第9題 樣本的數(shù)字特征（原卷）

第9題樣本的數(shù)字特征一、原題呈現(xiàn)【原題】有一組樣本數(shù)據(jù),,…,,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù),,…,,其中(為非零常數(shù),則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,A錯(cuò)誤；設(shè)第一組中位數(shù)為,則第二組的中位數(shù)為,,所以,B錯(cuò)誤；第一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,第二組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,C正確；若第一組數(shù)據(jù)的極差為,則第二組數(shù)據(jù)的極差為,故D正確；故選CD【就題論題】本題涉及到中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差及極差等樣本的數(shù)字特征,題型是常規(guī)題型,考生在復(fù)習(xí)時(shí)訓(xùn)練的比較多,絕大部分考生都能得分.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查樣本的數(shù)字特征,考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：中等偏易.【考情分析】概率與統(tǒng)計(jì)是高考重點(diǎn),在高考試卷中既有客觀題又有解答題,由于該模塊涉及知識(shí)點(diǎn)比較多,高考命題沒(méi)有固定的熱點(diǎn),一般情況下,統(tǒng)計(jì)與概率、隨機(jī)變量的分布列都會(huì)涉及,客觀題至少會(huì)有2道.【得分秘籍】(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)=1\*GB3①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).=2\*GB3②中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到小）的順序排列,處在正中間位置的數(shù)(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).=3\*GB3③平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,那么叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).(2)三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)眾數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)；②容易計(jì)算.缺點(diǎn)：它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息,無(wú)法客觀地反映總體特征.中位數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；②容易計(jì)算,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息.缺點(diǎn)：對(duì)極端值不敏感.平均數(shù)：優(yōu)點(diǎn)：是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量.一般情況下可以反映出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.缺點(diǎn)：代表性不強(qiáng),任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”,對(duì)平均數(shù)的影響越大.(3)極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差①一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差.②標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示,=3\*GB3③方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方.(3)對(duì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差概念的理解①標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.②標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是：[0,+∞).“獨(dú)立”與“互斥”的區(qū)別=3\*GB3③因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位相同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.(4)有關(guān)平均數(shù)、方差的一些結(jié)論若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為,方差為s2.則ax1,ax2,…,axn的平均數(shù)為,方差為a2s2.數(shù)據(jù)mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)為,方差為m2s2.(5)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的兩個(gè)作用①標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大,數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小,數(shù)據(jù)的離散程度較小.②在實(shí)際應(yīng)用中,常常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來(lái)進(jìn)行決策.在平均值相等的情況下,比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差以確定穩(wěn)定性.(6)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布表、頻率分布直方圖的關(guān)系①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一小組的組中值來(lái)顯示,即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.=3\*GB3③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.【易錯(cuò)警示】混淆標(biāo)準(zhǔn)差與方差求數(shù)據(jù)的中位數(shù)時(shí)沒(méi)有按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校⒁岳邦?lèi)（以下所選試題均來(lái)自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）一、單選題1．（2021福建省龍巖市高三三模）平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖,記這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為,中位數(shù)為,平均數(shù)為,則（）A． B．