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§3.4基本不等式:eq\r(ab)≤eq\f(a+b,2)(二)一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.已知點(diǎn)P(x,y)在經(jīng)過(guò)A(3,0),B(1,1)兩點(diǎn)的直線上,則2x+4y的最小值為 ()A.2eq\r(2) B.4eq\r(2) C.16 D.不存在2.已知x>1,y>1且lgx+lgy=4,則lgxlgy的最大值是 ()A.4 B.2 C.1 D.eq\f(1,4)3.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=eq\f(1,a)+eq\f(4,b)的最小值是 ()A.eq\f(7,2) B.4 C.eq\f(9,2) D.54.若xy是正數(shù),則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2y)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(1,2x)))2的最小值是 ()A.3 B.eq\f(7,2) C.4 D.eq\f(9,2)5.設(shè)x>-1,則函數(shù)y=eq\f(x+5x+2,x+1)的最小值是______.6.若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+y+6=xy,則xy的最小值是________.7.設(shè)0<x<2,求函數(shù)y=eq\r(3x8-3x)的最大值.8.某種生產(chǎn)設(shè)備購(gòu)買(mǎi)時(shí)費(fèi)用為10萬(wàn)元,每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)9千元,這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)各年為第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,而且以后以每年2千元的增量逐年遞增,問(wèn)這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合算(即使用多少年的年平均費(fèi)用最少)?二、能力提升9.設(shè)a>1,b>1且ab-(a+b)=1,那么 ()A.a(chǎn)+b有最小值2(eq\r(2)+1) B.a(chǎn)+b有最大值(eq\r(2)+1)2C.a(chǎn)b有最大值eq\r(2)+1 D.a(chǎn)b有最小值2(eq\r(2)+1)10.已知x,y,z∈(0,+∞),且滿(mǎn)足x-2y+3z=0,則eq\f(y2,xz)的最小值為 ()A.3 B.6 C.9 D.1211.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上,其中mn>0,則eq\f(1,m)+eq\f(2,n)的最小值為_(kāi)_______.12.設(shè)x,y都是正數(shù),且eq\f(1,x)+eq\f(2,y)=3,求2x+y的最小值.三、探究與拓展13.如圖所示,動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間,一面可利用原有的墻,其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)網(wǎng)的材料,每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí),可使每間虎籠面積最大?(2)若使每間虎籠面積為24m2,則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí),可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最???
答案1.B2.A3.C4.C5.96.187.解當(dāng)x=eq\f(4,3)時(shí),y=eq\r(3x8-3x)有最大值4.8.解設(shè)使用x年的年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元.由已知,得y=eq\f(10+0.9x+\f(0.2x2+0.2x,2),x),即y=1+eq\f(10,x)+eq\f(x,10)(x∈N*).由基本不等式知y≥1+2eq\r(\f(10,x)·\f(x,10))=3,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(10,x)=eq\f(x,10),即x=10時(shí)取等號(hào).因此使用10年報(bào)廢最合算,年平均費(fèi)用為3萬(wàn)元.9.A10.A11.812.解2x+y的最小值為eq\f(8,3).13.解(1)設(shè)每間虎籠長(zhǎng)xm,寬為ym,則由條件知:4x+6y=36,即2x+3y=18.設(shè)每間虎籠面積為S,則S=xy.由2x+3y=18,得x=9-eq\f(3,2)y.∵x>0,∴0<y<6,S=xy=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9-\f(3,2)y))y=eq\f(3,2)(6-y)·y.∵0<y<6,∴6-y>0,∴S≤eq\f(3,2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6-y+y,2)))2=eq\f(27,2).當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y(tǒng),即y=3時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)x=4.5.(2)由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為l,則l=4x+6y.由xy=24,得x=eq\f(24,y).∴l(xiāng)=4x+6y=eq\f(96,y)+6y=6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c
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