2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（湘教版）第四章 相交線與平行線（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第四章相交線與平行線（知識(shí)歸納+題型突破）1、理解對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對(duì)頂角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的補(bǔ)角相等的性質(zhì)．2、理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線．3、能用尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線．4、掌握基本事實(shí)：同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．5、理解點(diǎn)到直線的距離的意義，能度量點(diǎn)到直線的距離.6、識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角.7、理解平行線的概念.8、掌握平行線基本事實(shí)I：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.9、掌握平行線基本事實(shí)Ⅱ：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.10、探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等（或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），那么這兩條直線平行.11、掌握平行線的性質(zhì)定理I：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.12、探索并證明平行線的性質(zhì)定理Ⅱ：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等（或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）.13、能用三角板和直尺過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線.14、能用尺規(guī)作圖：過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線.15、了解平行于同一條直線的兩條直線平行.一、知識(shí)框架二、知識(shí)概念1.鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。2.對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，像這樣的兩個(gè)角互為對(duì)頂角。3.垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。4.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。5.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角：兩條直線被第三條直線所截所形成的八個(gè)角中，有四對(duì)同位角，兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，兩對(duì)同旁?xún)?nèi)角。同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角。內(nèi)錯(cuò)角：∠4與∠6像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。同旁?xún)?nèi)角：∠4與∠5像這樣的一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角。6.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題。7.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移平移變換，簡(jiǎn)稱(chēng)平移。8.對(duì)應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。9.定理與性質(zhì)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。10垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。11.平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。12.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。13.平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。判定3：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。題型一平面上兩條直線的位置關(guān)系【例1】（23-24七年級(jí)上·山東聊城·期中）平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】題目主要考查相交線，理解題意，掌握相交線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，三條直線兩兩相交時(shí)將平面分為7部分，故選C．【例2】平面內(nèi)兩兩相交的條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè)，則等于（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】先求出m、n的值，再代入求解．【詳解】解：平面內(nèi)兩兩相交的3條直線，它們最多有3個(gè)交點(diǎn)，最少有1個(gè)交點(diǎn)，∴m=3，n=1∴m+n=4，故選A.【例3】（23-24七年級(jí)下·貴州黔東南·階段練習(xí)）如圖所示，直線和相交于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是對(duì)頂角的性質(zhì)，利用對(duì)頂角相等可得答案．【詳解】解：∵，∴，故選B【例4】（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，直線，被直線和所截，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角C．與是同旁?xún)?nèi)角 D．，，互為鄰補(bǔ)角【答案】D【分析】根據(jù)同位角，同旁?xún)?nèi)角，內(nèi)錯(cuò)角以及鄰補(bǔ)角的定義，掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.與是同位角，選項(xiàng)正確，不符合題意；

B.與是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)正確，不符合題意；

C.與是同旁?xún)?nèi)角，選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.，，不互為鄰補(bǔ)角，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．

故選：D．鞏固訓(xùn)練：1．如下圖，在一張白紙上畫(huà)條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（1）），畫(huà)條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（2）），畫(huà)條直線，最多能把白紙分成部分（如圖（3）），......，當(dāng)在一張白紙上畫(huà)條直線，最多能把白紙分成（）A．部分 B．部分 C．部分 D．部分【答案】D【分析】首先根據(jù)題意總結(jié)出畫(huà)條直線，最多能把這張紙分成塊，然后當(dāng)時(shí)，代入即可.【詳解】畫(huà)1條直線，最多能把這張紙分成1+1=2塊；畫(huà)2條直線，最多能把這張紙分成1+1+2=4塊；畫(huà)3條直線，最多能把這張紙分成1+1+2+3=7塊；畫(huà)條直線，最多能把這張紙分成塊；則畫(huà)條直線，最多能把白紙分成塊；故答案為D.2．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)光線從空氣中射入水中時(shí)，光線的傳播方向發(fā)生了變化，這種現(xiàn)象叫做光的折射．如圖，直線與相交于點(diǎn)，一束光線沿射入水面，在點(diǎn)處發(fā)生折射，沿射入水中，如果，，那么光的傳播方向改變了（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角相等得出，再求出的度數(shù)即可得解．【詳解】解：，與是對(duì)頂角，．，，光的傳播方向改變了．故選：C．3．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．與是鄰補(bǔ)角 B．與是同位角C．與是內(nèi)錯(cuò)角 D．與是同旁?xún)?nèi)角【答案】C【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的定義，根據(jù)鄰補(bǔ)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的定義逐項(xiàng)分析即可求解．【詳解】解：A、兩個(gè)角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角；故與是鄰補(bǔ)角；A選項(xiàng)不符合題意；B、兩條直線，被第三條直線所截，在截線的同旁，且在被截兩直線，的同一側(cè)的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱(chēng)為同位角；故與是同位角；B選項(xiàng)不符合題意；C、兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；故與不是內(nèi)錯(cuò)角；C選項(xiàng)符合題意；D、兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，叫做同旁?xún)?nèi)；故與是同旁?xún)?nèi)角；D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．4．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，的同位角有（）A． B．或 C．或 D．或或【答案】B【分析】本題考查了同位角，根據(jù)同位角的定義，即可得到答案．【詳解】解：由圖形可知，的同位角有或，故選：B．5．（2024·廣東佛山·一模）兩條直線被第三條直線所截，形成了常說(shuō)的“三線八角”，為了便于記憶，同學(xué)們可用雙手表示“三線八角”（兩大拇指代表被截直線，兩只食指在同一直線上代表截線），如圖，它們構(gòu)成的一對(duì)角可以看成（

