2022年新高考數(shù)學(xué)名校地市選填壓軸題好題匯編(十)(原卷版+解析)

2022年新高考數(shù)學(xué)名校地市選填壓軸題好題匯編（十）一、單選題1．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）祖原理也稱祖氏原理，是我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)求積的著名命題：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，由曲線，，圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則?滿足以下哪個(gè)關(guān)系式（）A． B． C． D．2．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）在平面四邊形中，已知的面積是的面積的3倍.若存在正實(shí)數(shù)使得成立，則的值為（）A．10 B．9 C．8 D．73．（2021·山西太原·高二階段練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，準(zhǔn)線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A．3 B． C． D．4．（2021·湖南·沅江市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）已知正三棱柱的高等于1.一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（）A． B． C． D．6．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知直線：與直線：相交于點(diǎn)P，線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，且，則的最小值為（）A． B．C． D．7．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．8．（2021·廣東汕頭·高三期末）已知函數(shù)在區(qū)間(0，1)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．9．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的最小整數(shù)值為（）A．0 B．1 C．2 D．311．（2021·廣東·華南師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．12．（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，若，則A． B．C． D．13．（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中）《易經(jīng)》中記載著一種幾何圖形一一八封圖，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，去測(cè)量當(dāng)?shù)匕素蕴锏拿娣e如圖，現(xiàn)測(cè)得正八邊形的邊長(zhǎng)為8，代表陰陽(yáng)太極圖的圓的半徑為2，則每塊八卦田的面積為（）.A． B．C． D．14．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三階段練習(xí)）已知，，（）是函數(shù)（且）的3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．15．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三階段練習(xí)）眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個(gè)圖形是一個(gè)圓形.其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，給出以下命題：①當(dāng)時(shí)，直線與白色部分有公共點(diǎn)；②黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點(diǎn)，則的最大值為；③若點(diǎn)，為圓過(guò)點(diǎn)的直徑，線段是圓所有過(guò)點(diǎn)的弦中最短的弦，則的值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③16．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知異面直線、所成的角為，其公垂線段的長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為的線段的兩端點(diǎn)分別在直線、上運(yùn)動(dòng)，則中點(diǎn)的軌跡為（）（注：公垂線段指與異面直線垂直且相交的線段）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線17．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則k可以等于（）A．8 B．9 C．11 D．1218．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題19．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)同時(shí)為橢圓與雙曲線的左右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若（）A．，則B．，則C．，則的取值范圍是D．，則的取值范圍是20．（2021·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結(jié)論正確的是（）A．直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為D．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面21．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則（）A．的圖象可能關(guān)于直線對(duì)稱B．的取值范圍是C．在上不可能是單調(diào)函數(shù)D．的取值范圍是22．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，則下列結(jié)論正確的有（）A．若，則雙曲線的離心率B．若是面積為的正三角形，則C．若為雙曲線的右頂點(diǎn)，軸，則D．若射線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)Q，則23．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，.若存在，使得對(duì)任意，，則（）A．任意B．任意C．存在，使得在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)D．存在，使得在上單調(diào)遞減24．（2021·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圖1中，正方形的邊長(zhǎng)為，A、B、C、D是各邊的中點(diǎn)，分別沿著、、、把、、、向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則（）

A．平面平面B．直線與直線所成的角為C．多面體的體積為D．直線與平面所成角的正切值為25．（2021·湖南·沅江市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)在側(cè)面CDD1C1上運(yùn)動(dòng)，且滿足B1F//平面A1BE．以下命題正確的有（）A．點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為B．直線與直線BC所成角可能為45°C．平面A1BE與平面CDD1C1所成銳二面角的正切值為D．過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，A的平面截正方體所得的截面面積最大為26．（2021·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.已知函數(shù)，函數(shù)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．函數(shù)是周期函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根27．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.對(duì)于圖2.下列結(jié)論正確的是（）A．這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形B．若，，則C．若，則D．若是的中點(diǎn)，則三角形的面積是三角形面積的7倍28．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).，若的圖象存在兩條相互垂直的切線.則的值可以是（）A． B． C． D．29．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A．存在c，d使得函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．是單調(diào)函數(shù)的充要條件是C．若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則D．若，則過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且僅有2條30．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面，下面說(shuō)法正確的是（）A．若N為中點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，若平面截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長(zhǎng)就越大C．直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為D．若點(diǎn)M為的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)B，則平面截正方體所得截面圖形的面積為31．（2021·廣東汕頭·高三期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面的中心，，為線段的中點(diǎn)，則（）A．