第8講向量問(wèn)題(原卷版+解析)

專(zhuān)題八向量問(wèn)題考情分析1.給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;2.給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線；二、經(jīng)驗(yàn)分享1.三點(diǎn)共線問(wèn)題證題策略一般有以下幾種：①斜率法：若過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過(guò)計(jì)算證明過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；②距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；③向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；④直線方程法：求出過(guò)其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上;⑤點(diǎn)到直線的距離法：求出過(guò)其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線.⑥面積法：通過(guò)計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問(wèn)題，離不開(kāi)解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的解題策略一般有以下幾種：（1）利用設(shè)而不求思想求出圓心坐標(biāo)，然后計(jì)算圓心到點(diǎn)的距離并和半徑比較得解；（2）向量法，通過(guò)判斷數(shù)量積的正負(fù)來(lái)確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：如已知是圓的直徑，是平面內(nèi)一點(diǎn)，①如果點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓外；③點(diǎn)在圓上．（3）方程法，已知圓的方程，點(diǎn)，①如果點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓上；③點(diǎn)在圓外.四點(diǎn)共圓問(wèn)題的解題策略：①利用四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；②利用待定系數(shù)法求出過(guò)其中三點(diǎn)的圓的方程，然后證明第四點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程.三、題型分析（一）向量法判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的解題策略一般有以下幾種：（1）利用設(shè)而不求思想求出圓心坐標(biāo)，然后計(jì)算圓心到點(diǎn)的距離并和半徑比較得解；（2）向量法，通過(guò)判斷數(shù)量積的正負(fù)來(lái)確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：如已知是圓的直徑，是平面內(nèi)一點(diǎn)，①如果點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓外；③點(diǎn)在圓上．（3）方程法，已知圓的方程，點(diǎn)，①如果點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓上；③點(diǎn)在圓外.例1【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【變式訓(xùn)練1】【2017屆重慶市第一中學(xué)高三12月月考】已知橢圓離心率為,焦距為,拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).（Ⅰ）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn),若的右頂點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi),求直線的斜率的取值范圍.【變式訓(xùn)練2】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F,直線與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且.（I）求C的方程；（II）過(guò)F的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線與C相較于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求的方程.

（二）利用向量轉(zhuǎn)化幾何條件例2．如圖，已知滿足條件（其中為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓（圓心為），定直線的方程為，過(guò)斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)，是弦中點(diǎn).（1）若直線經(jīng)過(guò)圓心，求證：與垂直；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）設(shè)，試問(wèn)是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出的值，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練1】已知、分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)是該橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則_________.

【變式訓(xùn)練2】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值；（3）是否存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，使點(diǎn)為的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式訓(xùn)練3】已知點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中左焦點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，為橢圓上一點(diǎn)。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若線段中點(diǎn)在軸上，求的值.

遷移應(yīng)用1.已知斜率為的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，若的平分線交線段AB于點(diǎn)N，則的值為()(A)(B)(C)(D)2.設(shè)A,B分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，設(shè)過(guò)的直線PA,PB與雙曲線分別交于點(diǎn)M,N，直線MN交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)Q的直線交雙曲線于S,T兩點(diǎn)，且,則的面積()(A)(B)(C)(D)3.已知在拋物線上，如圖，直線和都通過(guò)拋物線的焦點(diǎn),若，則的最小值是（）A.2B.4C.6D.84.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)F點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過(guò)作的垂線，垂足為.若,則三角形的面積為.5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，作直線與圓相切于點(diǎn)T，交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若，則（）A．B．C．D．6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的方程為,若、為橢圓的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且,則的最小值是（）277.設(shè)雙曲線的中心為點(diǎn),若直線和相交于點(diǎn),直線交雙曲線于、,直線交雙曲線于、,且使,則稱(chēng)和為“直線對(duì)”.現(xiàn)有所成的角為的“直線對(duì)”只有兩對(duì),且在右支上存在一點(diǎn),使,則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）8.已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）9．（2017新課標(biāo)Ⅲ）已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)的直線交與，兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓．(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上；(2)設(shè)圓過(guò)點(diǎn)，求直線與圓的方程．專(zhuān)題八向量問(wèn)題考情分析1.給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;2.給出以下情形之一：①；②存在實(shí)數(shù)；③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線；二、經(jīng)驗(yàn)分享1.三點(diǎn)共線問(wèn)題證題策略一般有以下幾種：①斜率法：若過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過(guò)計(jì)算證明過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；②距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；③向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；④直線方程法：求出過(guò)其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上;⑤點(diǎn)到直線的距離法：求出過(guò)其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線.⑥面積法：通過(guò)計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問(wèn)題，離不開(kāi)解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的解題策略一般有以下幾種：（1）利用設(shè)而不求思想求出圓心坐標(biāo)，然后計(jì)算圓心到點(diǎn)的距離并和半徑比較得解；（2）向量法，通過(guò)判斷數(shù)量積的正負(fù)來(lái)確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：如已知是圓的直徑，是平面內(nèi)一點(diǎn)，①如果點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓外；③點(diǎn)在圓上．（3）方程法，已知圓的方程，點(diǎn)，①如果點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓上；③點(diǎn)在圓外.四點(diǎn)共圓問(wèn)題的解題策略：①利用四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；②利用待定系數(shù)法求出過(guò)其中三點(diǎn)的圓的方程，然后證明第四點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程.三、題型分析（一）向量法判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的解題策略一般有以下幾種：（1）利用設(shè)而不求思想求出圓心坐標(biāo)，然后計(jì)算圓心到點(diǎn)的距離并和半徑比較得解；（2）向量法，通過(guò)判斷數(shù)量積的正負(fù)來(lái)確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：如已知是圓的直徑，是平面內(nèi)一點(diǎn)，①如果點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓外；③點(diǎn)在圓上．（3）方程法，已知圓的方程，點(diǎn)，①如果點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓上；③點(diǎn)在圓外.例1【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得解得，所以橢圓E的方程為．(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)AB中點(diǎn)為．由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外．【變式訓(xùn)練1】【2017屆重慶市第一中學(xué)高三12月月考】已知橢圓離心率為,焦距為,拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).（Ⅰ）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn),若的右頂點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi),求直線的斜率的取值范圍.【分析】（Ⅰ）橢圓的焦距為,,得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到拋物線焦點(diǎn),可得拋物線方程；（Ⅱ）聯(lián)立直線與拋物線的方程結(jié)合韋達(dá)定理得,,在以為直徑的圓內(nèi),得結(jié)果.【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為,依題意有,,解得,,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,又拋物線開(kāi)口向上,故是橢圓的上頂點(diǎn),,,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：,設(shè)點(diǎn),,聯(lián)立得,由韋達(dá)定理得,.在以為直徑的圓內(nèi).【變式訓(xùn)練2】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F,直線與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且.（I）求C的方程；（II）過(guò)F的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線與C相較于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求的方程.【解析】（I）設(shè),代入,得．由題設(shè)得,解得（舍去）或,∴C的方程為；（II）由題設(shè)知與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)的方程為,代入得．設(shè)則．故的中點(diǎn)為．又的斜率為的方程為．將上式代入,并整理得．設(shè)則．故的中點(diǎn)為．由于垂直平分線,故四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于,從而即,化簡(jiǎn)得,解得或．所求直線的方程為或．（二）利用向量轉(zhuǎn)化幾何條件例2．如圖，已知滿足條件（其中為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓（圓心為），定直線的方程為，過(guò)斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)，是弦中點(diǎn).（1）若直線經(jīng)過(guò)圓心，求證：與垂直；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）設(shè)，試問(wèn)是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出的值，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）或；（3）為定值且【解析】（1）證明如下：因?yàn)椋?，所以圓心，半徑；又因?yàn)?，所以且，所以，所以與垂直；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，所以，所以，滿足題意；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇覟闀r(shí)，，，所以，解得：，此時(shí)；綜上：直線的方程為或；（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可知：，所以，所以，即；當(dāng)直線的斜率存在且為時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立可得：，所以，，即，所以；又由可得：，所以，故，綜上可知：為定值，且.【變式訓(xùn)練1】已知、分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)是該橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則_________.【答案】【解析】由橢圓知，焦點(diǎn)，，設(shè)，則，，，故，故答案為：【變式訓(xùn)練2】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值；（3）是否存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，使點(diǎn)為的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由是等腰直角三角形，可得，故橢圓方程為；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，的橫坐標(biāo)分別為，

