湖南省瀏陽(yáng)一中、醴陵一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

湖南省瀏陽(yáng)一中、醴陵一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直相交于點(diǎn)，，則的值為（）A. B.C. D.2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（）A.28 B.39C.56 D.1173．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.4．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－195．等差數(shù)列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.516．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.7．當(dāng)實(shí)數(shù)，m變化時(shí)，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.68．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離10．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.4C. D.11．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作軸的平行線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為，且以、為頂點(diǎn)，以直線(xiàn)、為漸近線(xiàn)，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A. B.C. D.12．設(shè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離是（）A.6 B.8C.9 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用組成所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿(mǎn)足與相鄰并且與不相鄰的五位數(shù)共有____________個(gè).(結(jié)果用數(shù)值表示)14．設(shè)，，若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位能使其圖像與原圖像重合，則正實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________.15．已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_(kāi)_______16．拋物線(xiàn)的聚焦特點(diǎn)：從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)反射后，光線(xiàn)都平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.另一方面，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn)射向拋物線(xiàn)后的反射光線(xiàn)都會(huì)匯聚到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)處.已知拋物線(xiàn)，一條平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn)從點(diǎn)向左發(fā)出，先經(jīng)拋物線(xiàn)反射，再經(jīng)直線(xiàn)反射后，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點(diǎn)，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點(diǎn)D到平面EMC的距離18．（12分）撫州市為了了解學(xué)生的體能情況，從全市所有高一學(xué)生中按80：1的比例隨機(jī)抽取200人進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分為組畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)一，二兩組數(shù)據(jù)丟失，但知道第二組的頻率是第一組的3倍（1）若次數(shù)在以上含次為優(yōu)秀，試估計(jì)全市高一學(xué)生的優(yōu)秀率是多少？全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)約為多少？（2）求第一組、第二小組的頻率是多少？并補(bǔ)齊頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該全市高一學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)？19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn).請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.20．（12分）已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若AB是過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系是什么？先給出你的判斷結(jié)論，再給出你的證明，并作出必要的圖形21．（12分）已知拋物線(xiàn)：，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).（1）若與僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；（2）若與交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)OA，OB（其中О為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，試探究在，，，中，運(yùn)算結(jié)果是否有為定值的？并說(shuō)明理由.22．（10分）已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)作的外角的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設(shè)直線(xiàn)：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線(xiàn)，，的斜率之和為0（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：②求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題，由于過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直相交于點(diǎn)，可得，又，故，所以的坐標(biāo)為，由余弦定理可得.故選：D.考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的定義、余弦定理【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題2、B【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，則.故選：B.3、C【解析】根據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.4、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C5、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意是等差數(shù)列，，.故選：C6、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D7、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知可以表示單位圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，設(shè)，因直線(xiàn)，即表示恒過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得.故選：D.8、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)椋?，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B9、A【解析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，即可判斷位置關(guān)系.【詳解】對(duì)圓，其圓心，半徑；對(duì)圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.10、C【解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)得到，求解即可.【詳解】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以有，解得故選：C.11、C【解析】不妨取點(diǎn)在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，以及它們之間的聯(lián)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線(xiàn)中，有，，即，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，不妨取點(diǎn)在第一象限，則的坐標(biāo)為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長(zhǎng)為故選：12、A【解析】計(jì)算拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，根據(jù)距離結(jié)合拋物線(xiàn)的定義得到答案.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，到軸的距離是4，故到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是，故點(diǎn)到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離是.