與共面B．三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)C．時(shí)，過(guò)A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為D．32．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為B．點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為C．三棱錐的體積的最大值為D．三棱錐的體積的最大值為33．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）正弦信號(hào)是頻率成分最為單一的一種信號(hào)，因這種信號(hào)的波形是數(shù)學(xué)上的正弦曲線而得名，很多復(fù)雜的信號(hào)都可以通過(guò)多個(gè)正弦信號(hào)疊加得到，因而正弦信號(hào)在實(shí)際中作為典型信號(hào)或測(cè)試信號(hào)而獲得廣泛應(yīng)用已知某個(gè)聲音信號(hào)的波形可表示為，則下列敘述不正確的是（）A．在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)B．的最大值為3C．是的一個(gè)對(duì)稱中心D．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增34．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，下列說(shuō)法正確的是（）A．B．的取值范圍為C．t的取值范圍為D．的最大值為435．（2021·廣東·華南師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．36．（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中）在長(zhǎng)方體中，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面B．與平面所成角的正切值的最大值是C．的最小值為D．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)是37．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三階段練習(xí)）如圖的正方體中，棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng).以下命題不正確的有（）A．側(cè)面上不存在點(diǎn)，使得B．點(diǎn)到面的距離與點(diǎn)到面的距離之比為C．若點(diǎn)滿足平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為38．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習(xí)）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且對(duì)于a的任意可能取值，恒有極大值，則下列結(jié)論不正確的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．b的最大值為e3D．b的最大值為2e2三、雙空題39．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記四邊形面積的倒數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且.此數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值是__________，的值為__________.40．（2021·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列進(jìn)行構(gòu)造，第次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列；記，則___________，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________．41．（2021·廣東汕頭·高三期末）設(shè)數(shù)列滿足且，則______，數(shù)列的通項(xiàng)______．42．（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次"擴(kuò)展".將數(shù)列1，2進(jìn)行"擴(kuò)展"，第一次得到數(shù)列1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；....擴(kuò)展得到的數(shù)列的第6項(xiàng)為___________；設(shè)第n次“擴(kuò)展"后得到的數(shù)列為，并記，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為___________.43．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三階段練習(xí)）將正三角形（1）的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖（2）；將圖（2）的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖（3）；如此類推，將圖（）的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作三角形，然后去掉底邊，得到圖．上述作圖過(guò)程不斷的進(jìn)行下去，得到的曲線就是美麗的雪花曲線．若圖（1）中正三角形的邊長(zhǎng)為1，則圖（）的周長(zhǎng)為__________，圖（）的面積為___________．44．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習(xí)）已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則_________，的最小值為________.四、填空題45．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，，.則的最大值為___________.46．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）等比數(shù)列的公比，，則使成立的正整數(shù)的最大值為______47．（2021·湖南·高三階段練習(xí)）已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為_____________.48．（2021·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）某同學(xué)在參加魔方實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為，則該球的半徑是__________．49．（2021·湖南·沅江市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），圓與內(nèi)切，半徑為，則的取值范圍是___________．50．（2021·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）如下圖所示，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線交軸于，且，則的內(nèi)切圓半徑為____________.51．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方體，，，在上取一點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)N，使得直線平面，則線段MN的最小值為________.52．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知扇形的半徑為2，，如圖所示，在此扇形中截出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD（點(diǎn)B，C在弧上），則矩形ABCD面積的最大值為___________.

53．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，M為的內(nèi)心，直線與x軸正半軸交于點(diǎn)H，，且，則的漸近線方程為________．54．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，則________．55．（2021·廣東·華南師大附中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.56．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，直線與直線交于點(diǎn)．圓，則的最大值為____________．57．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則____________．58．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習(xí)）在正三棱錐V—ABC內(nèi)，有一半球，其底面與正三棱錐的底面重合，且與正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，若半球的半徑為2，則正三棱錐的體積最小時(shí)，其高等于__________．2022年新高考數(shù)學(xué)名校地市選填壓軸題好題匯編（十）一、單選題1．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）祖原理也稱祖氏原理，是我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)求積的著名命題：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，由曲線，，圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則?