專題04一次函數（考點清單）2

專題04講一次函數（考點清單）【聚焦考點】題型一：正比例函數和一次函數的定義題型二：正比例函數的圖像和性質題型三：一次函數的圖像問題題型四：一次函數的性質題型五：一次函數和一元一次方程題型六：一次函數和一元一次不等式題型七：一次函數和二元一次方程題型八：一次函數的實際應用題型九：一次函數和幾何問題【題型歸納】題型一：正比例函數和一次函數的定義【典例1】（2022上·甘肅平涼·八年級統(tǒng)考期末）下列函數中是正比例函數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正比例函數的定義，（），對各選項逐一分析判斷即可得答案．【詳解】解：A.，是正比例函數，故該選項符合題意；B.，自變量x在分母上，不是正比例函數，故該選項不符合題意；C.，自變量x的指數是2，不是1，不是正比例函數，故該項不符合題意，D.，是一次函數，不是正比例函數，故該項不符合題意．故選：A．【專訓11】（2023上·江蘇淮安·八年級校考期末）下列函數中，是一次函數的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一次函數的定義解答即可．【詳解】解：A．自變量次數為，不是一次函數，故A不符合題意；B．分母中含有未知數，不是一次函數，故B不符合題意；C．自變量次數為，是一次函數，故C符合題意；D．分母中含有未知數，不是一次函數，故D不符合題意．故選：C．【專訓12】（2022下·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期末）下列選項中，y與x的關系為正比例函數關系的是（

）A．正方形的周長與邊長的關系B．圓的面積與半徑的關系C．直角三角形中一個銳角的度數y與另一個銳角的度數x的關系D．矩形的面積為，長與寬之間的關系【答案】A【分析】根據正比例函數的定義：形如：的函數為正比例函數，列出題目中的函數關系，判斷即可．【詳解】A、依題意得到，所以正方形周長y（厘米）和它的邊長x（厘米）的關系成正比例函數，故本選項正確；B、依題意得到，則y與x不是正比例函數，故本選項錯誤；C、依題意得到，則y與x是一次函數關系．故本選項錯誤；D、依題意，得到，則y與x不是正比例函數．故本選項錯誤；故選：A．題型二：正比例函數的圖像和性質【典例2】（2023下·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）關于正比例函數，下列結論正確的是（

）A． B．圖象必經過點C．圖象不經過原點 D．y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據正比例函數的性質直接解答即可．【詳解】解：A．正比例函數的，故選項錯誤，不符合題意；B．將代入解析式得，，故本選項錯誤，不合題意；C．正比例函數的圖象過原點，故本選項錯誤，不合題意；D．由于函數圖象過二、四象限，則函數值y隨x的增大而減小，故本選項正確，符合題意．故選：D．【專訓21】（2023下·黑龍江綏化·八年級?？计谀┲本€過點，若，則k的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】把點代入解析式可，即可求解．【詳解】解：∵直線過點，∴，∴，∵，∴．故選：D【專訓22】（2023下·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）點和都在正比例函數(,且k為常數)的圖象上,若,則k的值可能是()A． B． C． D．【答案】B【分析】由,,利用正比例函數的性質可得出,即可得出結論．【詳解】解：∵,,即y隨x的增大而減小,∴,∴k值可以為．故選：B．題型三：一次函數的圖像問題【典例3】（2022下·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知經過點的直線與直線平行，則k，b的值為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據兩直線平行的問題得到，然后把M點坐標代入求出b即可．【詳解】解：∵直線與直線平行，，∵直線經過點，，，，故選：A．【專訓31】（2020上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）兩條直線與在同一坐標系中的圖象可能是圖中的（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據一次函數的中的的符號，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】解：根據一次函數的圖象與性質分析如下：A．由圖象可知，；由圖象可知，，A錯誤；B．由圖象可知，；由圖象可知，，B正確；C．由圖象可知，；由圖象可知，，C錯誤；D．由圖象可知，；由圖象可知，，D錯誤，故選：B．【專訓32】．（2023下·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）已知直線：與直線都經過，直線交y軸于點，交x軸于點A，直線交y軸于點D，P為y軸上任意一點，連接，有以下說法：①方程組的解為；②直線：的；③；④當的值最小時，點P的坐標為．其中正確的說法是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】①根據一次函數圖象與二元一次方程的關系，利用交點坐標可得方程組的解；②利用待定系數法求得k的值；③求得和的長，根據三角形面積計算公式，即可得到的面積；④根據軸對稱的性質以及兩點之間線段最短，即可得到當的值最小時，點P的坐標為．【詳解】解：①∵直線與直線都經過，∴方程組的解為，故①正確，符合題意；②把，代入直線，可得，解得，∴故②正確，符合題意；③把代入直線，可得，中，令，則，∴，∴，在直線中，令，則，∴，∴，∴，故③錯誤，不符合題意；④點A關于y軸對稱的點為，連接，由點C、的坐標得，直線的表達式為：，由對稱知，,,當點共線，即點P位于點D處時，,最小，∴當的值最小時，點P的坐標為，故④正確，符合題意；故選：B．題型四：一次函數的性質【典例4】（2023下·內蒙古呼倫貝爾·八年級統(tǒng)考期末）對于函數，下列結論正確的是（

