專題04PISA類解直角三角形問題中考題型訓(xùn)練（原卷版）

專題4PISA類解直角三角形問題中考題型訓(xùn)練1．（2022?寧夏）2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，某一時(shí)刻觀測點(diǎn)D測得返回艙底部C的仰角∠CDE＝45°，降落傘底面圓A點(diǎn)處的仰角∠ADE＝46°12′．已知半徑OA長14米，拉繩AB長50米，返回艙高度BC為2米，這時(shí)返回艙底部離地面的高度CE約為米（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin46°12′≈0.72，cos46°12′≈0.69，tan46°12′≈1.04）2．（2022?衢州）希臘數(shù)學(xué)家海倫給出了挖掘直線隧道的方法：如圖，A，B是兩側(cè)山腳的入口，從B出發(fā)任作線段BC，過C作CD⊥BC，然后依次作垂線段DE，EF，F(xiàn)G，GH，直到接近A點(diǎn)，作AJ⊥GH于點(diǎn)J．每條線段可測量，長度如圖所示．分別在BC，AJ上任選點(diǎn)M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此時(shí)點(diǎn)P，A，B，Q共線．挖隧道時(shí)始終能看見P，Q處的標(biāo)志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝km．（2）k＝．3．（2022?金華）圖1是光伏發(fā)電場景，其示意圖如圖2，EF為吸熱塔，在地平線EG上的點(diǎn)B，B′處各安裝定日鏡（介紹見圖3）．繞各中心點(diǎn)（A，A'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過中心點(diǎn)的太陽光線經(jīng)鏡面反射后到達(dá)吸熱器點(diǎn)F處．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在點(diǎn)A觀測點(diǎn)F的仰角為45°．（1）點(diǎn)F的高度EF為m．（2）設(shè)∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，則α與β的數(shù)量關(guān)系是．4．（2022?鎮(zhèn)江）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm，高為42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑AB、CD以及、組成的軸對(duì)稱圖形，直線l為對(duì)稱軸，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角∠AEC＝66°，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)E在MN上．請(qǐng)你繼續(xù)完成MN長的計(jì)算．參考數(shù)據(jù)：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．5．（2022?東營）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）6．（2022?六盤水）“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會(huì)搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點(diǎn)E處，使得A，D，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“天幕”的開合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴時(shí)打開“天幕”，若∠α＝65°，求遮陽寬度CD（結(jié)果精確到0.1m）；（2）下雨時(shí)收攏“天幕”，∠α從65°減少到45°，求點(diǎn)E下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）7．（2022?青海）隨著我國科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，科學(xué)幻想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)．如圖1是我國自主研發(fā)的某型號(hào)隱形戰(zhàn)斗機(jī)模型，全動(dòng)型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機(jī)亮點(diǎn)之一．圖2是垂尾模型的軸切面，并通過垂尾模型的外圍測得如下數(shù)據(jù)，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面積．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）8．（2022?濰坊）筒車是我國古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車輪縛以竹筒，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線AD方向?yàn)a至水渠DE，水渠DE所在直線與水面PQ平行．設(shè)筒車為⊙O，⊙O與直線PQ交于P，Q兩點(diǎn)，與直線DE交于B，C兩點(diǎn)，恰有AD2＝BD?CD，連接AB，AC．（1）求證：AD為⊙O的切線；（2）筒車的半徑為3m，AC＝BC，∠C＝30°．當(dāng)水面上升，A，O，Q三點(diǎn)恰好共線時(shí)，求筒車在水面下的最大深度（精確到0.1m，參考值：≈1.4，≈1.7）．9．（2022?吉林）動(dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械．圖①是一輛動(dòng)感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A，B，C在同一直線上．已知BC長為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）10．（2022?常德）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽(yù)，激起了國人對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖1），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成．