滿足以下哪個(gè)關(guān)系式（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出曲線在第一想象內(nèi)的圖象進(jìn)行分析：當(dāng)雙曲線方程為：，高度為時(shí)，雙曲線與漸近線旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓環(huán)，計(jì)算可得圓環(huán)的面積為定值，進(jìn)而由由祖暅原理知等軸雙曲線與漸近線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體體積，與底面半徑為，高為的圓柱體體積一致，而滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為球體，體積為，通過(guò)分析計(jì)算可得，，進(jìn)而可得，從而得解.【詳解】如圖可知：當(dāng)雙曲線方程為：，高度為時(shí)，雙曲線與漸近線旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓環(huán)，其中小圓環(huán)的半徑即是，所以小圓面積為：，而大圓半徑可以由：求出，即：，所以大圓的面積為：，所以圓環(huán)的面積為：，為定值，所以由祖暅原理知等軸雙曲線與漸近線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體體積，與底面半徑為，高為的圓柱體體積一致，而球體體積，所以，.故選：B.2．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）在平面四邊形中，已知的面積是的面積的3倍.若存在正實(shí)數(shù)使得成立，則的值為（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】連接，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，由面積比得，再利用三點(diǎn)共線可得出的關(guān)系，從而可求解．【詳解】如圖，連接，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn).若的面積是的面積的3位，則.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，，所以，所以設(shè)因?yàn)?，所以，所?故選：A.3．（2021·山西太原·高二階段練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，準(zhǔn)線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準(zhǔn)線方程，則可求出準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，然后由題意可得，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率【詳解】依題意，拋物線準(zhǔn)線，由拋物線定義知，解得，則準(zhǔn)線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，原點(diǎn)為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得．故選：C4．（2021·湖南·沅江市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，則原不等式等價(jià)于恒成立，即恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍．【詳解】解：不等式恒成立，即恒成立．構(gòu)造函數(shù)，可得，所以在定義域上單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A5．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）已知正三棱柱的高等于1.一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】尋找滿足條件的球心與半徑，通過(guò)解直角三角形求解．【詳解】如圖，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形內(nèi)切圓，與正三棱柱的所有棱都相切的球必過(guò)△的外接圓和上下底面內(nèi)切圓，取上下底面內(nèi)切圓心、，連接，取中點(diǎn)，為△的外心，以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱所有棱都相切的球，∴，，，在直角△OMN中，由得，，，∴球的半徑，∴球的體積.故選：B.6．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知直線：與直線：相交于點(diǎn)P，線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，且，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得到，過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，從而得到點(diǎn)軌跡為圓，設(shè)圓心為，半徑為，取的中點(diǎn)，連接，求得，設(shè)圓的半徑為，求得的最小值，再由得答案．【詳解】解：圓半徑，圓心，直線與垂直，又過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，方程為，圓心，半徑，取的中點(diǎn)，連接，由，則，則，，的最小值為．故選：B．

7．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出球的半徑，再由幾何關(guān)系結(jié)合勾股定理得出點(diǎn)到平面的距離，最后由體積公式得出三棱錐的體積的最大值.【詳解】設(shè)球的半徑為，則要使得三棱錐的體積的最大，需在過(guò)中心的垂直于平面的線上設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，中心到點(diǎn)的距離為此時(shí)，即，解得或即三棱錐的體積的最大值為故選：B8．（2021·廣東汕頭·高三期末）已知函數(shù)在區(qū)間(0，1)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．【答案】A【分析】在上遞增，根據(jù)在上有最小值，可知有極小值點(diǎn)，也即最小值點(diǎn)，由此列不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意只需，這時(shí)存在，使得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上有極小值也即是最小值．所以的取值范圍是.故選：A9．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出并將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，列出關(guān)于的不等式，最后解得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，所以，而，則，于是，函數(shù)在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，所以.故選：D.10．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的最小整數(shù)值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先將函數(shù)化為，令，進(jìn)而只需說(shuō)明在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過(guò)放縮法解決問(wèn)題.【詳解】，設(shè)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得，于是問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，，若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；若，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，而，限定，記，，即在上單調(diào)遞增，于是，則時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)?，所以，于是時(shí)，.綜上：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，a的最小整數(shù)值為2.故選：C.【點(diǎn)睛】本題有一定難度，首先這一步的變形非常重要，注意此種變形的運(yùn)用；其次，運(yùn)用放縮法說(shuō)明函數(shù)時(shí)，用到了（需證明），進(jìn)而得到，這種處理方法非常普遍，注意歸納總結(jié).11．（2021·廣東·華南師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)的圖象，則函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于直線與曲線的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，考查直線與圓相切，且切點(diǎn)位于第三象限時(shí)以及直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，等式兩邊平方得，整理得，所以曲線表示圓的下半圓，如下圖所示，由題意可知，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于直線與曲線的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，則，可得；當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)位于第三象限時(shí)，，此時(shí)，解得．由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)．因此，實(shí)數(shù)取值范圍是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，同時(shí)也考查了直線與圓的位置關(guān)系以及正弦型函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題．12．（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，若，則A． B．C． D．【答案】C【分析】由題，先求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再由判斷出，根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：可知在上單調(diào)遞增；作出與的圖象，，可得，故，故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的圖像判斷大小和熟悉對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.13．