）A．它的圖象必經過點 B．它的圖象與y軸的交點坐標為C．當時， D．y的值隨x值的增大而減小【答案】D【分析】根據函數解析式可知“它的圖象必經過點”錯誤；根據函數解析式可知函數經過第一、二、四象限；根據一次函數的性質即可解答．【詳解】解：函數解析式為，當時，，“它的圖象必經過點”錯誤，故A項不符合題意；函數解析式為，函數與軸交于，與軸交于，函數經過第一、二、四象限，故B項不符合題意；當時，，當時，，故C項不符合題意；函數解析式為，，的值隨值的增大而減小，故D項符合題意；故選：D．【專訓41】（2023下·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）已知，為直線上不相同的兩個點，以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將兩個點代入直線方程整理判斷即可．【詳解】解：將A、B兩點坐標分別代入直線方程，得，，則．．∵A、B兩點不相同，∴，∴．故選：A．【專訓42】（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）關于一次函數，下列結論正確的是（

）A．圖象不經過第二象限B．圖象與軸的交點是C．將一次函數的圖象向上平移3個單位長度后，所得圖象的函數表達式為D．點和在一次函數的圖象上，若，則【答案】C【分析】根據一次函數的圖象與性質，逐項判斷即可作答．【詳解】A．，，一次函數圖象經過第一、二、四象限，故本項原說法錯誤；B．圖象與軸的交點是，故本項原說法錯誤；C．將一次函數的圖象向上平移3個單位長度后，所得圖象的函數表達式為，故本項說法正確；D.點和在一次函數的圖象上，若，則，故本項原說法錯誤；故選：C．題型五：一次函數和一元一次方程【典例5】（2023下·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線和直線相交于點，根據圖像可知，關于的方程的解是（

）

A．或 B． C． D．【答案】C【分析】兩直線的交點坐標為兩直線解析式所組成的方程組的解．【詳解】∵直線和直線相交于點，∴的解是：，故選：．【專訓51】（2023下·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）一次函數的與的部分對應值如表所示，根據表中數值分析，下列結論正確的是（

）…………A．隨的增大而增大B．一次函數的圖像不經過第一象限C．是方程的解D．一次函數的圖像與軸交于點【答案】C【分析】根據題意，運用待定系數法求一次函數解析式，根據一次函數解析式，圖像的性質即可求解．【詳解】解：一次函數中，，；，；∴，解得，，∴一次函數解析式為，∴選項，，則隨的增大而減小，故選項錯誤，不符合題意；選項，一次函數的圖像經過第一、二、四象限，故選項錯誤，不符合題意；選項，是方程的解，故選項正確，符合題意；選項，一次函數的圖像與軸交于點，故選項錯誤，不符合題意；故選：．【專訓52】（2023下·江西新余·八年級統(tǒng)考期末）一次函數與的圖象如圖，則下列結論：①；②；③關于x的方程的解是；④當時，中．則正確的序號有（）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據一次函數的性質對①②進行判斷；利用一次函數與一元一次方程的關系對③進行判斷；利用函數圖象，當時，一次函數在直線的上方，則可對④進行判斷．【詳解】解：∵一次函數經過第一、二、四象限，∴，所以①正確；∵直線的圖象與y軸的交點在x軸下方，∴，所以②錯誤；∵一次函數與的圖象的交點的橫坐標為3，∴時，，整理得，則關于x的方程的解是，所以③正確；當時，圖像在圖像的上方，∴，所以④錯誤．故選：B．題型六：一次函數和一元一次不等式【典例6】（2022下·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，一次函數與的圖象，如圖所示，則關于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用函數圖象，結合，得出x的取值范圍．【詳解】解：由圖可得：不等式的解集為：故選：A．【專訓61】（2022下·陜西西安·八年級校考期末）如圖，一次函數和的圖象交于點A，不等式的解集為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】對不等式進行變形可得，結合函數圖象，求解即可．【詳解】解：由題意可得：點A橫坐標為不等式可化為：在點A的左側，滿足即不等式的解集為：則不等式的解集為故選：A【專訓62】（2023下·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，一次函數（k，b是常數，）與正比例函數（m是常數，）的圖象相交于點，下列判斷錯誤的是（