）A．同位角 B．同旁?xún)?nèi)角 C．內(nèi)錯(cuò)角 D．對(duì)頂角【答案】A【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的識(shí)別，兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱(chēng)為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁?xún)?nèi)角，據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念，可知它們構(gòu)成的一對(duì)角可以看成是同位角，故選：A．6．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，三條直線兩兩相交，與是角，與是角，與是角．【答案】鄰補(bǔ)內(nèi)錯(cuò)同位【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角、同位角以及內(nèi)錯(cuò)角的定義，根據(jù)相關(guān)定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】解：由圖可知：與是鄰補(bǔ)角，與是內(nèi)錯(cuò)角，與是同位角，故答案為：①鄰補(bǔ)；②內(nèi)錯(cuò)；③同位7．（23-24七年級(jí)下·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O，若，則度．【答案】160【分析】本題考查了對(duì)頂角相等以及領(lǐng)補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)，先由對(duì)頂角相等，得出，再根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)，列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵，且為對(duì)頂角∴∵∴故答案為：1608．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）若一個(gè)角的鄰補(bǔ)角等于它的對(duì)頂角，則這個(gè)角的度數(shù)為度．【答案】【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論即可．設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為度，則其鄰補(bǔ)角為：度，對(duì)頂角為度，據(jù)此即可列方程求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為度，則其鄰補(bǔ)角為：度，對(duì)頂角為度，故：，解得：故答案為：．9．（23-24七年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，已知直線相交于點(diǎn)O，射線把分成兩部分．（1）寫(xiě)出圖中的對(duì)頂角，的補(bǔ)角是；（2）已知，且，則的度數(shù)為．【答案】///度【分析】本題主要考查了補(bǔ)角，對(duì)頂角的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算：（1）根據(jù)補(bǔ)角和對(duì)頂角的定義求解即可；（2）先求出，再由平角的定義即可求出答案．【詳解】解：（1）的對(duì)頂角是；的補(bǔ)角是，故答案為：；；（2）∵，且，∴，∴，故答案為：．10．（22-23七年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）問(wèn)題：我們知道平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有兩種：相交、平行，那在同一平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系又如何？現(xiàn)準(zhǔn)備研究在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的條直線產(chǎn)生的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況．（是不小于3的正整數(shù)）(1)【初探】當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有________個(gè)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有________個(gè)；(2)【再探】當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有________個(gè)；(3)【歸納】請(qǐng)你求出在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的條直線最多能產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)；(4)【運(yùn)用】在同一平面內(nèi)，有且僅有兩條直線平行的12條直線最多能產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，圖中共有多少對(duì)對(duì)頂角？【答案】(1)2；3或5(2)9(3)(4)65；130對(duì)【分析】（1）按要求畫(huà)出圖形，數(shù)一數(shù)即可；（2）按要求畫(huà)出圖形，數(shù)一數(shù)即可；（3）由（1）（2）的圖及結(jié)果，按照不重不漏的原則，分別找出取、、、等最多交點(diǎn)數(shù)與之間的關(guān)系，即可求解；（4）代入（3）的代數(shù)式求解即可，根據(jù)對(duì)頂角的定義，可知每?jī)蓷l直線相交的一個(gè)交點(diǎn)處有兩對(duì)對(duì)頂角，從而可求．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，如圖：故答案：．當(dāng)時(shí)，如圖故答案：3或5．（2）解：當(dāng)時(shí)，如圖故答案：．（3）解：由（1）（2）得：當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多：；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多：；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多：；．．．．．．條直線時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多：

故答案：．（4）解：當(dāng)時(shí)，，．答：有且僅有兩條直線平行的12條直線最多能產(chǎn)生65個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)共有130對(duì)對(duì)頂角．11．（23-24七年級(jí)下·貴州黔東南·階段練習(xí)）觀察以下圖形，尋找對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角．

(1)圖（1）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(2)圖（2）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(3)圖（3）中共有對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(4)根據(jù)上面的規(guī)律，直線條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)之間的關(guān)系為∶若n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．(5)若100條直線相交于一點(diǎn)，則可形成多少對(duì)對(duì)頂角？多少對(duì)鄰補(bǔ)角？【答案】(1)2，4(2)6，12(3)12，24(4)(5)可形成9900對(duì)對(duì)頂角；19800對(duì)鄰補(bǔ)角【分析】本題考查有規(guī)律性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵是由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律．由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律即可求解．（1）根據(jù)圖形直接得出答案即可；（2）根據(jù)圖形直接得出答案即可；（3）根據(jù)圖形直接得出答案即可；（4）由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律；（5）再由（4）得出的規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）圖①中共有2對(duì)對(duì)頂角，4對(duì)鄰補(bǔ)角，故答案為：2，4；（2）圖②中共有6對(duì)對(duì)頂角，12對(duì)鄰補(bǔ)角，故答案為：6，12；（3）圖③中共有12對(duì)對(duì)頂角，24對(duì)鄰補(bǔ)角，故答案為：12，24；（4）根據(jù)上面的規(guī)律，直線條數(shù)與對(duì)頂角對(duì)數(shù)之間的關(guān)系為：若有條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對(duì)對(duì)頂角．對(duì)鄰補(bǔ)角，故答案為：，；（5）若100條直線相交于一點(diǎn)，則可形成9900對(duì)對(duì)頂角，19800對(duì)鄰補(bǔ)角，題型二平移【例1】（2024七年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示的圖案分別是奔馳、奧迪、大眾、三菱汽車(chē)的車(chē)標(biāo)，其中，可以看作由“基本圖案”經(jīng)過(guò)平移得到的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了圖形的平移，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大?。鶕?jù)平移不改變圖形的形狀和大小，將題中所示的圖案通過(guò)平移后可以得到的圖案是B．【詳解】解：A、圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒(méi)變化，不是平移變換，故不符合題意；B、圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，故符合題意；C、圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒(méi)變化，不是平移變換，故不符合題意；D、圖形的平移只改變圖形的位置，圖形位置沒(méi)變化，不是平移變換，故不符合題意．故選：B．【例2】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，將沿方向平移得到，若的周長(zhǎng)為，則四邊形的周長(zhǎng)為．【答案】/20厘米【分析】本題考查了平移的性質(zhì)．先根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，而，則四邊形的周長(zhǎng)，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：沿方向平移得到，，，的周長(zhǎng)為，，四邊形的周長(zhǎng)．故答案為：．【例3】（23-24七年級(jí)下·河南·階段練習(xí)）如圖，三角形的邊長(zhǎng)為，將三角形向右平移得到三角形，已知四邊形為長(zhǎng)方形，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了長(zhǎng)方形的面積公式和平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．根據(jù)平移的性質(zhì)得出陰影部分的面積等于長(zhǎng)方形的面積解答即可．【詳解】解：由平移可知，的面積等于的面積，三角形向右平移得到三角形又長(zhǎng)為，∴陰影部分的面積等于長(zhǎng)方形的面積，故選D．【例4】（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）某公園內(nèi)有一長(zhǎng)方形花壇，想在花壇內(nèi)修筑同樣寬的兩條小路（陰影部分）供游客賞花，現(xiàn)有如圖所示甲、乙兩種設(shè)計(jì)方案（兩種方案中小路寬度一樣），則關(guān)于兩種設(shè)計(jì)方案中的小路，以下說(shuō)法正確的是（

）A．面積相等，周長(zhǎng)不相等 B．面積不相等，周長(zhǎng)相等C．面積和周長(zhǎng)都相等 D．面積和周長(zhǎng)都不相等【答案】C【分析】本題考查了生活中的平移，利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形是解題的關(guān)鍵，將甲不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形即可求解．【詳解】解：將甲中部分小路平移，如圖：則甲乙種設(shè)計(jì)方案中的小路面積和周長(zhǎng)都相等，故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，直徑為4的第一個(gè)圓向右平移得到第二個(gè)圓，若圖中陰影部分的周長(zhǎng)為，則平移的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平移的性質(zhì)，圓的周長(zhǎng)，設(shè)平移距離為，根據(jù)題意，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)平移距離為，由題意，得：，∴，故選A．2．（23-24七年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)直角三角形重疊在一起，將其中一個(gè)沿點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到的位置，，，，平移距離為12，則陰影部分的面積（