C． D．2．（2021廣東省深圳市高三一模）2020年12月31日,國(guó)務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制發(fā)布,國(guó)藥集團(tuán)中國(guó)生物的新冠病毒滅活疫苗已獲藥監(jiān)局批準(zhǔn)附條件上市,其保護(hù)效力達(dá)到世界衛(wèi)生組織及藥監(jiān)局相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求,現(xiàn)已對(duì)18至59歲的人提供.根據(jù)某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖）估計(jì)該地接種年齡的中位數(shù)為（）A．40 B．39 C．38 D．373．（2021河北省邯鄲市高三一模）構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國(guó)教育一直以來(lái)努力的方向．某中學(xué)積極響應(yīng)黨的號(hào)召,開(kāi)展各項(xiàng)有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動(dòng)．如圖所示的是該校高三（1）、（2）班兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德智體美勞的評(píng)價(jià)得分對(duì)照?qǐng)D（得分越高,說(shuō)明該項(xiàng)教育越好）．下列說(shuō)法正確的是（）A．高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為1.5B．除體育外,高三（1）班的各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分均高于高三（2）班對(duì)應(yīng)的得分C．高三（1）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高D．各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分中,這兩班的體育得分相差最大4．（2021湖南省衡陽(yáng)市高三下學(xué)期考前預(yù)測(cè)）俗話說(shuō)：“一心不能二用”,意思是我們做事情要專(zhuān)心,那么,“一心”到底能否“二用”,某高二幾個(gè)學(xué)生在學(xué)完《統(tǒng)計(jì)》后,做了一個(gè)研究,他們?cè)诒灸昙?jí)隨機(jī)抽取男生和女生各100名,要求他們同時(shí)做一道數(shù)學(xué)題和英語(yǔ)聽(tīng)力題,然后將這些同學(xué)完成問(wèn)題所用時(shí)間制成分布圖如下,則下列說(shuō)法正確的是（）①男生“一心二用”所需平均時(shí)間平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都強(qiáng)于男生；③女生用時(shí)眾數(shù)小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正態(tài)分布.A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④5．（2021江蘇省南通市學(xué)科基地高三下學(xué)期高考全真模擬）甲?乙?丙?丁四人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目的選拔賽,四人的平均成績(jī)和方差見(jiàn)下表甲乙丙丁平均成績(jī)/環(huán)9.08.98.69.0方差環(huán)2.82.82.13.5如果從這四人中選擇一人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽,那么最佳人選是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（2021山東省泰安肥城市高三三模）已知某城市月平均氣溫為,如當(dāng)月最熱日和最冷日的平均氣溫相差不超過(guò),則該月平均氣溫在及以上的日子最多有多少天？（）A． B． C． D．7．（2021江蘇省六校高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性聯(lián)考）學(xué)校組織開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)踐,高二某班名學(xué)生利用假期時(shí)間前往敬老院?消防隊(duì)等場(chǎng)所勞動(dòng)服務(wù).經(jīng)統(tǒng)計(jì),該名學(xué)生的勞動(dòng)服務(wù)時(shí)長(zhǎng)平均為小時(shí),標(biāo)準(zhǔn)差為.后來(lái)經(jīng)核實(shí),發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的甲?乙兩名同學(xué)的勞動(dòng)服務(wù)時(shí)長(zhǎng)有誤.甲同學(xué)的勞動(dòng)服務(wù)時(shí)長(zhǎng)實(shí)際為小時(shí),被誤統(tǒng)計(jì)為小時(shí)；乙同學(xué)的勞動(dòng)服務(wù)時(shí)長(zhǎng)實(shí)際為小時(shí),被誤統(tǒng)計(jì)為小時(shí).更正后重新計(jì)算,得到標(biāo)準(zhǔn)差為,則與的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無(wú)法判斷8．（2021湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三下學(xué)期保溫卷）已知某個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為,現(xiàn)加入和兩個(gè)新數(shù)據(jù),此時(shí)個(gè)數(shù)據(jù)的方差為（）A． B． C． D．9．（2021湖北省武漢市華中師范大學(xué)附中高三下學(xué)期5月押題卷）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年,A?B?C?D四個(gè)興趣小組舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽,每個(gè)小組各派10名同學(xué)參賽,記錄每名同學(xué)失分(均為整數(shù))情況,若該組每名同學(xué)失分都不超過(guò)7分,則該組為“優(yōu)秀小組”,已知A?B?C?D四個(gè)小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下,則一定為“優(yōu)秀小組”的是（）A．A組中位數(shù)為2,極差為8 B．B組平均數(shù)為2,眾數(shù)為2C．C組平均數(shù)為1,方差大于0 D．D組平均數(shù)為2,方差為310．（2021河北省張家口市高三三模）某中學(xué)春季運(yùn)動(dòng)會(huì)上,12位參加跳高半決賽同學(xué)的成績(jī)各不相同,按成績(jī)從高到低取前6位進(jìn)入決賽,如果小明知道了自己的成績(jī)后,則他可根據(jù)其他11位同學(xué)成績(jī)的哪個(gè)數(shù)據(jù)判斷自己能否進(jìn)入決賽（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．方差11．