（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中）《易經(jīng)》中記載著一種幾何圖形一一八封圖，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，去測(cè)量當(dāng)?shù)匕素蕴锏拿娣e如圖，現(xiàn)測(cè)得正八邊形的邊長(zhǎng)為8，代表陰陽(yáng)太極圖的圓的半徑為2，則每塊八卦田的面積為（）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正八邊形分割成8個(gè)全等的等腰三角形，頂角為，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，由正弦定理求得的值，求得三角形的面積，進(jìn)而求得每塊八卦田的面積.【詳解】由圖可知，正八邊形分割成8個(gè)全等的等腰三角形，頂角為，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為，則每塊八卦田的面積為.故選：A.14．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三階段練習(xí)）已知，，（）是函數(shù)（且）的3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然，即，設(shè)，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】解：顯然，即，設(shè)，則所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.15．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三階段練習(xí)）眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個(gè)圖形是一個(gè)圓形.其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，給出以下命題：①當(dāng)時(shí)，直線與白色部分有公共點(diǎn)；②黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點(diǎn)，則的最大值為；③若點(diǎn)，為圓過(guò)點(diǎn)的直徑，線段是圓所有過(guò)點(diǎn)的弦中最短的弦，則的值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】計(jì)算直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合可判斷①的正誤；利用點(diǎn)到直線的距離公式以及數(shù)形結(jié)合可判斷②的正誤；求出點(diǎn)、、、的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，下方白色小圓的方程為，圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離為，如圖所示，由圖可知，直線與與白色部分無(wú)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，黑色陰影部分小圓的方程為，設(shè)，如下圖所示：當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最大值，且圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，可得，解得，由圖可知，，故的最大值為，故②正確；對(duì)于③，由于是圓中過(guò)點(diǎn)的直徑，則、為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)、，如圖所示，當(dāng)軸時(shí)，取最小值，則直線的方程為，可設(shè)點(diǎn)，，，，所以，，，，，，所以，，所以，故③正確；故選：C．16．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知異面直線、所成的角為，其公垂線段的長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為的線段的兩端點(diǎn)分別在直線、上運(yùn)動(dòng)，則中點(diǎn)的軌跡為（）（注：公垂線段指與異面直線垂直且相交的線段）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】C【分析】不妨設(shè)，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作直線，作直線，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、所成角的角平分線所在直線作軸，直線所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)、，可得出，設(shè)線段的中點(diǎn)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和相關(guān)點(diǎn)法可求得點(diǎn)的軌跡方程，即可得解.【詳解】不妨設(shè)，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作直線，作直線，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、所成角的角平分線所在直線作軸，直線所在直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)點(diǎn)、，，可得，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，可得，所以，，即.因此，線段的中點(diǎn)的軌跡為橢圓.故選：C.17．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則k可以等于（）A．8 B．9 C．11 D．12【答案】A【分析】分別討論為1，3，5的情況，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解﹒【詳解】①若時(shí)，，，令，則，方程不存在正整數(shù)解；②時(shí)，，，令，則或，∴k=8滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，，令，則，方程不存在正整數(shù)解；∴k能取8﹒故選：A﹒18．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)時(shí)恒成立，可得，分類討論，再分參，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值，即可求出．【詳解】解：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時(shí)恒成立，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，設(shè)，，，令，解得，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，由，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)性遞增，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，綜上所述的取值范圍為，，故最大值為，故選：．二、多選題19．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)同時(shí)為橢圓與雙曲線的左右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若（）A．，則B．，則C．，則的取值范圍是D．，則的取值范圍是【答案】BD【分析】先設(shè)，焦距為，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，求出，；當(dāng)，得，進(jìn)而可判斷B正確，A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，得到，推出，利用換元法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可判斷D正確，C錯(cuò).【詳解】如圖，設(shè)，焦距為，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，，當(dāng)時(shí)，則，所以，即，由離心率的公式可得，故正確.當(dāng)時(shí)，可得，即，可得，由，可得，可得，即，則，可設(shè)，則，由在上單調(diào)遞增，可得，則，故正確.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，得到與，再由離心率的計(jì)算公式，結(jié)合題中條件，即可求解.20．（2021·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結(jié)論正確的是（）A．直四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C．若，則直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為D．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面【答案】BD【分析】讀懂題意，求解曲率的關(guān)鍵，是求解線線夾角，再代入離散曲率公式處理.畫出對(duì)應(yīng)的立體圖形，根據(jù)邊角關(guān)系求出夾角的數(shù)值即可.當(dāng)然也可設(shè)出各棱長(zhǎng)的數(shù)值，建系求解，排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】A項(xiàng)，當(dāng)直四棱柱的底面為正方形時(shí)，其在各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等，當(dāng)直四棱柱的底面不為正方形時(shí)，其在同一底面且相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率不相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，若，則菱形為正方形，因?yàn)槠矫?