）A．160 B．168 C．180 D．192【答案】D【分析】本題考查平移的性質(zhì)，先判斷出陰影部分面積等于梯形的面積，再根據(jù)平移變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得，然后求出，根據(jù)平移的距離求出，然后利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，，，，陰影部分的面積，平移距離為12，，，，，，陰影部分的面積為：，

故選：D．3．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，把沿直線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則四邊形的面積是（

）

A．22 B．18 C．15 D．24【答案】C【分析】本題主要考查圖形平移的性質(zhì)，勾股定理，幾何圖形面積的計(jì)算，掌握平移圖形對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移可得，根據(jù)勾股定理可求出的值，最后根據(jù)梯形的面積的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：∵把沿直線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，∴，,在中，∵，∴，∵，∴四邊形是梯形，∴四邊形的面積，故選：C．4．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·期末）如圖，將沿方向平移到，若A，D之間的距離為2，，則等于（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，再根據(jù)線段之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得，∵，∴，故選：B．5．（2024七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，將直角三角形沿著射線方向平移，得三角形，已知，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，由平移可得，，再求出矩形的面積和的面積，相減即可求解，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由平移可得，，∵的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為，故選：．6．（23-24七年級(jí)下·江西上饒·階段練習(xí)）如圖，把一個(gè)三角形紙板的一邊緊靠數(shù)軸平移，則點(diǎn)平移的距離為．【答案】5【分析】本題考查數(shù)軸、平移的性質(zhì)，平移過(guò)程中圖形上所有的點(diǎn)發(fā)生相同的平移，即所有的點(diǎn)的平移方向和平移的距離都相同．將點(diǎn)的平移距離轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點(diǎn)平移到點(diǎn)4的距離，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離即可求解．【詳解】解：三角形紙板緊靠數(shù)軸平移過(guò)程中，∵點(diǎn)平移到點(diǎn)4，平移距離為，∴點(diǎn)平移的距離也為5，即．故答案為：5．7．（22-23七年級(jí)下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，是一塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地，米，米，從兩處入口的小路都為1米，兩小路匯合處路寬為2米，其余部分種植草坪，則草坪面積為米．【答案】【分析】此題考查了生活中的平移，根據(jù)圖形得出草坪正好可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形是解題關(guān)鍵．根據(jù)已知將道路平移，再利用矩形的性質(zhì)求出長(zhǎng)和寬，再進(jìn)行解答．【詳解】解：由圖可知：矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一個(gè)新的矩形，寬為米．所以草坪的面積應(yīng)該是長(zhǎng)寬（米）．故答案為：．8．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，原來(lái)是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)三角形沿著方向平移線段的距離，就得到此圖形，陰影部分面積為．【答案】【分析】主要考查平移的性質(zhì)及圖形的面積，理解題意，掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)平移的性質(zhì)可判斷，，求出，根據(jù)平移得出，說(shuō)明，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)平移可知，，，∴，∵原來(lái)是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)三角形沿著方向平移線段的距離，就得到此圖形，∴，∴，∴，故答案為：．9．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖所示，三角形的邊在數(shù)軸上，，將三角形沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向平移至三角形的位置(1)和的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；度；(2)若點(diǎn)D表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為0，點(diǎn)C表示的數(shù)為4①求點(diǎn)F表示的數(shù)；②若，求四邊形的周長(zhǎng)【答案】(1)，90(2)①點(diǎn)F表示的數(shù)是，②四邊形的周長(zhǎng)【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到對(duì)應(yīng)邊平行且相等，即可解決；（2）①根據(jù)平移性質(zhì)得出，即可求出結(jié)論；②根據(jù)平移性質(zhì)求出，進(jìn)而求出結(jié)論．【詳解】（1）解：由平移得：，，，，故答案為：，90；（2）①點(diǎn)D表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為0，，根據(jù)平移性質(zhì)得：，點(diǎn)C表示的數(shù)為4，點(diǎn)F表示的數(shù)是；②根據(jù)平移性質(zhì)得：，，四邊形的周長(zhǎng)．10．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是由沿箭頭方向平移得到的．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)若，求，的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平移前后對(duì)應(yīng)角相等，得出結(jié)果即可；（2）根據(jù)平移前后對(duì)應(yīng)線段相等，即可得出答案；（3）根據(jù)平移性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：∵是由沿箭頭方向平移得到的，∴點(diǎn)E與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)F與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，點(diǎn)G與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，∴，，，∵，∴．（2）解：∵，∴．（3）解：∵，∴．題型三平行線的性質(zhì)與判定【例1】（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查鄰補(bǔ)角和平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出，再結(jié)合鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：C．【例2】（22-23八年級(jí)上·貴州六盤(pán)水·期末）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】主要考查了平行線的性質(zhì)和互余的兩個(gè)角的性質(zhì)．互為余角的兩角的和為，本題主要利用兩直線平行，同位角相等及余角的定義作答，解此題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的從圖中找出這兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：如圖：根據(jù)題意可知，，∵，∴，∴，故選：．【例3】（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，有直線，已知，，，，…，按此規(guī)律下去，若，則的值可以是（）A．42 B．47 C．63 D．85【答案】D【分析】本題考查平面內(nèi)直線位置關(guān)系中的規(guī)律探究，根據(jù)題意，得到（為自然數(shù)），，，，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，，，…，∴∴從直線開(kāi)始每條直線與的位置關(guān)系依次：兩條與垂直，兩條與平行，再兩條與垂直，兩條與平行，…，即每?jī)蓷l變化一次位置關(guān)系，4條一個(gè)循環(huán)，∴（為自然數(shù)），，，，因?yàn)椋?，，，∴若，則的值可以是85，故選D．【例4】（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）根據(jù)解答過(guò)程填空（理由或數(shù)學(xué)式）已知：如圖，平分交于點(diǎn)，求證：．證明：（已知），（______），（______），平分（已知），（______），（等量代換），（已知），（等量代換），（______），（______）．【答案】同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，結(jié)合角平分線的定義即可證得，結(jié)合已知可證得，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出，從而得到．【詳解】證明：（已知），（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），平分（已知），（角平分線的定義），（等量代換），（已知），（等量代換），（同位角相等，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等）．【例5】（23-24七年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)定理和判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)，，得到，，進(jìn)而得出，又根據(jù)，得到，最后根據(jù)平角的定義可求出的度數(shù)，從而可求得的度數(shù)．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·山東青島·期末）如圖：，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義．由角平分線定義得到，由平行線的性質(zhì)得到，，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：平分，，∵，，，，．故選：C．2．（22-23七年級(jí)下·江蘇南通·期末）如圖，在中，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且直線∥MN，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到，由三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．由，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到．【詳解】解：如圖，，，，．故選：D3．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中，，．若，則的度數(shù)為．【答案】/105度【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)C作，則有，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作，如圖所示：∵，∴，∵，，∴，，∴．故答案為：．4．（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·期末）如圖所示，已知，直線分別交于E、F兩點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)G．若，則度．【答案】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)頂角相等，可得，根據(jù)兩直線平行、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，可得，根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，，，，，平分，，，，，故答案為：116．5．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期末）將一個(gè)含有角的直角三角板如圖所示放置，其中一個(gè)角的頂點(diǎn)落在直線上，含角的頂點(diǎn)落在直線上．若，，則的度數(shù)為．【答案】100°【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)得到，根據(jù)求出即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．6．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）一桿古秤在稱(chēng)物體時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知，則的度數(shù)是．