圖2是其示意圖，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳臺(tái)的跨度FG＝7米，頂端E到BD的距離為40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)A距地面BD的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）11．（2022?婁底）“體育承載著國家強(qiáng)盛、民族振興的夢想”．墩墩使用握力器（如實(shí)物圖所示）鍛煉手部肌肉．如圖，握力器彈簧的一端固定在點(diǎn)P處，在無外力作用下，彈簧的長度為3cm，即PQ＝3cm．開始訓(xùn)練時(shí)，將彈簧的端點(diǎn)Q調(diào)在點(diǎn)B處，此時(shí)彈簧長PB＝4cm，彈力大小是100N，經(jīng)過一段時(shí)間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強(qiáng)度，于是將彈簧端點(diǎn)Q調(diào)到點(diǎn)C處，使彈力大小變?yōu)?00N，已知∠PBC＝120°，求BC的長．注：彈簧的彈力與形變成正比，即F＝k?Δx，k是勁度系數(shù)，Δx是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈簧的長度為x0，在外力作用下，彈簧的長度為x，則Δx＝x﹣x0．12．（2022?江西）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點(diǎn)G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）13．（2022?寧波）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮（最長可伸至20m），且可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離BD為9m．（1）若∠ABD＝53°，求此時(shí)云梯AB的長．（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問在該消防車不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）14．（2022?紹興）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”），當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米．（1）求∠BAD的度數(shù)．（2）求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）15．（2022?成都）2022年6月6日是第27個(gè)全國“愛眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角∠AOB＝150°時(shí)，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為10cm，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角∠A'OB＝108°時(shí)（點(diǎn)A'是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想．求此時(shí)頂部邊緣A'處離桌面的高度A'D的長．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）16．（2022?鹽城）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD＝6m．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；（2）求OD長．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）1．（2022?鹿城區(qū)二模）消防云梯如圖所示，AB⊥BC于B，當(dāng)C點(diǎn)剛好在A點(diǎn)的正上方時(shí)，DF的長是（）A．a(chǎn)cosθ+bsinθ B．a(chǎn)cosθ+btanθ C． D．2．（2023?橋西區(qū)模擬）如圖是某型號(hào)機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB，BC為機(jī)械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°，機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD＝6m．（1）∠ABC的補(bǔ)角度數(shù)是°；（2）點(diǎn)A到直線BC的距離約是m；（3）OD的長約是m．（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）3．（2023?金華模擬）如圖是一個(gè)矩形足球球場，AB為球門，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝a米．某球員沿CD帶球向球門AB進(jìn)攻，在Q處準(zhǔn)備射門．已知BD＝3a米，QD＝3a米，則tan∠AQB＝；已知對(duì)方門將伸開雙臂后，可成功防守的范圍大約為0.5a米；此時(shí)門將站在張角∠AQB內(nèi)，雙臂伸開MN且垂直于AQ進(jìn)行防守，MN中點(diǎn)與AB距離米時(shí)，剛好能成功防守．4．（2023?金華模擬）如圖1是一款重型訂書機(jī)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，其主體部分為矩形EFGH，由支撐桿CD垂直固定于底座AB上，且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．壓桿MN與伸縮片PG連接，點(diǎn)M在HG上，MN可繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，PG⊥BC，DF＝8厘米，不使用時(shí)，EF∥AB，G是PF中點(diǎn)，tan∠PMG＝，且點(diǎn)D在NM的延長線上，則GF的長為厘米；使用時(shí)如圖3，按壓MN使得MN∥AB，此時(shí)點(diǎn)F落在AB上，若CD＝2厘米，則壓桿MN到底座AB的距離為厘米．