，所以，，所以直四梭柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，選項(xiàng)B正確；C項(xiàng)，若，則，又，，所以直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，在四面體中，，，，所以，所以四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征可知平面，選項(xiàng)D正確．故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查離散曲率，考查考生的創(chuàng)新能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力．試題結(jié)合新定義——離散曲率命制立體幾何試題，角度新穎，要求考生充分理解離散曲率的定義，結(jié)合立體幾何的結(jié)構(gòu)特征求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探素、理性思維學(xué)科素養(yǎng)．21．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則（）A．的圖象可能關(guān)于直線對(duì)稱B．的取值范圍是C．在上不可能是單調(diào)函數(shù)D．的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)周期求出，結(jié)合的范圍及，得到，把看做一個(gè)整體，研究在的零點(diǎn)，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，最終列出關(guān)于的不等式組，求得的取值范圍，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所?由，得.當(dāng)時(shí)，，又，所以.因?yàn)?，在上的零點(diǎn)為，，，，且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以或解得.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.故選：AD22．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，則下列結(jié)論正確的有（）A．若，則雙曲線的離心率B．若是面積為的正三角形，則C．若為雙曲線的右頂點(diǎn)，軸，則D．若射線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)Q，則【答案】AB【分析】對(duì)選項(xiàng)A，由題意列式得，即可求得；對(duì)選項(xiàng)B，利用等邊三角形的性質(zhì)求解得，，即可得；對(duì)選項(xiàng)C，可得，即可判斷，對(duì)選項(xiàng)D，舉出反例即可判斷.【詳解】由題意，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋缘闹写咕€與雙曲線有交點(diǎn)，即有，解得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，解得，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意可得顯然不等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若為右頂點(diǎn)時(shí)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)于雙曲線的離心率的求解，一般需要先列關(guān)于的等式或者不等式，從而求解出離心率的范圍；關(guān)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用，一般需要用到雙曲線的定義以及余弦定理列式來(lái)求解.23．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，.若存在，使得對(duì)任意，，則（）A．任意B．任意C．存在，使得在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)D．存在，使得在上單調(diào)遞減【答案】BD【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)任意，，得到是函數(shù)的最小值點(diǎn)，可判定A不正確；由函數(shù)的最小正周期為，得到為函數(shù)的最大值點(diǎn)，可判定B正確；由區(qū)間上，此時(shí)，可判定C錯(cuò)誤；取，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，其中，因?yàn)閷?duì)任意，，即是函數(shù)的最小值點(diǎn)，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，所以A不正確；由函數(shù)的最小正周期為，所以為函數(shù)的最大值點(diǎn)，所以，所以B正確；因?yàn)?，且是函?shù)的最小值點(diǎn)，可得，所以在區(qū)間上，此時(shí)，故不存在，使得在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；取，則在內(nèi)，單調(diào)遞減且，所以單調(diào)遞減，所以D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法：1、根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)得出三角函數(shù)的解析式為的形式；2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性與最值等），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯(cuò)解.24．（2021·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圖1中，正方形的邊長(zhǎng)為，A、B、C、D是各邊的中點(diǎn)，分別沿著、、、把、、、向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則（）

A．平面平面B．直線與直線所成的角為C．多面體的體積為D．直線與平面所成角的正切值為【答案】BD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法、割補(bǔ)法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】取的中點(diǎn)O、M，連接，如圖，∵A、B、C、D是正方形各邊的中點(diǎn)，則，∵O為的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，∵O、M分別為的中點(diǎn)，則且，且，所以四邊形為矩形，所以，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．選項(xiàng)A，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由,取，則，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，可得，則．，所以，平面與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，直線與所成的角為，故B正確；選項(xiàng)C，以為底面，以為高將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則E、F、G、H分別為的中點(diǎn)，因?yàn)?，長(zhǎng)方體的體積為，，因此，多面體的體積為，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，，故D正確．故選：BD25．（2021·湖南·沅江市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)在側(cè)面CDD1C1上運(yùn)動(dòng)，且滿足B1F//平面A1BE．以下命題正確的有（）A．點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為B．直線與直線BC所成角可能為45°C．平面A1BE與平面CDD1C1所成銳二面角的正切值為D．過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，A的平面截正方體所得的截面面積最大為【答案】ACD【分析】取和的中點(diǎn)分別為，即可證明平面平面，從而得到點(diǎn)在線段上，即可判斷A；由，則即為異面直線所成的角，再利用銳角三角函數(shù)計(jì)算即可判斷B；找出二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)計(jì)算即可判斷C；當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積最大，求出最大截面面積，即可判斷D；【詳解】解：對(duì)于：取和的中點(diǎn)分別為，連接，則，平面，平面，所以平面平面，因?yàn)樵趥?cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，所以點(diǎn)在線段上．故點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為：，故選項(xiàng)正確；對(duì)于B：因?yàn)椋耘c直線所成角即為與直線所成角，則即為異面直線所成的角，在Rt中，，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，在Rt中，，若所成的角為，則，而最大為，矛盾，所以所成角不可能為，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：因?yàn)槊婷?，所以平面與平面所銳二面角，即為平面與平面所成銳二面角，因?yàn)槊婷?，?dāng)為線段的中點(diǎn)，可得，所以即為二面角的平面角，且，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于：當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積最大，取的中點(diǎn)，，則截面為菱形，，其面積為故選項(xiàng)D正確，故選：ACD．26．（2021·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.已知函數(shù)，函數(shù)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．