【答案】/75度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)∶兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到，由的度數(shù)求出的度數(shù)，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：如圖，

由題意得：，，，，，故答案為：．7．（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過(guò)，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則是度．【答案】160【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)與輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．首先過(guò)點(diǎn)B作，又由已知，即可得，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，即可求得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作，由已知可得：，∴，∴，，∴，∴．故答案為：1608．（23-24七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，直線，且分別與直線交于，兩點(diǎn)，把一塊含角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若，則．

【答案】52°/52度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記平行線的性質(zhì)．先根據(jù)平角的定義求出∠4的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：由已知可得，，∵，∴，∵∴．故答案為：52°．

9．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，直線被直線所截，添加一個(gè)條件，使．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了平行線的判定，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵，根據(jù)平行線的判定定理分析即可得解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：（答案不唯一）10．（23-24七年級(jí)下·江蘇·周測(cè)）如圖，，，，求和的度數(shù)．

【答案】，【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)；由平行線的性質(zhì)得，，即可求解；掌握平行線的性質(zhì)：“兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，故：，．11．（23-24七年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）如圖，已知，求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行于同一條直線的兩條直線平行是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行，同位角相等直線平行得到、，然后根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，，，．12．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，證得即可求證．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴．13．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)，有2024條互不重合的直線，若，，以此類(lèi)推，試判斷和的位置關(guān)系．【答案】，理由見(jiàn)解析【分析】首先根據(jù)題意判斷與的關(guān)系，即可得到規(guī)律：，四個(gè)一循環(huán)，再求2024與4的商，即可求得和的位置關(guān)系．此題考查了平行線與垂線的關(guān)系．注意找到規(guī)律：，四個(gè)一循環(huán)，是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，理由如下：∵，∴∵，∴l(xiāng)1∥l4．∵．∴．∵，∴∵，∴∴可得規(guī)律為，∴，，……，，……．∵，∴．14．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，，．求證：．證明：（

），又，（

），（

），（

），又，，（

）．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角相等；掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．結(jié)合平行線的性質(zhì)，判定定理證明即可．【詳解】證明：（對(duì)頂角相等），又，（等量代換），（同位角相等，兩直線平行），（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），又，，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定探究角的度數(shù)與關(guān)系【例1】（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．已知兩直線，，且，直角三角尺中，，．圖1

圖2

圖3(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，當(dāng)三角尺的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，若，則______；(2)【探索證明】如圖2，當(dāng)三角尺的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出與間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，把三角尺的頂點(diǎn)放在直線上且保持不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)三角尺，點(diǎn)始終在直線（為直線上一點(diǎn)）的上方，若存在（），請(qǐng)直接寫(xiě)出射線與直線所夾銳角的度數(shù)．【答案】(1)35(2)理由見(jiàn)解析(3)或【分析】本題考查了含三角板的角度計(jì)算，角度的和差計(jì)算，平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)C作，通過(guò)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可求得，結(jié)合題意即可求出結(jié)果；（2）過(guò)點(diǎn)作，可知，，求出的度數(shù)，結(jié)合平行線性質(zhì)以及平角的定義得，即可求出最后結(jié)果；（3）依題意可分為以下兩種情況：①當(dāng)在直線的上方時(shí)，②當(dāng)在直線的下方時(shí)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，，，，，，，，，故答案為：35；（2）（或）．理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)作．圖1，，，，，，，，；（3）根據(jù)題意，有兩種情況：①當(dāng)在直線的上方時(shí)，如下圖：，，，設(shè)，則，點(diǎn)放在直線上且保持不動(dòng)，，，解得：，，，，；②當(dāng)在直線的下方時(shí)，如下圖：，，，設(shè)，則，，點(diǎn)放在直線上且保持不動(dòng)，，，解得：，，，，．綜上所述，射線與直線所夾銳角的度數(shù)為或．【例2】（23-24七年級(jí)上·四川遂寧·期末）如圖，直線，直線與分別交于點(diǎn)G，H，．小明將一個(gè)直角三角形按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線上，且在點(diǎn)C、H的右側(cè)，．(1)填空：度；(2)若的平分線交直線于點(diǎn)O，如圖②．①當(dāng)時(shí)，求α的度數(shù)；②小明將三角形沿直線左右移動(dòng)，保持，點(diǎn)N、M分別在直線和直線上移動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含α的式子表示）．【答案】(1)90(2)①；②或【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)P點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可求解；（2）①由平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合角平分線的定義可得，再利用平行線的性質(zhì)可求解；②可分兩種情況：點(diǎn)N在G的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)N在G的左側(cè)時(shí)，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義計(jì)算可求解．【詳解】（1）過(guò)P點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：（或）；（2）①∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；②點(diǎn)N在G的右側(cè)時(shí)，如圖②，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；點(diǎn)N在G的左側(cè)時(shí)，如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，綜上所述，的度數(shù)為或．【例3】（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）如圖，已知為直線上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上（在的右側(cè)）且滿足在外部且平分交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若射線上有一點(diǎn)滿足，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若，射線從與射線重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線從與射線重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，當(dāng)射線和射線平行時(shí)，求出的值．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角的平分線，余角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，分類(lèi)計(jì)算（1）根據(jù)，，得到，結(jié)合平分，得到，根據(jù)，得到，利用平行線的性質(zhì)計(jì)算的度數(shù)即可．（2）設(shè)，則，根據(jù)，，得到，結(jié)合平分，得到，根據(jù)，得到，利用平行線的性質(zhì)得，，根據(jù)。消去x即可得到與之間的數(shù)量關(guān)系．（3）根據(jù)，，得到，，根據(jù)題意，，，根據(jù)平行線的判定，分類(lèi)計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵,∴．（2）與之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：設(shè)，則，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，，∴．（3）∵，，，∴，，∴，，根據(jù)題意，，，如圖，當(dāng)時(shí)，，∴，解得；如圖，當(dāng)時(shí)，，∵，，∴，∴，∴，解得；如圖，當(dāng)時(shí)，，∵，，∴，∴，解得；如圖，當(dāng)時(shí)，，∵，，∴，∴，解得，舍去；綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，射線和射線平行．【例4】（23-24七年級(jí)上·浙江金華·期末）如圖，三角尺的直角頂點(diǎn)P在直線上，其中，．

