專題36相似三角形旋轉型-初中數(shù)學模型與解題方法專題訓練（原卷版）

36相似三角形旋轉型一、單選題1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對折，使點C落在C′的位置，C′D交AB于點Q，則的值為（）A． B． C． D．2．如圖，正方形中，點是邊上一點，連接，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點，連接．以下四個結論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（）A．個 B．個 C．個 D．個3．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連接DF，給出下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題4．已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結AG，CE交于點H，若，，則CH的長為.5．如圖，在△ABC中，AB＝5，D為邊AB上－動點，以CD為一邊作正方形CDEF，當點D從點B運動到點A時，點E運動的路徑長為．6．如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連接AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與AC相交于點H，連接DG．以下四個結論：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正確的是．（寫出所有正確結論的序號）三、解答題7．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，D為邊上一點（不與點B、C重合）將線段繞點A順時針旋轉90°得到，連接，則線段與的數(shù)量關系是，位置關系是；【探究證明】（2）如圖2，在和中，將繞點A旋轉，當點C，D，E在同一直線時，與具有怎樣的位置關系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，將繞順時針旋轉，點C對應點E，設旋轉角為（），當點C，D，E在同一直線時，畫出圖形，并求出線段的長度．8．在同一平面內，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點，．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合．【探究】求證：．【應用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．9．如圖，已知點在內，，，，．（1）當時，求證：；（2）當時，求的值．10．已知中點分別在邊、邊上，連接點、點在直線同側，連接且．（1）點與點重合時，①如圖1，時，和的數(shù)量關系是；位置關系是；

②如圖2，時，猜想和的關系，并說明理由；（2）時，③如圖3，時，若求的長度；④如圖4，時，點分別為和的中點，若，直接寫出的最小值．11．某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，中，，．點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰，且，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關系是______；(2)變式探究：如圖2，中，，．點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關系，并說明理由；(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點P是邊BC上一點，以DP為邊作正方形DPEF，點Q是正方形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為，，求正方形ABCD的邊長．12．在中，，，點P是平面內不與點A，C重合的任意一點，連接，將線段繞點P逆時針旋轉α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當時，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當時，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．13．如圖1，在中，，在斜邊上取一點D，過點D作，交于點E．現(xiàn)將繞點A旋轉一定角度到如圖2所示的位置（點D在的內部），使得．（1）①求證：；②若，求的長；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設，，試探究三者之間滿足的等量關系．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）14．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P是△ABC外一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當α＝60°時，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當α＝90°時，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應用：（3）如圖3，當α＝90°時，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，點P在線段FE的延長線上，點A，D，P三點在一條直線上，BD交PF于點G，CD交AB于點H.若CD＝2＋，求BD的長．15．在和中，，，且，點E在的內部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當時，線段BD與CE的數(shù)量關系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當時，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；【拓展應用】（3）在（2）的條件下，當點E在線段CD上時，若，請直接寫出的面積．16．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉，旋轉角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關系并說明理由．（3）當α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點D到CP的距離．17．點為的斜邊上一點，點在上，連結，，且，交的延長線于點，連結．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，當點在上運動時，求證：．18．幾何探究：【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點的等邊三角形，BD、CE的關系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請直接寫出答案）【類比探究】（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點的含有角的直角三角形，（1）中的結論還成立嗎?請說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點且相似比為1:2的兩個等腰直角三角形，將△ADE繞點A自由旋轉，若，當B、D、E三點共線時，直接寫出BD的長．19．問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應用：如圖（2），在和中，，，與相交于點．點在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內一點，，，，，直接寫出的長．20．一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點A按順時針方向旋轉（如圖2），試問當與的大小滿足怎樣的關系時，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．21．觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關系，并說明理由．22．

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．23．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當C、D、E共線時，AD的延長線AF⊥BC交BC于點F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點F，若點F是BC的中點，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程．24．在，，．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．25．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C為頂點作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，連接BN，射線NM交BC于點D．（1）如圖1，