函數(shù)是周期函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】AD【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，作出函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象判斷選項(xiàng)ABC的正確性，再分類討論判斷方程的根的個(gè)數(shù)得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的值域是，故選項(xiàng)A正確；由函數(shù)的圖象得到不是周期函數(shù)，故選項(xiàng)B不正確；由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；故方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的問(wèn)題，經(jīng)常要利用數(shù)形結(jié)合的思想分析解答.27．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.對(duì)于圖2.下列結(jié)論正確的是（）A．這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形B．若，，則C．若，則D．若是的中點(diǎn)，則三角形的面積是三角形面積的7倍【答案】ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)題意，，，進(jìn)而判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，由題知，在中，，，，進(jìn)而結(jié)合正弦定理解三角形判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨設(shè)，進(jìn)而由余弦定理得，所以，再計(jì)算比值即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，由題知，進(jìn)而.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)題意，圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因?yàn)?，所以，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若是的中點(diǎn)，則，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD28．（2021·廣東茂名·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).，若的圖象存在兩條相互垂直的切線.則的值可以是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由題可得，利用基本不等式可知，由條件可知，即可判斷.【詳解】∵函數(shù)，定義域?yàn)?，∴，∴，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，要使的圖象存在兩條相互垂直的切線，則，，所以的值必有一正一負(fù)，當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，則，，例如，，故的值可以是，當(dāng)時(shí)，，則，，例如，，故的值可以是.所以的值可以是或.故選：AB.29．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A．存在c，d使得函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．是單調(diào)函數(shù)的充要條件是C．若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則D．若，則過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且僅有2條【答案】BC【分析】對(duì)A，可證函數(shù)不為奇函數(shù)；對(duì)B，求得，要使是單調(diào)函數(shù)，則，可求的范圍；要使函數(shù)有兩極值點(diǎn)，則，結(jié)合指數(shù)性質(zhì)和韋達(dá)定理可求范圍；對(duì)D，可判斷為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，畫出大致圖象，可判斷有三條切線.【詳解】若存在c，d使得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，，則，對(duì)于任意的，并不滿足，故函數(shù)不為奇函數(shù)，A錯(cuò)；由得，要使是單調(diào)函數(shù)，必滿足，解得，故B正確；若函數(shù)有兩極值點(diǎn)，必滿足，即，此時(shí)，，，因?yàn)?，所以，故，C正確；若，則，，畫出函數(shù)大致圖象，如圖：

三條虛線代表三條相切的切線，故D錯(cuò)誤.故選：BC30．（2021·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面，下面說(shuō)法正確的是（）A．若N為中點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，若平面截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長(zhǎng)就越大C．直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為D．若點(diǎn)M為的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)B，則平面截正方體所得截面圖形的面積為【答案】AD【分析】利用展開圖判定、、三點(diǎn)共線，進(jìn)而利用相似三角形判定選項(xiàng)A正確；通過(guò)兩個(gè)截面的面積不相等且周長(zhǎng)相等判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角的余弦值的取值范圍，進(jìn)而判定選項(xiàng)C正確；建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直得出點(diǎn)的位置、判定截面的形狀是梯形，利用空間向量求梯形的高，進(jìn)而求出截面的面積，判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A：將矩形與矩形展開成一個(gè)平面（如圖所示）若最小，則、、三點(diǎn)共線，因?yàn)?，所以，所以，即，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，連接、、、、（如圖所示）在正方體中，平面，平面，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，又平面，所以，同理可證，因?yàn)?，所以平?易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其面積為，周長(zhǎng)為；設(shè)分別是的中點(diǎn)，易知六邊形是邊長(zhǎng)為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長(zhǎng)為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長(zhǎng)相等，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）則，，設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，且，，，所以直線AB與平面所成角的正弦值的取值范圍為則直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為.即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）連接、，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，即，得，所以，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理點(diǎn)是的中點(diǎn)，則且，所以四邊形是梯形，且，，設(shè)，，則，，所以梯形的高，即點(diǎn)到直線的距離為，所以梯形的面積為，即選項(xiàng)D正確.故選：AD.31．（2021·廣東汕頭·高三期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面的中心，，為線段的中點(diǎn)，則（）A．與共面B．三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)C．時(shí)，過(guò)A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為D．【答案】ABC【分析】由為的中點(diǎn)，得到，可判定A正確；由到平面的距離為定值，且的面積為定值，根據(jù)，可得判定B正確，由時(shí)，得到三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形，可判定C正確；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可判定D不正確．【詳解】在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；由，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)，所以B正確；當(dāng)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形，所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，所以C正確；當(dāng)時(shí)，可得，則，所以不成，所以D不正確．故選：ABC32．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為B．點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為C．三棱錐的體積的最大值為D．三棱錐的體積的最大值為【答案】BD【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到B正確；結(jié)合三棱錐的體積公式，可判定D正確．