5．（2022?婺城區(qū)模擬）長嘴壺茶藝表演是一項(xiàng)深受群眾喜愛的民俗文化，是我國茶文化的一部分，所用到的長嘴壺更是歷史悠久，源遠(yuǎn)流長．圖①是現(xiàn)今使用的某款長嘴壺放置在水平桌面上的照片，圖②是其抽象示意圖，l是水平桌面，測得壺身AD＝BC＝3AE＝24cm，AB＝30cm，CD＝22cm，且CD∥AB．壺嘴EF＝80cm，∠FED＝70°．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.6；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）FE與水平桌面l的夾角為．（2）如圖③，若長嘴壺中裝有若干茶水，繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)壺身，當(dāng)恰好倒出茶水時(shí)，EF∥l，此時(shí)點(diǎn)F下落的高度為cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）．6．（2023?鄞州區(qū)校級(jí)一模）某種落地?zé)羧鐖D1所示，AB為立桿，其高為70cm，BC為支桿，它可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其中BC長為50cm，DE為懸桿，支桿BC與懸桿DE之間的夾角∠BCD為60°．（1）如圖2，當(dāng)支桿BC與地面垂直，且燈泡懸掛點(diǎn)D距離地面的高度為100cm，求CD的長；（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，如圖3，求此時(shí)燈泡懸掛點(diǎn)D到地面的距離．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）7．（2023?澤州縣一模）便捷的交通為經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了更好的保障，橋梁作為公路的咽喉，左右著公路的生命．通過對(duì)橋梁的試驗(yàn)監(jiān)測，可以了解其使用性能和承載能力，同時(shí)也為橋梁的養(yǎng)護(hù)、加固和安全使用提供可靠的資料．某綜合與實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其自制的橋梁模型的承重開展了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動(dòng)，如表是此活動(dòng)的設(shè)計(jì)方案．項(xiàng)目主題橋梁模型的承重試驗(yàn)活動(dòng)目標(biāo)經(jīng)歷項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的全過程，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)問題當(dāng)橋梁模型發(fā)生不同程度的形變時(shí)，水桶下降的高度方案設(shè)計(jì)工具橋梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、繩子、掛鉤等實(shí)物圖展示示意圖狀態(tài)一（空水桶）狀態(tài)二（水桶內(nèi)加一定量的水）說明：C為AB的中點(diǎn)……請(qǐng)你參與該項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動(dòng)，并完成下列問題：（1）該綜合與實(shí)踐活動(dòng)小組在設(shè)計(jì)橋梁模型時(shí)，選用了三角形結(jié)構(gòu)作為設(shè)計(jì)單元，這樣設(shè)計(jì)依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是．A．三角形具有穩(wěn)定性B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩點(diǎn)之間線段最短（2）在水桶內(nèi)加入一定量的水后，橋梁發(fā)生了如圖2所示的形變．若其他因素忽略不計(jì)，測得CD＝30cm，∠C'AC＝12°，∠C'AD＝45°，請(qǐng)計(jì)算此時(shí)水桶下降的高度CC'．（參考數(shù)據(jù)：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2）8．（2023?沛縣模擬）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校門口安裝一款紅外線體溫檢測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射的能量對(duì)進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速體溫檢測，無需人員停留和接觸．如圖所示，BF是水平地面，其中EF是測溫區(qū)域，測溫儀安裝在校門AB上的點(diǎn)A處，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．（1）∠ACG＝度，∠ADG＝度．（2）學(xué)生DF身高1.5米，當(dāng)攝像頭安裝高度BA＝3.5米時(shí)，求出圖中BF的長度；（結(jié)果保留根號(hào)）（3）為了達(dá)到良好的檢測效果，測溫區(qū)EF的長不低于3米，請(qǐng)計(jì)算得出設(shè)備的最低安裝高度BA是多少？（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）9．（2023春?金水區(qū)校級(jí)月考）某校安裝了紅外線體溫檢測儀（如圖1），該設(shè)備通過探測人體紅外輻射能量對(duì)進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測溫，其紅外線探測點(diǎn)O可以在垂直于地面的支桿OP上下調(diào)節(jié)（如圖2），探測最大角（∠OBC）為58°，探測最小角（∠OAC）為26.6°，已知該設(shè)備在支桿OP上下調(diào)節(jié)時(shí)，探測最大角及最小角始終保持不變．若要求測溫區(qū)域的寬度AB為2.53米，請(qǐng)你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度OC．（結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）10．（2