(1)如圖①，若，求的度數(shù)．(2)如圖②，若，平分，求的度數(shù)．(3)在（1）的條件下，將三角尺繞點(diǎn)P以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)t秒后得到三角尺，如圖③，當(dāng)時(shí)，求t的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平角的定義和已知角求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,由平分得到，即可得到答案；（3）根據(jù)t的取值范圍分別進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2），,平分，∴，∴；（3）由得當(dāng)時(shí)，，解得，（舍）；當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得（舍）；當(dāng)時(shí)，，解得，，綜上所述，或．鞏固訓(xùn)練1．（22-23八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）（1）【感知】如圖①，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為之間一點(diǎn)，求證：．小明想到以下的方法，請(qǐng)你幫忙完成推理過(guò)程．證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)作．（已知），（_______），（_______），（等式的基本性質(zhì)），．（2）【應(yīng)用】小明同學(xué)進(jìn)行了更進(jìn)一步的思考：利用【感知】中的結(jié)論進(jìn)行證明如圖②，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，直線分別平分，且交于點(diǎn)．猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．（3）【拓展】如圖③，，直線與分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，若動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不與重合），連接和的平分線交于點(diǎn)，補(bǔ)全圖形（不必尺規(guī)作圖），請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2），證明見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析，【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行公理及推論，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)定理．（1）感知：根據(jù)平行線的性質(zhì)可以直接求解；（2）應(yīng)用：分別過(guò)作直線的平行線，將根據(jù)平行線的性質(zhì)，將表示成與相關(guān)的角，最后通過(guò)等量代換找到與的等量關(guān)系，進(jìn)而求解；（3）先根據(jù)題目要求補(bǔ)全圖形，過(guò)作，過(guò)作，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，通過(guò)等量代換找到與及之間的關(guān)系；【詳解】（1）感知：證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)P作．∵，（已知），∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴（等式性質(zhì)），∴．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）應(yīng)用：，證明：過(guò)F作，過(guò)E作；如下圖：則有，∴，∴，即，又∵、為角平分線，∴，∴，即，根據(jù)，有，，即，∴；（3）如圖所示，過(guò)作，∵，，∴，同理過(guò)作，，設(shè)平分的角分別為，∴,，∴，同理，，可得到，又∵，∴，即．2．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）【閱讀探究】（1）如圖1，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，求的度數(shù)．解：過(guò)點(diǎn)作，所以______，因?yàn)?，所以，所以______，因?yàn)?，所以．?）從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線可將和“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．進(jìn)一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．【方法應(yīng)用】（3）如圖2，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，求的度數(shù)．【應(yīng)用拓展】（4）如圖3，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，作和的平分線，交于點(diǎn)（交點(diǎn)在兩平行線之間），若，則的度數(shù)為_(kāi)_______（用含的式子表示）．【答案】（1），（2）（3）（4）【分析】本題考查平行公理的應(yīng)用，涉及平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干的推理信息可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)得到，，繼而證明；（3）過(guò)點(diǎn)作，則，由平行線的性質(zhì)得到，結(jié)合等式的性質(zhì)解答即可；（4）由角平分線的性質(zhì)解得，，過(guò)點(diǎn)作，接著由平行線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)，整理解答即可．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．（2）過(guò)點(diǎn)作，∴，∵，∴，