【詳解】取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，分別連接，由，且，所以平面，由題意可得P的軌跡為正六邊形，其中，所以點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為，所以A不正確，B正確；當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離取得最大值，此時(shí)有最大值，最大值為，所以C不正確，D正確．故選：BD33．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）正弦信號(hào)是頻率成分最為單一的一種信號(hào)，因這種信號(hào)的波形是數(shù)學(xué)上的正弦曲線而得名，很多復(fù)雜的信號(hào)都可以通過(guò)多個(gè)正弦信號(hào)疊加得到，因而正弦信號(hào)在實(shí)際中作為典型信號(hào)或測(cè)試信號(hào)而獲得廣泛應(yīng)用已知某個(gè)聲音信號(hào)的波形可表示為，則下列敘述不正確的是（）A．在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)B．的最大值為3C．是的一個(gè)對(duì)稱中心D．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】結(jié)合三角函數(shù)的零點(diǎn)、最值、對(duì)稱中心、單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，由，令，則或，易知在上有2個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，因?yàn)?，由于等?hào)不能同時(shí)成立，所以，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，易知為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又周期為，故是的一個(gè)對(duì)稱中心．對(duì)于D，，因?yàn)?，所以時(shí)，即：（）時(shí)，單調(diào)遞增，（）時(shí)，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤．故選：ABD34．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，下列說(shuō)法正確的是（）A．B．的取值范圍為C．t的取值范圍為D．的最大值為4【答案】BC【分析】或，作出函數(shù)f(x)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】或，作出的圖象，當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)實(shí)數(shù)根，∴共四個(gè)實(shí)根，滿足題意；當(dāng)時(shí)，只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以共三個(gè)實(shí)根，不滿足題意，此時(shí)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.要使原方程有四個(gè)實(shí)根，等價(jià)于有三個(gè)實(shí)根，等價(jià)于y＝f(x)與y＝t圖像有三個(gè)交點(diǎn)，故，，所以，故A錯(cuò)誤，C正確；又因?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀椋?，B正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC.35．（2021·廣東·華南師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由已知得出，化簡(jiǎn)變形后可判斷A選項(xiàng)的正誤；取可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用構(gòu)造函數(shù)法證明CD選項(xiàng)中的不等式，可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：由可得，可知直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).對(duì)于A選項(xiàng)，由已知可得，消去可得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，取，則，所以，，故，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?，則，所以，，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).36．（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中）在長(zhǎng)方體中，，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面B．與平面所成角的正切值的最大值是C．的最小值為D．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)是【答案】ACD【分析】證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；求出的最小值，利用線面角的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；將沿翻折與在同一平面，利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)是以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的一點(diǎn)，求出的長(zhǎng)，判斷出點(diǎn)的軌跡，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】

對(duì)于A，在長(zhǎng)方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，平面，所以，與平面所成角為，，所以，當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正切值的最大，由勾股定理可得，由等面積法可得，所以，的最大值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，將沿翻折與在同一平面，如下圖所示：在中，為直角，，，在中，，，由余弦定理可得，則為銳角，可得，，由余弦定理可得，此時(shí)，因此，的最小值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，設(shè)是以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的一點(diǎn)，由于平面，平面，，，所以交線為以為圓心，為半徑的四分之一圓周，所以交線長(zhǎng)是，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識(shí)求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.37．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三階段練習(xí)）如圖的正方體中，棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng).以下命題不正確的有（）A．側(cè)面上不存在點(diǎn)，使得B．點(diǎn)到面的距離與點(diǎn)到面的距離之比為C．若點(diǎn)滿足平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合的時(shí)候，可判正誤；對(duì)于B選項(xiàng)，將截面延展，得到截面和右側(cè)面的交線，連接交于點(diǎn)，可知，進(jìn)而得到結(jié)果是正確的；對(duì)于C，根據(jù)面面平行的性質(zhì)找到點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求得長(zhǎng)度，可判正誤；對(duì)于D，可得到點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上，同時(shí)點(diǎn)也在以點(diǎn)為圓心的圓周上，由幾何關(guān)系可得到相應(yīng)軌跡長(zhǎng)度，進(jìn)而判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合的時(shí)候，直線垂直于平面此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖：根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到截面和右側(cè)面的交線為為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，可知，故可得到點(diǎn)到面的距離與點(diǎn)到面的距離之比為，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)如上圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，易證，，從而平面平面，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)如上圖，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，可認(rèn)為點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上，同時(shí)點(diǎn)也在以點(diǎn)為圓心的圓周上，假設(shè)該圓周被面截得的弧長(zhǎng)為，則點(diǎn)就在弧上連接，三角形為直角三角形，，，由勾股定理得到在三角形中，，同理，，故得到弧長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤；故選：ACD38．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習(xí)）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且對(duì)于a的任意可能取值，恒有極大值，則下列結(jié)論不正確的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．b的最大值為e3D．