）

A．關于x的不等式的解集是B．關于x的方程的解是C．當時，函數的值比函數的值大D．關于x，y的方程組的解是【答案】A【分析】根據條件結合圖象對各選項進行判斷即可．【詳解】解：一次函數是常數，與正比例函數是常數，的圖象相交于點，關于的不等式的解集是，選項A判斷錯誤，符合題意；關于的方程的解是，選項B判斷正確，不符合題意；當時，函數的值比函數的值大，選項C判斷正確，不符合題意；關于的方程組的解是，選項D判斷正確，不符合題意；故選：A．題型七：一次函數和二元一次方程【典例7】（2023上·湖南長沙·九年級長沙市南雅中學校）如圖，一次函數與的圖象相交于點，則關于x，y的二元一次方程組的解是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】一次函數的交點坐標即為對應二元一次方程組的解．【詳解】解：將點代入得：∴交點坐標為：由一次函數與二元一次方程組的關系可得：該方程組的解為故選：B【專訓71】（2023下·河南鄭州·八年級期末）直線與直線相交于點，直線與x軸相交于，則①方程組的解是；②不等式的解集為；③不等式的解集為；④．以上說法正確的共有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】先求出的值，利用圖象法解二元一次方程組和不等式，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵直線與直線相交于點，∴，∴，∴；∴方程組的解是；故①正確，不等式的解集為；故②錯誤；∵直線與x軸相交于，且隨的增大而減小，∴不等式的解集為，故③錯誤；∵過，，∴，解得：，∴；故④錯誤；故選A．【專訓72】（2023下·安徽淮南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數與，小聰根據圖象得到如下結論：①；②關于x，y的方程組的解為；③關于x的方程的解為；④關于x的不等式的解集是．其中結論正確的個數是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據一次函數的圖象及性質，一次函數與二元一次方程，一次函數與不等式對各項判斷即可解答．【詳解】解：∵由圖象可知：一次函數與x軸的交點為，∴當時，，即故①正確；∵由圖象可知：一次函數與的圖象相交點，∴關于x，y的方程組的解為，故②錯誤；∵由圖象可知：一次函數與的圖象相交點，∴關于x的方程的解為，故③正確；∵，，由圖象可知：一次函數圖象不在的圖象上方的時，∴不等式的解集為，即不等式的解集是，故④錯誤；∴正確的有2個；故選：B．題型八：一次函數的實際應用【典例8】（2022下·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期末）為了美化校園環(huán)境，爭創(chuàng)綠色學校，某縣教育局委托園林公司對A、B兩校進行校園綠化．已知A校有3600平方米空地需鋪設草坪，B校有2400平方米空地需鋪設草坪．在甲、乙兩地分別有同種草皮3500平方米和2500平方米出售，且售價一樣．若園林公司向甲、乙兩地購買草皮，其路程和運費單價表如下：A校B校路程（千米）運費單價（元）路程（千米）運費單價（元）甲地200.15100.15乙地150.20200.20(1)設甲地運往A校的草皮為x平方米，總運費為y元，寫出y與x的函數關系式；(2)請你設計一種運費最少的方案，并說明最少費用是多少？【答案】(1)(2)當甲往A校運1100平方米，往B校運2400平方米，乙往A校運2500平方米，不往B校運草皮時運輸費用最少，最少費用為14400元【分析】（1）根據總運費A校的費用+B校的費用求解即可；（2）根據題意列出不等式組，求得，然后利用一次函數的性質求解即可．【詳解】（1）（2）根據題意可得，∴∵，，∴y隨x增大而增大，∴當時，y最小，此時．答：當甲往A校運1100平方米，往B校運2400平方米，乙往A校運2500平方米，不往B校運草皮時運輸費用最少，最少費用為14400元．【專訓81】（2023下·吉林白城·八年級校聯考期末）如圖，表示振華商場一天的某型電腦銷售額與銷售量的關系，表示該商場一天的銷售成本與電腦銷售量的關系．觀察圖象，解決以下問題：(1)當銷售量時，銷售額＝______萬元，銷售成本＝______萬元；(2)一天銷售______臺時，銷售額等于銷售成本；(3)分別求出和對應的函數表達式；(4)直接寫出利潤w與銷售量x之間的函數表達式，并求出當銷售量x是多少時，每天的利潤達到5萬元？【答案】(1)2；3(2)4(3)，(4)，當銷售量x是14臺時，每天的利潤達到5萬元【分析】（1）根據函數圖象中的數據，可以解答本題；（2）根據函數圖象中的數據，可以寫出一天銷售多少臺時，銷售額等于銷售成本；（3）根據函數圖象中的數據，可以求出和對應的函數表達式；（4）根據題意和（3）中的結果，可以寫出利潤與銷售量之間的函數表達式，并求出當銷售量是多少時，每天的利潤達到5萬元．【詳解】（1）解：由圖象可以得出：當銷售量時，銷售額=2萬元，銷售成本=3萬元；故答案為：2，3；（2）解：由圖象可以得出：一天銷售4臺時，銷售額等于銷售成本；故答案為：4；（3）解：設的對應表達式為將代入，得，解得，即對應的表達式為，設對應的表達式為，將，分別代入，，解得．即對應的表達式為．（4）解：由題意可得，利潤與銷售量之間的函數，表達式為．當時，解得，即當銷售量是14臺時，每天的利潤達到5萬元．【專訓82】（2022下·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）年被稱為“元年”，帶領人類步入萬物互聯時代，而我們的華為在核心專利上排世界第一，引來美國對華為的打壓．國家從上而下都在支持華為，某店準備進一批華為，經調查，用元采購型華為的臺數和用元采購型華為的臺數一樣，一臺型華為的進價比一臺型華為的進價多元．(1)求一臺，型華為的進價分別為多少元？(2)若店購進，型華為共臺進行銷售，其中型華為的臺數不大于型華為的臺數，且不小于臺，已知型華為的售價為元臺，型華為的售價為元臺，且全部售出，設購進型華為臺，店怎樣安排進貨，才能在銷售這批華為時獲最大利潤，求出最大利潤．【答案】(1)一臺，型華為的進價分別為元，元(2)當購進型、型華為分別為臺、臺時，利潤最大，最大利潤是元【分析】（1）根據用元采購型華為的臺數和用元采購型華為的臺數一樣，一臺型華為的進價比一臺型華為的進價多元，可以列出相應的分式方程，本題得以解決；（2）根據題意可以寫出銷售這批華為的利潤（元）與（臺）的函數關系式以及的取值范圍，利用一次函數的性質即可解答本題．【詳解】（1）解：設一臺型華為的進價是元，則一臺型華為的進價是元，依題意，得：，解得：，經檢驗，是原分式方程的解，∴（元），答：一臺，型華為的進價分別為元，元；（2）設購進型華為臺，則購進型華為臺，由題意可得，，∵型華為的臺數不大于型華為的臺數，且不小于臺，∴，解得：，即利潤（元）與（臺）的函數關系式為：（且為整數），∵，∴隨的增大而增大，∴當時，取得最大值，此時（元），答：當購進型、型華為分別為臺、臺時，利潤最大，最大利潤是元．題型九：一次函數和幾何問題【典例9】（2022下·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，直線與y軸交于點，與軸交于點，過點的直線與軸交于點(1)求點、、的坐標(2)在軸的右側有一點，且點到軸的距離等于，若，求點的坐標．【答案】(1)，，(2)或【分析】（1）根據坐標軸上點的坐標特征利用直線求出點、的坐標，利用過點的直線與軸交于點，求出點的坐標即可；（2）過點作平行的直線，根據一次函數的圖象直線平行，系數相等的性質，結合，得出所作直線的解析式，根據平行線之間的距離處處相等、同底等高的三角形面積相等，得出點在所作直線上，根據點到軸的距離等于，得出點的縱坐標為或，分別代入求出點的坐標即可．【詳解】（1）解：∵直線與y軸交于點，與軸交于點，∴當時，；當時，，解得：，∴，，∵過點的直線與軸交于點，∴當時，，解得：，∴；（2）解：如圖，過點作平行的直線，