∴，∴，∴；（3）過(guò)點(diǎn)作，如圖2所示：∴，∵，∴，∴，∴，即∵，，∴．（4）∵、分別是和的平分線，∴，，過(guò)點(diǎn)作，如圖3所示：∵，∴，∴，，∴，同理可得：，∴，∴，∴．3．（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·期末）如圖，，點(diǎn)、分別在直線，上，為直線和之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．(1)如圖1，、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)如圖2，、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖3，，分別平分和，點(diǎn)在左側(cè)，點(diǎn)在右側(cè)．①若，求的度數(shù)．②猜想規(guī)律：與的數(shù)量關(guān)系可表示為．③如圖4，若與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，……依此類(lèi)推，則與的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)(2)(3)①；②；③【分析】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系以及角平分線的有關(guān)計(jì)算，掌握相關(guān)結(jié)論，學(xué)會(huì)舉一反三是解題關(guān)鍵．（1）作，根據(jù)、即可求解；（2）作，根據(jù)、即可求解；（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論即可求解；【詳解】（1）解：作，如圖所示：∵，∴，∴、∴、故答案為：（2）解：作，如圖所示：∵，∴，∴、∴即：故答案為：（3）解：作，，如圖所示：∵，∴，若，由（1）可得：∴∵，分別平分和，∴由（2）可得：即：∴由（1）可得：∴∵，分別平分和，∴由（2）可得：即：∴故答案為：由②得：∵與的角平分線交于點(diǎn)，∴…依此類(lèi)推：，，….,∴故答案為：4．（23-24八年級(jí)上·山西運(yùn)城·期末）已知，直線，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接與．(1)如圖1，點(diǎn)P在直線，之間，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)P在直線，之間，與的角平分線相交于點(diǎn)K，寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，點(diǎn)P落在外．①直接寫(xiě)出、、的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．②與的角平分線相交于點(diǎn)K，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)①；②【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用：（1）先過(guò)P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過(guò)作，根據(jù)，可得，，進(jìn)而得到，同理可得，，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進(jìn)而得到；（3）①過(guò)P作，根據(jù)，可得，，進(jìn)而得到；②過(guò)K作，根據(jù)，可得，，進(jìn)而得到，由①，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進(jìn)而得到．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)P作，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過(guò)作，，，，，，過(guò)P作，同理可得，，與的角平分線相交于點(diǎn)K，，；（3）解：①如圖3，過(guò)P作，，，，，，故答案為：；②如圖3，過(guò)K作，，，，，，由①知，，與的角平分線相交于點(diǎn)K，，．5．（23-24八年級(jí)上·江西吉安·期末）如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和交射線于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求的度數(shù)，若，請(qǐng)直接用含的式子表示；(2)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，與之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請(qǐng)求出此數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)，(2)不改變，恒為，理由見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)分別平分和，即可得出的度數(shù)；同理：當(dāng)，用含的式子表示即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)平分，即可得到進(jìn)而得出，進(jìn)而完成解答；（3）根據(jù)，得出，進(jìn)而得，根據(jù)，進(jìn)而求得的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴∵分別平分和，∴∴；若,∵，．∴，∴∵分別平分和，∴∴．（2）解：不變．恒為，理由如下：∵，∴∵平分，∴，∴．（3）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，則有，∴，∴，∴．6．（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·期末）已知直線，在三角形紙板中，，(1)將三角形按如圖1放置，點(diǎn)E和點(diǎn)G分別在直線上，若，則°(2)將三角形按如圖2放置，點(diǎn)E和點(diǎn)G分別在直線上，交于點(diǎn)H，若，，試求、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在圖2中，若，，將三角形繞點(diǎn)F以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)三角形兩條直角邊分別與平行時(shí)，求出相應(yīng)t的值（直接寫(xiě)出答案）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，過(guò)“拐點(diǎn)”構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．（1）作，根據(jù)、即可求解；（2）作，根據(jù)、即可求解；（3）根據(jù)題意畫(huà)出滿足條件的幾何圖，分類(lèi)討論求出旋轉(zhuǎn)角度即可求解．【詳解】（1）解：作，如圖所示：∵，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：作，如圖所示：∵，，∴，∴，∵，∴，即：；（3）解：∵，，∴，時(shí)，如圖所示：此時(shí)：，旋轉(zhuǎn)角度，∴；時(shí)，如圖所示：此時(shí)：旋轉(zhuǎn)角度，∴；時(shí)，如圖所示：此時(shí)：，旋轉(zhuǎn)角度，∴；時(shí)，如圖所示：此時(shí)：，旋轉(zhuǎn)角度為：∴；綜上所述：的值為：．7．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）問(wèn)題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．問(wèn)題遷移：(1)如圖2，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，求，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用；（1）過(guò)P作交于E，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案；（2）畫(huà)出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案．【詳解】（1），理由如下：如圖3，過(guò)P作交于E，∵，∴，∴，，∴；（2）當(dāng)P在延長(zhǎng)線時(shí)，；理由：如圖4，過(guò)P作交于E，∵，∴，∴，，∴；當(dāng)P在之間時(shí)，．理由：如圖5，過(guò)P作交于E，∵，∴，∴，，∴．綜上所述，，，之間的數(shù)量關(guān)系為或．8．（23-24八年級(jí)上·陜西榆林·期末）綜合與探究某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知直線，若直線，則．他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論運(yùn)用很廣、請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論解決以下問(wèn)題．已知直線，點(diǎn)在，之間，點(diǎn)，分別在直線，上，連接，．(1)如圖1，作，運(yùn)用上述結(jié)論，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，，，求出與之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，直接寫(xiě)出，，，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)(3)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合條件中角度之間的倍數(shù)、平角等關(guān)系即可得出答案；（3）分別過(guò)點(diǎn)E、F、G作平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】（1）解：理由：由，，則．又（2）由（1）得，同理可得，，，，．（3）如圖，分別過(guò)點(diǎn)作平行，即：9．（23-24八年級(jí)上·重慶長(zhǎng)壽·期末）如圖，直線，連接線段，直線、及線段把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定∶線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接、，構(gòu)成、、三個(gè)角．(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，如圖1，求證：；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，是否成立？在圖2中畫(huà)出圖形，若成立，寫(xiě)出推理過(guò)程，若不成立，直接寫(xiě)出這三個(gè)角之間的關(guān)系．(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，延長(zhǎng)，點(diǎn)P在射線的左側(cè)和右側(cè)時(shí)，分別探究、、之間的關(guān)系，在圖3中畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不成立，，作圖與推理過(guò)程見(jiàn)解析(3)點(diǎn)P在射線的左側(cè)時(shí)，；點(diǎn)P在射線的右側(cè)時(shí)，【分析】本題考查平行線的判定及性質(zhì)．（1）過(guò)點(diǎn)P作，則，由平行線的性質(zhì)得到，，因此；（2）過(guò)點(diǎn)P作，則，由平行線的性質(zhì)得到，，因此，而，則不成立；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在射線的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作，則，由平行線的性質(zhì)得到，，因此；②當(dāng)點(diǎn)P在射線的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作，則，由平行線的性質(zhì)得到，，因此．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）不成立，、、之間的關(guān)系是，如圖，過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴不成立；（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在射線的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵，，∴，∴，∴；②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在射線的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作，∴，∵，，∴，∴，∴．10．（23-24七年級(jí)上·重慶渝中·期末）如圖，直線，直線分別交、于點(diǎn)、．點(diǎn)在直線上方，點(diǎn)在直線上（在點(diǎn)的右邊），連接，平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，直線交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，連接并延長(zhǎng)．若，，將繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線始終平分，是內(nèi)部一條射線，平分，當(dāng)，且的度數(shù)為射線與直線所夾銳角的倍時(shí)，直接寫(xiě)出的值（本題研究的所有角度均小于）．【答案】(1)(2)，理由加解析(3)或30或秒【分析】（1）根據(jù)平分，且，得出，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）設(shè)，，過(guò)點(diǎn)作，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得過(guò)點(diǎn)作，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可求解；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，分四種情況討論，當(dāng)在的上方時(shí)，設(shè)，則，依題意，始終平分，平分，則根據(jù)得出①，根據(jù)得出②，即可求解，進(jìn)而當(dāng)在的下方時(shí)，則，同理可得；當(dāng)時(shí)，且在的上方和下方時(shí)，列出一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：平分，且，，過(guò)點(diǎn)作，，，又，，，，；（2）解：數(shù)量關(guān)系為：或．理由如下：分別平分和，設(shè)，，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，過(guò)點(diǎn)作，，，，，即，；（3）解：∵，平分，則，∵未旋轉(zhuǎn)前，則，，∵將繞著點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，∴，當(dāng)在的上方時(shí)，如圖所示，設(shè)，則，依題意，始終平分，平分，∴，，∵，∴，∴①又∵，即，即②，將②代入①得，，解得：；當(dāng)在的下方時(shí)，如圖所示，則，解得：，將代入①得，，∴；如圖所示，當(dāng)時(shí)，且在的下方時(shí)，設(shè)，則，依題意，始終平分，平分，∴，，∵，∴，∴，又∵，即，即，將代入，解得：，當(dāng)在的上方時(shí)，則，即，將代入，解得：（舍去）綜上所述：或或．11．（22-23七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，已知．點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），，的角平分線分別交射線于點(diǎn)C，D．(1)①的度數(shù)是______；②∵，∴______；(2)求的度數(shù)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律．(4)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是______．【答案】(1)①；②(2)(3)，理由見(jiàn)解析(4)【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等：（1）①由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)可直接求出；②由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可直接寫(xiě)出；（2）由角平分線的定義可以證明，即可求出結(jié)果；（3）不變，，證，即可推出結(jié)論；（4）可先證明，由（2），可推出，可得，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：①∵，∴，∵，∴；②∵，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴；（4）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，則有，∴，∴，由（2），∴，∴，故答案為：．12．（21-22七年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知直線，和，分別交于，點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且不和點(diǎn)，重合．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段上，，，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷，，的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要說(shuō)明理由．【答案】(1)65°(2)當(dāng)在的上方時(shí)，∠2＝∠1+∠APB，當(dāng)在線段上時(shí)，；當(dāng)在的下方時(shí)，【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)可知，故可得出，再由即可得出結(jié)論；（2）分三種情況討論：當(dāng)在的上方時(shí)，當(dāng)在線段上時(shí)，由（1）可得：；當(dāng)在的下方時(shí)，過(guò)作，依據(jù)，可得，再利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，，．又，∵，，∴；（2）解：．理由如下：當(dāng)在的上方時(shí)，如圖，過(guò)作，∵，∴，，，，．當(dāng)在線段上時(shí)，由（1）可得：；當(dāng)在的下方時(shí)，如圖，過(guò)作，∵，∴，，，，．題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【例1】（21-22六年級(jí)下·山東東營(yíng)·期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角．(1)利用這個(gè)規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡工作原理示意圖，AB、CD是平行放置的兩面平面鏡．已知光線經(jīng)過(guò)平面鏡反射時(shí)，有，，請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行的？（請(qǐng)把證明過(guò)程補(bǔ)充完整）理由：∵（已知），∴（①），∵，（已知），∴（②），∴，即：，∴（③）(2)顯然，改變兩面平面鏡AB、CD之間的位置關(guān)系，經(jīng)過(guò)兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會(huì)隨之改變，如圖3，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射到平面鏡CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光線n和光線m平行，且，則∠6=______°，∠ABC=______°．(3)請(qǐng)你猜想：圖3中，當(dāng)兩平面鏡AB、CD的夾角∠ABC=______°時(shí)，可以使任何入射光線m經(jīng)過(guò)平面鏡AB、CD的兩次反射后，與反射光線n平行、請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②等量代換；③內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；(2)96，90(3)當(dāng)時(shí)，可以使任何入射光線m經(jīng)過(guò)平面鏡AB、CD的兩次反射后，與反射光線n平行，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得，根據(jù)角之間的關(guān)系等量代換得，即可得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得；（2）由題意得，，，即可得，根據(jù)得，可得，即可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得；（3）由（1）得，，，根據(jù)，得，即可得，等量代換得即，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得．【詳解】（1）證明：∵（已知），∴（①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵，（已知），∴（②等量代換），∴，即：，∴（③內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）故答案為：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②等量代換；③內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（2）解：由題意得，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：96，90．（3）當(dāng)時(shí)，可以使任何入射光線m經(jīng)過(guò)平面鏡AB、CD的兩次反射后，與反射光線n平行，理由如下：解：由（1）得，，，∵，∴，∴，∴，，∴，故答案為：．【例2】（22-23七年級(jí)下·吉林松原·期末）如圖，，、分別為直線、上兩點(diǎn)，且，若射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)、點(diǎn)不停地旋轉(zhuǎn)，若射線轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，射線轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，且、滿足．（友情提醒：鐘表指針走動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?1)，；(2)若射線、射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問(wèn)至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線、射線互相垂直．(3)若射線繞點(diǎn)順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線才開(kāi)始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線到達(dá)之前，問(wèn)射線再轉(zhuǎn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線、射線互相平行？【答案】(1)6，1(2)s(3)射線再轉(zhuǎn)動(dòng)秒或18秒時(shí)，射線、射線互相平行【分析】（1）依據(jù)，即可得到，的值；（2）依據(jù)，，即可得到射線、射線第一次互相垂直的時(shí)間；（3）分兩種情況討論，依據(jù)時(shí)，，列出方程即可得到射線、射線互相平行時(shí)的時(shí)間．【詳解】（1），，，，，故答案為：6，1；（2）設(shè)至少旋轉(zhuǎn)秒時(shí)，射線、射線互相垂直．如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的射線、射線交于點(diǎn)，則，，，，，又，，，；（3）設(shè)射線再轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，射線、射線互相平行．如圖，射線繞點(diǎn)順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒后，轉(zhuǎn)動(dòng)至的位置，，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，解得；綜上所述，射線再轉(zhuǎn)動(dòng)秒或18秒時(shí)，射線、射線互相平行．【例3】（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時(shí)與水平方向的夾角的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分線定義可得，由垂直定義可得，得出，再運(yùn)用平行線性質(zhì)即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖2，，平分，，，，，，，，，即；（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，

