方程為：．由得．因?yàn)橹本€與橢圓相交于異于的點(diǎn)，所以，所以．由，得．所以．從而，．所以．又三點(diǎn)不共線，所以為鈍角．所以△為鈍角三角形．考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系2．已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向（ⅰ）若，求直線的斜率（ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形【答案】（1）；（2）（i），（ii）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件可求得的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，再利用公共弦長(zhǎng)為即可求解；（2）（i）設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由得，根據(jù)條件可知，從而可以建立關(guān)于的方程，即可求解；（ii）根據(jù)條件可說明，因此是銳角，從而是鈍角，即可得證試題解析：（1）由：知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵也是橢圓的一焦點(diǎn)，∴①，又與的公共弦的長(zhǎng)為，與都關(guān)于軸對(duì)稱，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴②，聯(lián)立①，②，得，，故的方程為；（2）如圖，，，，，（i）∵與同向，且，∴，從而，即，于是③，設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由得，而，是這個(gè)方程的兩根，∴，④，由得，而，是這個(gè)方程的兩根，∴，⑤，將④⑤帶入③，得，即，∴，解得，即直線的斜率為.（ii）由得，∴在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，即，∴，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.，故直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形.考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題，解決此類問題的關(guān)鍵：（1）結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，如焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，等；（2）當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來(lái)，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來(lái)，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量.3．設(shè)拋物線C：y2＝2x，點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；(2)證明：∠ABM＝∠ABN.【答案】(1)或；(2)證明見解析【分析】(1)當(dāng)時(shí)，代入求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得直線的方程;(2)設(shè)直線的方程,聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式即可求得,即可證明.【詳解】(1)當(dāng)與軸垂直時(shí)，的方程為，可得M的坐標(biāo)為或．所以直線的方程為或.(2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，故.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為則.由，得，可知，.直線的斜率之和為＝＋＝，①將及的表達(dá)式代入①式分子，可得＝＝＝0.所以，可知的傾斜角互補(bǔ)，所以,綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力，是中檔題.4．設(shè)拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，點(diǎn)為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，直線l過點(diǎn)A且與C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)為異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)F重合且直線l垂直于x軸時(shí)，.（1）求C的方程；（2）若直線l不垂直于坐標(biāo)軸，且，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）將代入拋物線方程可求得，由此可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立后得到韋達(dá)定理的形式；由知，代入韋達(dá)定理的結(jié)論整理可得定值.【詳解】（1）由題意得：，當(dāng)點(diǎn)與重合且直線垂直于軸時(shí)，方程為：，代入得：，，解得：，的方程為：.（2）證明：可設(shè)直線的方程為，，，將代入中得：，則，，由得：，即，即，，又直線不垂直于坐標(biāo)軸，，，為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、拋物線中的定值問題；證明定值問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒔窍嗟鹊年P(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而利用韋達(dá)定理整理化簡(jiǎn)得到定值.5．如圖，已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn).A（-a，0），|AF|=3.（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M.直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點(diǎn)E.求證：∠ODF=∠OEF.【答案】.（I）；（II）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、、的方程組，求出、、，即可得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，將其代入橢圓方程，整理得，根據(jù)韋達(dá)定理可得（，），直線的方程是，令，得，同理可得，根據(jù)斜率公式可得在和中，和都與互余，所以.試題解析：（I）設(shè)橢圓C的半焦距為c.依題意，得，a+c=3.解得a=2，c=1.所以b2=a2-c2=3，所以橢圓C的方程是（II）由（I）得A（-2，0）.設(shè)AP的中點(diǎn)M（x0，y0），P（x1，y1）.設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），將其代入橢圓方程，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，所以-2+x1=.所以x0=，y0=k（x0+2）=，即M（，）.所以直線OM的斜率是，所以直線OM的方程是y=-x.令x=4，得D（4，-）.直線OE的方程是y=kx.令x=4，得E（4，4k）.由F（1，0），得直線EF的斜率是=，所以EF⊥OM，記垂足為H；因?yàn)橹本€DF的斜率是=，所以DF⊥OE，記垂足為G.在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，所以∠ODF=∠OEF.6．設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若(O為原點(diǎn))，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【詳解】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a=3，b=2．則橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由題意可得5y1=9y2．由方程組可得．由方程組可得．據(jù)此得到關(guān)于k的方程，解方程可得k的值為或詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因?yàn)椋螼AB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或．所以，k的值為或點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．7．（本小題滿分14分）已知橢圓x2a2+y（Ⅰ）求直線BF的斜率;（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P（P異于點(diǎn)B）,過點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q（Q異于點(diǎn)B）直線PQ與y軸交于點(diǎn)M,|PM（?。┣螃说闹?（ⅱ）若,求橢圓的方程.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）（?。?8;（ⅱ）【解析】（Ⅰ）先由ca=55及a2=b2+c2,得a=5c,b=2c,直線BF的斜率k=b?00?(?c)試題解析:（Ⅰ）設(shè)F(?c,0),由已知ca=55及a2=b2+（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),（Ⅰ）由（Ⅰ）可得橢圓方程為x25（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PM||MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=又因?yàn)閥P=2xP+2c=?4考點(diǎn)：本題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力及用方程思想和化歸思想解決問題的能力.8．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.【答案】（1）（2）的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為.【詳解】試題分析：（I）本小題由，確定即得.（Ⅱ）通過聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得到一元二次方程后應(yīng)用韋達(dá)定理，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式確定及圓的半徑表達(dá)式.進(jìn)一步求得直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，確定得到的表達(dá)式，研究其取值范圍.這個(gè)過程中，可考慮利用換元思想，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式.試題解析：（I）由題意知，，所以，因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程得，由題意知，且，所以.由題意可知圓的半徑為由題設(shè)知，所以因此直線的方程為.聯(lián)立方程得，因此.由題意可知，而，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以，因此，所以最大值為.綜上所述：的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為.【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長(zhǎng)度為.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)動(dòng)直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn),⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E,F,求EDF的最小值.【答案】（Ⅰ）.(II).【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由得,由橢圓C截直線y=1所得線段的長(zhǎng)度為,得,求得橢圓的方程為；（Ⅱ）由,解得,確定,,結(jié)合的單調(diào)性求的最小值.試題解析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，又當(dāng)時(shí)，，得，所以，因此橢圓方程為.（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程，得，由得.（*）且，因此，所以，又，所以整理得，因?yàn)?，所?令，故，所以.令，所以.當(dāng)時(shí)，,從而在上單調(diào)遞增，因此，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，所以，由（*）得且.故，設(shè)，則，所以的最小值為，從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率是.綜上所述：當(dāng)，時(shí)，取到最小值.【考點(diǎn)】圓與橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線中的兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題．常見解法：①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解．10．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.【答案】(1)橢圓方程為;(2)直線l的斜率的取值范圍為.【解析】試題分析：（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化簡(jiǎn)條件：，即M再OA的中垂線上，，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系即可求出直線斜率的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（Ⅰ）