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，先利用捆綁法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【詳解】因?yàn)闈M(mǎn)足與相鄰并且與不相鄰，則將捆綁，內(nèi)部排序得，再對(duì)和全排列得，利用插空法將和插空得，所以滿(mǎn)足題意得五位數(shù)有.故答案為：14、【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)圖像平移法則和正弦函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題.【詳解】解：由題意得：函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得：該函數(shù)與原函數(shù)圖像重合故可知，即故當(dāng)時(shí)，最小正實(shí)數(shù).故答案為：15、【解析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.16、【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的聚焦特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)后經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，再經(jīng)直線(xiàn)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則根據(jù)反射特點(diǎn)，列出相關(guān)方程，解出方程即可.【詳解】設(shè)光線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則可得：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為：則直線(xiàn)的方程為：設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，則有：解得：則過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)的方程為：根據(jù)題意可知：點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)上設(shè)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則有：直線(xiàn)垂直于，則有：點(diǎn)在直線(xiàn)上，則有：點(diǎn)在直線(xiàn)上，則有：化簡(jiǎn)得：又故故答案為：【點(diǎn)睛】直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的特點(diǎn)建立方程，根據(jù)題意列出隱含的方程是關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以∥，面，平?所以∥平面；（Ⅱ）因?yàn)槠矫妫?，所以平面平面，平面平?過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn),則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點(diǎn)，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點(diǎn)D到平面EMC的距離為.考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系及運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是空間的直線(xiàn)與平面平行的推證問(wèn)題和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題．解答時(shí),證明問(wèn)題務(wù)必要依據(jù)判定定理,因此線(xiàn)面的平行問(wèn)題一定要在所給的平面中找出一條直線(xiàn)與這個(gè)平面外的直線(xiàn)平行,敘述時(shí)一定要交代面外的線(xiàn)和面內(nèi)的線(xiàn),這是許多學(xué)生容易忽視的問(wèn)題,也高考閱卷時(shí)最容易扣分的地方,因此在表達(dá)時(shí)一定要引起注意18、（1）8640；（2）第一組頻率為，第二組頻率為．頻率分布直方圖見(jiàn)解析；（3）中位數(shù)為，均值為121.9【解析】（1）求出優(yōu)秀的頻率，計(jì)算出抽取的人員中優(yōu)秀學(xué)生數(shù)后可得全體優(yōu)秀學(xué)生數(shù)；（2）由頻率和為1求得第一組、第二組頻率，然后可補(bǔ)齊頻率分布直方圖；（3）在頻率分布直方圖中計(jì)算出頻率對(duì)應(yīng)的值即為中位數(shù)，用各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值乘以頻率后相加得均值【詳解】（1）由頻率分布直方圖，分?jǐn)?shù)在120分以上的頻率為，因此優(yōu)秀學(xué)生有（人）；（2）設(shè)第一組頻率為，則第二組頻率為，所以，，第一組頻率為，第二組頻率為頻率分布直方圖如下：（3）前3組數(shù)據(jù)的頻率和為，中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為，則，均值為19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量，再求出，判斷是否與法垂直即可，（2）分別求出平面EFC與平面PBD的法向量，利用向量夾角公式求解即可【小問(wèn)1詳解】因PD⊥底面ABCD，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以?xún)蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?，所以EF//平面PDC；【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?所以，令，則，設(shè)平面EFC與平面PBD夾角為，，則，所以平面EFC與平面PBD夾角的余弦值為20、（1）；（2）相切，證明過(guò)程、圖形見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，結(jié)合拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以設(shè)拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵搾佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以有，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；小問(wèn)2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)相切，理由如下：因?yàn)锳B是過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的弦，所以直線(xiàn)AB的斜率不為零，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，則有，設(shè)，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）或或（2）為定值，而，，均不為定值【解析】（1）過(guò)拋物線(xiàn)外一定點(diǎn)的直線(xiàn)恰好與該拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，則分兩類(lèi)分別討論，一是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，二是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切；（2）聯(lián)立直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，分別表示出，，，為直線(xiàn)斜率的形式，便可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線(xiàn)可能與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，也可能與拋物線(xiàn)相切，下面分兩種情況討論：當(dāng)直線(xiàn)可能與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí)，則有：當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切時(shí)，由于點(diǎn)在軸上方，且在拋物線(xiàn)外，則存在兩條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切：易知：是其中一條直線(xiàn)另一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)上方相切時(shí)，不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則有：聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)可得：可得：則有：解得：故此時(shí)的直線(xiàn)的方程為：綜上，直線(xiàn)的方程為：或或【小問(wèn)2詳解】若與交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，分別設(shè)其坐標(biāo)為，，且由（1）可知直線(xiàn)要與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率存在且不為，不妨設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則有：聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)可得：可得：，即有：根據(jù)韋達(dá)定理可得：，則有：，下面分別說(shuō)明各項(xiàng)是否為定值：，故運(yùn)算結(jié)果為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值；，故運(yùn)算結(jié)果不為定值.綜上，可得：為定值，而，，均不為定值22、（1）；（2）①證明見(jiàn)解析，；②.【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及即可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關(guān)于的方程，解得即可得所過(guò)的定點(diǎn)，②由弦長(zhǎng)公式求出，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公