b的最大值為2e2【答案】ABD【分析】由題意得，設(shè)，則，可判斷出當(dāng)時(shí)，若存在極大值，此時(shí)有解，即可得，可得的極大值點(diǎn)為，且，從而得當(dāng)時(shí)取得極大值，由得，則得，令，，則原命題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出的最大值即可【詳解】解：由題意得，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，則不可能有極大值點(diǎn)(注：若有極值也是極小值)，不符合要求；當(dāng)時(shí)，若存在極大值，此時(shí)有解，即有兩個(gè)不等正根，則有由此可得，且，(設(shè))從而可得的極大值點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，從而在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，當(dāng)時(shí)取得極大值；由此A、B都不正確；又由得，因?yàn)?，令，，則原命題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)增，故，從而得，所以b的最大值為，所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)不正確；故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值，解題的關(guān)鍵是若存在極大值，可得有解，即有兩個(gè)不等正根，則有，從而可求出函數(shù)的極值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題三、雙空題39．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記四邊形面積的倒數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且.此數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值是__________，的值為__________.【答案】##【分析】根據(jù)操作過(guò)程，結(jié)合直角三角形勾股定理、直角三角形面積公式，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，，，，則，所以.故答案為：；1840．（2021·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列進(jìn)行構(gòu)造，第次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列；記，則___________，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________．【答案】【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推式，然后利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求出，再利用分組求和法可求出【詳解】，，，，可得，所以所以所以，所以，所以，所以．故答案為：70，41．（2021·廣東汕頭·高三期末）設(shè)數(shù)列滿足且，則______，數(shù)列的通項(xiàng)______．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“疊加法”，即可求得.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，設(shè)，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，可得，其中也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：；.42．（2021·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三期中）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次"擴(kuò)展".將數(shù)列1，2進(jìn)行"擴(kuò)展"，第一次得到數(shù)列1，2，2；第二次得到數(shù)列1，2，2，4，2；....擴(kuò)展得到的數(shù)列的第6項(xiàng)為___________；設(shè)第n次“擴(kuò)展"后得到的數(shù)列為，并記，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，得出第三次擴(kuò)展的數(shù)列，求得數(shù)列的第6項(xiàng)，再由，得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式，即可求解.【詳解】由題意，將數(shù)列1，2進(jìn)行"擴(kuò)展"，第一次得到數(shù)列；第二次得到數(shù)列；第三次得到數(shù)列：，所以數(shù)列的第6項(xiàng)為.又由，可得，即，則，又由，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：；.43．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三階段練習(xí)）將正三角形（1）的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖（2）；將圖（2）的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形，然后去掉底邊，得到圖（3）；如此類推，將圖（）的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為底邊向外作三角形，然后去掉底邊，得到圖．上述作圖過(guò)程不斷的進(jìn)行下去，得到的曲線就是美麗的雪花曲線．若圖（1）中正三角形的邊長(zhǎng)為1，則圖（）的周長(zhǎng)為__________，圖（）的面積為___________．【答案】【分析】先根據(jù)所給的圖形找互相鄰的圖形周長(zhǎng)之間的關(guān)系，再進(jìn)一步得到與第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系，找出相鄰兩個(gè)圖形之間的面積關(guān)系，可求得圖（）的面積【詳解】解：第一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為，觀察發(fā)現(xiàn)：第二個(gè)圖形在第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上多了實(shí)驗(yàn)室的周長(zhǎng)的，第三個(gè)在第二個(gè)的基礎(chǔ)上多了其周長(zhǎng)的，所以第二個(gè)圖形的周長(zhǎng)為，第三個(gè)圖形的周長(zhǎng)為，第四個(gè)圖形的周長(zhǎng)為，……，所以第個(gè)圖形的周長(zhǎng)是第一個(gè)周長(zhǎng)的倍，所以第個(gè)圖形的周長(zhǎng)為，由題意可知，第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)都相等，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，則邊長(zhǎng)的遞推公式為，，所以，邊數(shù)的遞推公式為，，則，第一個(gè)圖形的面積為,當(dāng)時(shí)，，則【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意找出邊長(zhǎng)的遞推公式和邊數(shù)的遞推公式，相鄰兩個(gè)圖形面積之間的遞推關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于較難題44．（2021·廣東·華南師大附中高三階段練習(xí)）已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則_________，的最小值為________.【答案】2【分析】由結(jié)合正弦定理可得，從而可得，則有，再結(jié)基本不等式可求得答案【詳解】解：∵，∴，∴，.又，∴∴又∵在銳角ΔABC中，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，檢驗(yàn)可取，∴，故答案為：2，四、填空題45．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，，.則的最大值為___________.【答案】【分析】首先確定函數(shù)的對(duì)稱性,然后利用倒序相加法求和,最后利用幾何意義求得的最大值即可.【詳解】由題得，則，令，則，，得，則，則，令，則，是圓心為，半徑為的圓上一點(diǎn)，直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，由，得，得，即，故，，故的最大值為故答案為：.46．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）等比數(shù)列的公比，，則使成立的正整數(shù)的最大值為______【答案】18【分析】求出數(shù)列前n項(xiàng)的和，根據(jù)不等式之間的關(guān)系求解可得答案.【詳解】解：由等比數(shù)列的公比，，可得，可得：，則，且，由為等比數(shù)列，可得是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則原不等式等價(jià)為：，因?yàn)?，把，代入整理得：，可得：，，即：，?故答案為：18.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，計(jì)算量大，屬于中檔題型.47．（2021·湖南·高三階段練習(xí)）已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為_____________.【答案】【分析】設(shè)的中心為G，過(guò)點(diǎn)G作直線平面ABC，則球心О在上，取AC的中點(diǎn)M，連接BM，DM，由已知條件可證得O與G重合，過(guò)M作于H，連接OH，則，從而為二面角的平面角，然后在中求解即可【詳解】設(shè)的中心為G，過(guò)點(diǎn)G作直線平面ABC，則球心О在上，取AC的中點(diǎn)M，連接BM，DM，則.因?yàn)?，所以平面BDM，則，所以，所以，所以，，所以，所以，可得平面，所以球心О在直線MB上，因此O與G重合.過(guò)M作于H，連接OH，則，從而為二面角的平面角.因?yàn)椋?，所?故答案為：48．（2021·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）某同學(xué)在參加魔方實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球