則，，，，，，，．鞏固訓(xùn)練1．（22-23七年級(jí)下·云南昆明·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，若平行光線由水中射向空氣時(shí)所形成的，則為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)兩直線平行，同位角相等可求出的度數(shù)，根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，由題意得，∴，∵，∴，∴，故選：C．2．（21-22七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）一輛汽車(chē)在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，與在原來(lái)的方向的垂直方向前進(jìn)，那么兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，能根據(jù)平行線的性質(zhì)找到兩次拐彎后的方向是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.兩次拐彎后方向與原方向相同，故不符合題意；B.兩次拐彎后方向與原方向相反，故不符合題意；C.兩次拐彎后，相當(dāng)于在原方向向左拐，方向與原方向垂直，故符合題意；D.兩次拐彎后，相當(dāng)于在原方向向右拐，方向與原方向的反方向夾角，故不符合題意；故選：C．3．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖，一條街道有兩個(gè)拐角和，已知，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，由，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解．【詳解】∵∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故選：D．4．（22-23七年級(jí)下·河北滄州·期末）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面與平行，入射光線m與出射光線n平行，若入射光線m與鏡面的夾角，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)和的度數(shù)，求出的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：，，，，入射光線m與出射光線平行，．故選：A．5．（22-23七年級(jí)下·貴州黔南·期中）如圖，的一邊是平面鏡，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，一束光線從點(diǎn)C射出，經(jīng)過(guò)平面鏡上的點(diǎn)D反射后沿射線射出，已知，要使反射光線，則的度數(shù)是度．

【答案】【分析】利用平行線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：∵∴又∵∴∴故答案為：6．（22-23七年級(jí)下·河北承德·期末）為保證安全，某兩段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B，探照燈的光線可看作射線如圖，燈A的光線從射線開(kāi)始，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線上便立即回轉(zhuǎn)，燈B光線從射線開(kāi)始，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．已知，連接，，則；若燈B的光線先轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，45秒后燈A的光線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B的光線第一次到達(dá)之前，燈A的光線轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，兩燈的光線互相平行．

【答案】6045或105【分析】根據(jù)題意及鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出，，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)得到；由題意易得，則可設(shè)燈的光線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩燈的光線互相平行，進(jìn)而可分①當(dāng)射線未過(guò)線段時(shí)，②射線過(guò)線段且未到達(dá)射線時(shí)，③射線到達(dá)后回轉(zhuǎn)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴；∴，∵，∴，∵燈的光線先轉(zhuǎn)動(dòng)45秒，燈的光線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，∴此時(shí)，設(shè)燈的光線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩燈的光線互相平行，①當(dāng)射線未過(guò)線段時(shí)，兩燈的光線互相平行，則，如圖所示：