將線的方程為代入橢圓方程，消元可得，∴，，

，

令，則

令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

又面積，∴△AOB面積的最大值為；

（3）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且使點(diǎn)為的垂心，

設(shè)，

因?yàn)?，所以?/p>

于是設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，消元可得．

由，得，且,由題意應(yīng)有，所以，

所以．

整理得．

解得或．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，不存在，故舍去．

∴當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線l的方程【變式訓(xùn)練3】已知點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中左焦點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，為橢圓上一點(diǎn)。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若線段中點(diǎn)在軸上，求的值.【答案】（1）；(2)；（3）7【解析】（1），；（2）設(shè)因?yàn)椋?）因?yàn)榫€段中點(diǎn)在軸上，所以軸，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以設(shè)，代入橢圓方程，得，所以，因?yàn)?，所以所以遷移應(yīng)用1.已知斜率為的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，若的平分線交線段AB于點(diǎn)N，則的值為()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由題意可設(shè)，聯(lián)立，設(shè)，即所以，此時(shí)化簡(jiǎn)為所以直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ)，其角平分線軸所以，把代入得故選C.2.設(shè)A,B分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，設(shè)過(guò)的直線PA,PB與雙曲線分別交于點(diǎn)M,N，直線MN交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)Q的直線交雙曲線于S,T兩點(diǎn)，且,則的面積()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由題意可得雙曲線的左右頂點(diǎn)A(-1，0),B(1，0)，則，聯(lián)立，代入可得，所以，同理可得，設(shè)Q(s,0),因?yàn)镸,N,Q三點(diǎn)共線，所以，設(shè)過(guò)Q的直線方程為恒成立,由得代入韋達(dá)定理的，所以，故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考察雙曲線的方程和性質(zhì)，直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，求交點(diǎn)和運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于難題.3.已知在拋物線上，如圖，直線和都通過(guò)拋物線的焦點(diǎn),若，則的最小值是（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】由題意得：設(shè)的直線方程：與拋物線相交于兩點(diǎn)，聯(lián)立方程得到：，故此韋達(dá)定理：；再設(shè)的直線方程：與拋物線相交于兩點(diǎn)，同理：4.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)F點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過(guò)作的垂線，垂足為.若,則三角形的面積為.【答案】【解析】由題意得:拋物線的經(jīng)典結(jié)論：及，聯(lián)立可以得到：，設(shè)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，得到：，從而得到，5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，作直線與圓相切于點(diǎn)T，交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】：易知：，,，選D．6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的方程為,若、為橢圓的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且,則的最小值是（）27【答案】【解析】當(dāng)直線，的斜率一條不存在，一條為零滿足，此時(shí)設(shè)直線斜率為，則直線斜率為，聯(lián)立，解得，代入求得點(diǎn)，則，不妨令，則原式，當(dāng)時(shí)原式有最小值