學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章 2.3.3直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)訓(xùn)練 新人教B版必修2

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)過關(guān)1．直線3x＋4y＋12＝0與圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置關(guān)系是 ()A．過圓心 B．相切C．相離 D．相交2．直線l將圓x2＋y2－2x－4y＝0平分，且與直線x＋2y＝0垂直，則直線l的方程為()A．y＝2x B．y＝2x－2C．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2) D．y＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)3．若圓C半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝14．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P(a，b)的位置是 ()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．都有可能5．過原點(diǎn)O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，則線段PQ的長(zhǎng)為________．6．已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．7．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，求圓C的方程．8．m為何值時(shí)，直線2x－y＋m＝0與圓x2＋y2＝5.(1)無公共點(diǎn)；(2)截得的弦長(zhǎng)為2；(3)交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直．二、能力提升9．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為 ()A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．310．圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線l：x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點(diǎn)有 ()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)11．由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2＋y2＝1引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，且∠APB＝60°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為____________．12．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)．(1)求四邊形PACB面積的最小值；(2)直線上是否存在點(diǎn)P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．三、探究與拓展13．圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈(1)證明：不論m取什么數(shù)，直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)；(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度，并求此時(shí)m的值．

答案1．D2.A3.A4.B5．46．(x－3)2＋y2＝47．解設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m，m)，∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，∴圓心到直線y＝x的距離為eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半徑、弦心距的關(guān)系得9m2＝7＋∴m＝±1.∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.8．解(1)由已知，圓心為O(0,0)，半徑r＝eq\r(5)，圓心到直線2x－y＋m＝0的距離d＝eq\f(|m|,\r(22＋－12))＝eq\f(|m|,\r(5))，∵直線與圓無公共點(diǎn)，∴d>r，即eq\f(|m|,\r(5))>eq\r(5).∴m>5或m<－5.故當(dāng)m>5或m<－5時(shí)，直線與圓無公共點(diǎn)．(2)如圖，由平面幾何垂徑定理知r2－d2＝12，即5－eq\f(m2,5)＝1.得m＝±2eq\r(5)，∴當(dāng)m＝±2eq\r(5)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2.(3)如圖，由于交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直，∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，∴d＝eq\f(\r(2),2)r，即eq\f(|m|,\r(5))＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(5)，解得m＝±eq\f(5\r(2),2).故當(dāng)m＝±eq\f(5\r(2),2)時(shí)，直線與圓在兩交點(diǎn)處的兩條半徑互相垂直．9．C10．C11．x2＋y2＝412．解(1)如圖，連接PC，由P點(diǎn)在直線3x＋4y＋8＝0上，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，－2－eq\f(3,4)x)．圓的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以S四邊形PACB＝2S△PAC＝2×eq\f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|.因?yàn)閨AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以當(dāng)|PC|2最小時(shí)，|AP|最小．因?yàn)閨PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋eq\f(3,4)x)2＝(eq\f(5,4)x＋1)2＋9.所以當(dāng)x＝－eq\f(4,5)時(shí)，|PC|eq\o\al(2,min)＝9.所以|AP|min＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2).即四邊形PACB面積的最小值為2eq\r(2).(2)假設(shè)直線上存在點(diǎn)P滿足題意．因?yàn)椤螦PB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.設(shè)P(x，y)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y－12＝4，,3x＋4y＋8＝0.))整理可得25x2＋40x＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以這樣的點(diǎn)P是不存在的．13．(1)證明∵直線l的方程可化為(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．∴l(xiāng)過eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0,x＋y－4＝0))的交點(diǎn)M(3,1)．又∵M(jìn)到圓心C(1,2)的距離為d＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)<5，∴點(diǎn)M(3,1)在圓內(nèi)，∴過點(diǎn)M(3,1)的直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)．(2)解∵過點(diǎn)M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤eq\r(5)，弦心距、半弦長(zhǎng)和半徑r構(gòu)成直角三角形，∴當(dāng)d2＝5時(shí)，半弦長(zhǎng)的平方的最小值為25－5＝20.∴弦長(zhǎng)AB的最小值|AB|min＝4e