2024-2025學年滬教版初中數(shù)學九年級（上）教案 第21章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.4　二次函數(shù)的應(yīng)用（第1課時）

第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.4二次函數(shù)的應(yīng)用

第1課時利用二次函數(shù)解決幾何圖形面積的最值問題教學目標1.通過復習讓學生系統(tǒng)性地掌握并認識如何用函數(shù)的思想解決幾何問題中面積最值問題,培養(yǎng)整體性思想.2.能通過設(shè)置的問題,概括出用二次函數(shù)解決這類問題的基本思路和基本方法,并學會用數(shù)學問題的結(jié)論,分析是不是實際問題的解,掌握類比的數(shù)學思想方法.3.體會函數(shù)建模思想的同時,體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系,培養(yǎng)學生認真觀察、不斷反思、主動糾錯的能力和樂于思考、認真嚴謹、細心的好習慣.教學重難點重點：利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題——圖形面積的最值問題.難點：探究在自變量取值范圍內(nèi)求出實際問題的解.教學過程導入新課二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用常見類型有拋物線型問題和最值問題.而最值問題考試類型有兩類:(1)利潤最大問題；(2)幾何圖形中的最值問題:面積的最值、用料的最佳方案等.本節(jié)課,我們學習如何用二次函數(shù)解決實際問題中圖形面積的最值問題.【互動】如何求二次函數(shù)的最值？1.當自變量的取值范圍是全體實數(shù)時，二次函數(shù)在頂點的橫坐標處取得最值.即當x＝時，y最值＝.當a＞0時，在頂點的橫坐標處取得最小值，此時不存在最大值；當a＜0時，在頂點的橫坐標處取得最大值，此時不存在最小值.2.當自變量的取值范圍是x1≤x≤x2時，(1)若x＝在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，則最大值與最小值同時存在.如圖(1)，當a＞0時，最小值在x＝處取得，最大值為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時的較大的函數(shù)值；當a＜0時，最大值在x＝處取得，最小值為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時的較小的函數(shù)值.(2)若x＝不在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，最大值和最小值同時存在，且函數(shù)在x＝x1，x＝x2時的函數(shù)值中，較大的為最大值，較小的為最小值，如圖(2).①②(1)(2)【活動】例1分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)y＝x2-2x-3的最值.(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.解：∵y＝x2-2x-3＝(x-1)2-4，∴該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1，-4).(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內(nèi)，且a＝1＞0，∴當x＝1時，y有最小值，y最小值＝-4.∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點，∴在直線x＝1兩側(cè)二次函數(shù)的圖象左右對稱，端點處取不到，∴不存在最大值.(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)，而函數(shù)y＝x2-2x-3(2≤x≤3)的圖象是拋物線y＝x2-2x-3的一部分，且當2≤x≤3時，y隨x的增大而增大，∴當x＝3時，y最大值＝32-2×3-3＝0；當x＝2時，y最小值＝22-2×2-3＝-3.【探究】幾何圖形面積的最值.【思考】(小組合作，老師指導)如何利用二次函數(shù)的性質(zhì)求幾何圖形面積的最值？例2如圖,在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD,其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)如果設(shè)矩形的一邊AB＝xm，那么AD邊的長度如何表示？(2)設(shè)矩形的面積為ym2，當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？【互動】(引發(fā)學生思考，老師指導)寫出解題過程.解：（1）由題意可得△EDC∽△EAF，∴，∴，∴DE＝，∴AD＝30-.(2)矩形的面積S＝x·＝∴當x＝20時，y有最大值，最大值是300.【總結(jié)】1.利用二次函數(shù)求幾何圖形面積的最值的一般步驟：(1)引入自變量；(2)用含有自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相關(guān)的量；(3)由幾何圖形的特征，列出其面積的計算公式，并且用函數(shù)表示這個面積；(4)根據(jù)函數(shù)的表達式及自變量的取值范圍求出其最值.2.易錯警示：實際問題中的最大(小)值未必就是拋物線的頂點的縱坐標，最大(小)值的取舍要結(jié)合自變量的取值范圍.【探究】(師生互動)下面我們用學到的方法，解決下面的問題.例3某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m.當x為多少時，窗戶通過的光線最多？(結(jié)果精確到0.01m)此時，窗戶的面積是多少？(結(jié)果精確到0.01m2)解：∵7x+4y+πx＝15,∴y＝.∵0<x<15，且0<<15，∴0<x<1.48.設(shè)窗戶的面積是Sm2，則S＝＝＝，∴當x＝≈1.07(m)時，S最大＝≈4.02(m2).因此，當x約為1.07m時，窗戶通過的光線最多，此時窗戶的面積約為4.02m2.例4〈實際應(yīng)用題，易錯題〉張大伯準備用一面長15m的墻和長38m的柵欄修建一個如圖所示的矩形養(yǎng)殖場ABCD，并在養(yǎng)殖場的一側(cè)留出一個2m寬的門.(1)求養(yǎng)殖場的面積y(m2)與BC邊的長x(m)之間的函數(shù)表達式.(2)當BC邊的長為多少時，養(yǎng)殖場的面積最大？最大面積是多少？【互動】引導學生觀察圖形，表示出矩形的長和寬，同時也要考慮自變量的限制條件.解：(1)由題意，得AB＝m，∴y＝x·＝x·由題意知∴0<x≤15，∴y＝，其中0<x≤15.(2)y＝＝(x-20)2+200.∵a＝<0，0<x≤15，∴y隨x的增大而增大.∴當x＝15時，y有最大值，y最大值＝(15-20)2+200＝187.5.答：當BC邊的長為15m時，養(yǎng)殖場的面積最大，最大面積是187.5m2.課堂練習1.已知一個直角三角形兩直角邊長之和為20cm，則這個直角三角形的最大面積為()A.25cm2B.50cm2C.100cm2D.不確定2.用一條長為40cm的繩子圍成一個面積為acm2的長方形，a的值不可能為()A.20B.40C.100D.1203.如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，從較短邊AD上找一點E，過這點剪下兩個正方形，它們的邊長分別是AE，DE，當剪下的兩個正方形的面積之和最小時，點E應(yīng)選在()A.AD的中點B.AE∶ED＝(-1)∶2C.AE∶ED＝∶1D.AE∶ED＝(-1)∶24.某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30m的籬笆圍成，已知墻長為18m(如圖所示)，設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為xm.(1)若苗圃園的面積為72m2，求x.(2)若平行于墻的一邊長不小于8m，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有,求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由.(3)當這個苗圃園的面積不小于100m2時，直接寫出x的取值范圍.參考答案1.B2.D3.A4.解：(1)根據(jù)題意，得(30-2x)x＝72，解得x＝3或x＝12.∵30-2x≤18，∴x≥6，∴x＝12.(2)設(shè)苗圃園的面積為y，∴y＝x(30-2x)＝-2x2+30x＝∵a＝-2<0，∴苗圃園的面積y有最大值，∴當x＝時，平行于墻的一邊長為15m，又8<15<18，∴y最大值＝112.5m2.∵30-2x≥8，∴x≤11，∴6≤x≤11，∴當x＝11時，y最小值＝88m2.(3)由題意，得-2x2+30x≥100，又30-2x≤18，解得6≤x≤10.課堂小結(jié)利用二次函