（2021福建省三明市高三三模）某市原來(lái)都開(kāi)小車(chē)上班的唐先生統(tǒng)計(jì)了過(guò)去一年每一工作日的上班通行時(shí)間,并進(jìn)行初步處理,得到頻率分布表如下（表示通行時(shí)間,單位為分鐘）：通行時(shí)間頻率0.10.30.30.20.1該市號(hào)召市民盡量減少開(kāi)車(chē)出行,以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排.唐先生積極響應(yīng)政府號(hào)召,準(zhǔn)備每天從騎自行車(chē)和開(kāi)小車(chē)兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種.如果唐先生選擇騎自行車(chē),當(dāng)天上班的通行時(shí)間為30分鐘.將頻率視為概率,根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,對(duì)唐先生上班通行時(shí)間的判斷,以下正確的是（）A．開(kāi)小車(chē)出行的通行時(shí)間的中位數(shù)為27.5分鐘B．開(kāi)小車(chē)出行兩天的總通行時(shí)間少于40分鐘的概率為0.01C．選擇騎自行車(chē)比開(kāi)小車(chē)平均通行時(shí)間至少會(huì)多耗費(fèi)5分鐘D．若選擇騎自行車(chē)和開(kāi)小車(chē)的概率相等,則平均通行時(shí)間為28.5分鐘12．（2021湖北省武漢市高三下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)）一組數(shù)據(jù)由10個(gè)數(shù)組成,將其中一個(gè)數(shù)由4改為1,另一個(gè)數(shù)由6改為9,其余數(shù)不變,得到新的10個(gè)數(shù),則新的一組數(shù)的方差相比原先一組數(shù)的方差的增加值為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題13．（2021福建省廈門(mén)市高三三模）記考試成績(jī)的均值為,方差為,若滿足,則認(rèn)為考試試卷設(shè)置合理．在某次考試后,從20000名考生中隨機(jī)抽取1000名考生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到成績(jī)的均值為63.5,方差為169,將數(shù)據(jù)分成7組,得到如圖所示的頻率分布直方圖．用樣本估計(jì)總體,則（）A．本次考試成績(jī)不低于80分的考生約為5000人B．C．本次考試成績(jī)的中位數(shù)約為70D．本次考試試卷設(shè)置合理14．（2021廣東省佛山市高三下學(xué)期二模）百年大計(jì),教育為本.十四五發(fā)展綱要中,教育作為一個(gè)專(zhuān)章被提出.近日,教育部發(fā)布2020年全國(guó)教育事業(yè)統(tǒng)計(jì)主要結(jié)果.其中關(guān)于高中階段教育（含普通高中、中等職業(yè)學(xué)校及其他適齡教育機(jī)構(gòu)）近六年的在校規(guī)模與毛入學(xué)率情況圖表及2020年高中階段教育在校生結(jié)構(gòu)餅圖如下,根據(jù)圖中信息,下列論斷正確的有（）（名詞解釋?zhuān)焊咧须A段毛入學(xué)率≡在校生規(guī)?！逻m齡青少年總?cè)藬?shù)×100%）

A．近六年,高中階段在校生規(guī)模與毛入學(xué)率均持續(xù)增長(zhǎng)B．近六年,高中階段在校生規(guī)模的平均值超過(guò)4000萬(wàn)人C．2019年,未接受高中階段教育的適齡青少年不足420萬(wàn)D．2020年,普通高中的在校生超過(guò)2470萬(wàn)人15．（2021湖北省武漢市高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)）某學(xué)校為了促進(jìn)學(xué)生德?智?體?美?勞全面發(fā)展,制訂了一套量化評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).下表是該校甲?乙兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德?智?體?美?勞的評(píng)價(jià)得分(得分越高,說(shuō)明該項(xiàng)教育越好).下列說(shuō)法正確的是（）德智體美勞甲班9.59.599.58乙班9.599.598.5A．甲班五項(xiàng)得分的極差為1.5B．甲班五項(xiàng)得分的平均數(shù)高于乙班五項(xiàng)得分的平均數(shù)C．甲班五項(xiàng)得分的中位數(shù)大于乙班五項(xiàng)得分的中位數(shù)D．甲班五項(xiàng)得分的方差小于乙班五項(xiàng)得分的方差16．（2021江蘇省南通等七市2021屆高三下學(xué)期2月第一次調(diào)研）冬末春初,乍暖還寒,人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱.若發(fā)生群體性發(fā)熱,則會(huì)影響到人們的身體健康,干擾正常工作生產(chǎn).某大型公司規(guī)定：若任意連續(xù)天,每天不超過(guò)人體溫高于,則稱(chēng)沒(méi)有發(fā)生群體性發(fā)熱.下列連續(xù)天體溫高于人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中,能判定該公司沒(méi)有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（）A．中位數(shù)為,眾數(shù)為 B．均值小于,中位數(shù)為C．均值為,眾數(shù)為 D．均值為,標(biāo)準(zhǔn)差為三、填空題17．（2021山東省濟(jì)南市高三二模）習(xí)近平總書(shū)記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上強(qiáng)調(diào)：“回望過(guò)往的奮斗路,眺望前方的奮進(jìn)路,必須把黨的歷史學(xué)習(xí)好、總結(jié)好,把黨的成功經(jīng)驗(yàn)傳承好、發(fā)揚(yáng)好．”某黨小組為響應(yīng)習(xí)總書(shū)記號(hào)召,重溫百年奮斗的恢弘史詩(shī),以信仰之光照亮前行之路,組織開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),其中名黨員在這次活動(dòng)中的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示．則這個(gè)成績(jī)的中位數(shù)所對(duì)應(yīng)的黨員是______．18．（2021湖南省六校高三4月聯(lián)考）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間,有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志是“連續(xù)10日,每天新增疑似病例不超過(guò)7人”.已知過(guò)去10日,、、三地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：地：總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4；地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3；地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0；則、、三地中,一定沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是__________地.四、解答題19．（2021湖北省黃岡中學(xué)高三5月適應(yīng)性考試）某乒乓球教練為了解某同學(xué)近期的