∵直線與y軸交于點，與軸交于點，，∴設所作直線解析式為，把代入得：，解得：，∴所作直線解析式為，點在所作直線上時，同底等高，∵點到軸的距離等于，∴點的縱坐標為或，∴當點的縱坐標為時，，解得：；當點的縱坐標為時，，解得：，∴點的坐標為或，均在軸的右側，符合題意．【專訓91】（2023下·吉林·八年級?？计谀┤鐖D①，直線：與軸交于點，直線與軸交于點．兩直線相交于點，已知點的坐標為，點的橫坐標為．

(1)直接寫出點，的坐標；(2)求出直線的函數表達式；(3)如圖②，點是射線上任一點，過點作軸的平行線交直線于點，連接．設點的橫坐標為，的面積為．①用表示點，的坐標：，；②求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)①，；②【分析】（1）在直線中，分別令和，可求得、的坐標；（2）利用待定系數法得到直線的解析式；（3）①根據直線，直線即可用表示點、的坐標；②當時，根據，當時，，即可求解．【詳解】（1）解：在直線中，令可得，令可得，，；（2）解：設直線的解析式為，∴，解得直線的解析式為；（3）解：①點是線段上任一點，過點作軸的平行線交直線于點，設點的橫坐標為，則：，，故答案為：，；②當時，線段的長度，，與的函數關系式為．當