∴，∴，∵，∴，即，解得：；②射線過(guò)線段且未到達(dá)射線時(shí)，兩燈的光線互相平行，則，如圖所示：

∴，∴，∵，∴，即，解得：，（不符合題意，舍去）；③射線到達(dá)后回轉(zhuǎn)，兩燈的光線互相平行，則，如圖所示：

∴，∴，∵，∴，即，解得：；∴綜上所述：燈的光線轉(zhuǎn)動(dòng)45秒或105秒時(shí)，兩燈的光線互相平行；故答案為：60；45或105．7．（2023七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道上放置P，Q兩盞激光燈．其中光線按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)至邊便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)至邊就停止旋轉(zhuǎn)，此時(shí)光線也停止旋轉(zhuǎn)．若光線先轉(zhuǎn)4秒，光線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，光線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒．【答案】6或43.5【分析】依據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，列出關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式可求．【詳解】解：當(dāng)，則，如下圖：∵，∴．∴．設(shè)光線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，∴∴．當(dāng)，則，如下圖：∵，∴．∴．設(shè)光線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，此時(shí)光線由處返回，∴．∴．∴．∴．綜上，光線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為6或43.5秒．故答案為：6或43.5．8．（22-23七年級(jí)上·福建泉州·期末）光線從空氣射入水中時(shí)，光線的傳播方向會(huì)發(fā)生改變，這就是折射現(xiàn)象．如圖，水面與底面平行，光線從空氣射入水里時(shí)發(fā)生了折射，變成光線射到水底C處射線X是光線的延長(zhǎng)線，，，則的度數(shù)為．【答案】/17度【分析】由平行線的性質(zhì)可知，再根據(jù)對(duì)頂角相等得出，最后由求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵,∴．故答案為：．9．（23-24八年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）如圖、一艘輪船由B處向C處航行，C處在B處的北偏東方向上，在海島上的觀察所A測(cè)得B在A的南偏西方向上，若輪船行駛到C處時(shí)測(cè)得，求從C處看A、B兩處的視角的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)方位角的概念，畫(huà)出圖形，再根據(jù)已知轉(zhuǎn)向的角度結(jié)合三角形的內(nèi)角和求解．【詳解】解：如圖，在處測(cè)得處在的北偏東方向上，則，在海島上的觀察所測(cè)得在的南偏西方向上，則，∴，又，∴，，．

題型六垂線【例1】（23-24七年級(jí)下·山東青島·單元測(cè)試）下列圖形中，線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到直線距離的是（

）A．B． C．D．【答案】C【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，理解“點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到直線的距離”是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，線段的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到直線距離，據(jù)此求解即可．【詳解】解：線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到直線距離的是：故選：C．【例2】（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，設(shè)，，下列結(jié)論：①，則；②若，則；③若，則；④若平分．則其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題考查垂線，角平分線，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，掌握垂直定義，角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系是正確判斷的關(guān)鍵．根據(jù)垂直定義，角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】①平分，，，，而，，即，因此①正確；②，，，，，因此②正確；③平分，，只有當(dāng)時(shí),，而與是否垂直不確定，因此③不正確；④∵平分平分，，，，即，因此④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選:B．【例3】（23-24七年級(jí)下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作已知直線a的平行線和垂線，可作的條數(shù)分別是m條和n條，則的值為（

）

A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條【答案】C【分析】本題考查平行公理，以及在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，掌握相關(guān)性質(zhì)即可解題．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，以及在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，可知，，，故選：C【例4】（23-24七年級(jí)下·山東青島·單元測(cè)試）如圖，要在渠岸上找一點(diǎn)，在點(diǎn)處開(kāi)溝，把水渠中的水引到點(diǎn)，要使溝最短，線段與渠岸的位置關(guān)系應(yīng)是，理由是．【答案】垂直垂線段最短【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，利用這個(gè)思路來(lái)解題；接下來(lái)根據(jù)要使溝最短，結(jié)合上述知識(shí)，即可得出結(jié)論，本題考查了，垂線段最短的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．【詳解】解：∵點(diǎn)在直線上，∴當(dāng)時(shí)，最短，故答案為：垂直；垂線段最短．【例5】（22-23七年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，中，，，，，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則線段的最小值是，原因是．【答案】點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，三角形的面積計(jì)算；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短可知：當(dāng)時(shí)，線段取最小值，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短可知：當(dāng)時(shí)，線段取最小值，此時(shí)，所以，原因是點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，故答案為：；點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短．【例6】（23-24七年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）解答下列問(wèn)題：(1)畫(huà)線段、，并延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)E；(2)畫(huà)直線，射線；(3)過(guò)D點(diǎn)作；(4)過(guò)D點(diǎn)作．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了畫(huà)線段、射線、直線，作垂線和平行線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段、射線和直線的定義．（1）根據(jù)線段的定義畫(huà)線段即可；（2）根據(jù)射線和直線的定義畫(huà)圖即可；（3）畫(huà)垂線即可；（4）畫(huà)平行線即可．【詳解】（1）解：線段、即為所求作的線段，點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，如圖所示：（2）解：如圖，直線，射線即為所求．（3）解：即為所求，如圖所示：（4）解：即為所求，如圖所示：鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）為直線外一點(diǎn)，，，為直線上三點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A．，或 B．C．小于 D．不大于【答案】D【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線，垂線段最短，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)到直線，垂線段最短，，，，∴點(diǎn)到直線的距離為不大于；故選D．2．（23-24七年級(jí)下·河南·階段練習(xí)）為直線外一點(diǎn)，為直線上三點(diǎn)，，，，則點(diǎn)到直線的距離不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，可得答案．【詳解】解：由題意，得點(diǎn)P到直線m的距離不大于，故選：A．3．（22-23七年級(jí)上·河南鶴壁·期末）點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線m上的三點(diǎn)A，B，C的距離分別為，，，則點(diǎn)P到直線m的距離可能為（

）A．2cm B．4cm C．5cm D．7cm【答案】A【分析】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離．根據(jù)直線外一點(diǎn)與直線上的所有連線中垂線段距離最短即可求解．【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)P為直線m外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C是直線m上三點(diǎn)，，，，直線外一點(diǎn)與直線上的所有連線中，垂線段距離最短可得：點(diǎn)P到直線m的距離小于或等于3cm．故選：A．4．（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，點(diǎn)A，D在直線m上，點(diǎn)，在直線上，，，，點(diǎn)A到直線的距離是（）A．線段的長(zhǎng)度 B．線段的長(zhǎng)度C．線段的長(zhǎng)度 D．線段的長(zhǎng)度【答案】A【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離．從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段長(zhǎng)度叫點(diǎn)到直線的距離．根據(jù)于D，可得到點(diǎn)A到直線的距離是線段的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，∴，∴點(diǎn)A到直線的距離是的長(zhǎng)度，故選：A．5．（22-23七年級(jí)下·云南迪慶·期末）如圖所示，直線，相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了垂線，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直定義可得，然后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：，，，，故選：A6．（23-24七年級(jí)下·四川瀘州·階段練習(xí)）如圖，中，，，，，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則線段的最小值是．【答案】【分析】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高．當(dāng)時(shí)，的值最小，利用面積法求解即可．【詳解】解：在中，，，，，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)：的面積，，，故答案為：．7．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，這是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)測(cè)量的方法，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是