2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形4.1任意角蝗制及三角函數(shù)的概念學(xué)案新人教A版

第四章三角函數(shù)、解三角形4.1隨意角、弧度制及三角函數(shù)的概念必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.角的概念的推廣(1)角的定義:一條射線圍著它的旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向不同分為(3)終邊相同的角:全部與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.2.弧度制的定義和公式(1)定義:長(zhǎng)度等于的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.弧度單位用符號(hào)rad表示,讀作弧度.

(2)公式:角α的弧度數(shù)公式|α|=lr(弧長(zhǎng)用l表示角度與弧度的換算①1°=π180rad,②1rad=180弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=

扇形面積公式S=12lr=12|α3.隨意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)隨意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即y=sinα把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即x=cosα把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值yx叫做α的正切,記作tanα,即yx=tanα(x各象限符號(hào)Ⅰ+++Ⅱ+--Ⅲ--+Ⅳ-+-1.隨意角的三角函數(shù)α是一個(gè)隨意角,終邊上隨意一點(diǎn)P(不與圓點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r,則sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx(x2.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.3.象限角4.軸線角5.若α∈0,π2,則sinα<α<tanα.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)小于90°的角是銳角.()(2)若sinα>0,則α是第一、其次象限的角.()(3)相等的角終邊肯定相同,終邊相同的角也肯定相等.()(4)若角α為第一象限角,則sinα+cosα>1;若α∈0,π2,則tanα>cosα>sinα.(2.已知扇形的半徑為12cm,弧長(zhǎng)為18cm,則扇形圓心角的弧度數(shù)是()A.23 B.3C.23π D.33.sin2cos3tan4的值()A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在4.設(shè)角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P35,-45,則sinα-cosα的值是()A.-75 B.-15 C.155.(2024北京東城一模,12)已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,將角α的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π6后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,3),則sinα=.關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)角的表示及象限的判定【例1】(1)(2024江西九江一模)若sinα<0,且sin(cosα)>0,則角α是()A.第一象限角 B.其次象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)終邊在直線y=3x上的角的集合為.

(3)若角θ的終邊與6π7角的終邊相同,則在[0,2π)內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角為解題心得1.角的終邊在一條直線上比在一條射線上多一種狀況.2.推斷角β所在的象限,先把β表示為β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再推斷角α的象限即可.3.確定角kα,αk(k≥2,且k∈N*)的終邊的位置:先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍,再寫出kα或αk的范圍,最終依據(jù)k的可能取值探討確定kα或α對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)設(shè)集合M=xx=k2·180°+45°,k∈Z,N=xx=k4·180°+45°,k∈Z,那么(A.M=N B.M?NC.N?M D.M∩N=N(2)(2024陜西榆林一中檢測(cè),3)若角θ滿意sinθ>0,tanθ<0,則θ2是(A.其次象限角 B.第一象限角C.第一或第三象限角 D.第一或其次象限角(3)已知角α為第三象限角,則2α的終邊所在的位置范圍為.

考點(diǎn)三角函數(shù)定義的應(yīng)用(多考向探究)考向1利用定義求三角函數(shù)值【例2】(1)(2024山東濰坊一模,3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(3,1),將向量OP繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π2后得到向量OQ,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-3,1) D.(-1,3)(2)已知角α的終邊在直線3x+4y=0上,則5sinα+5cosα+4tanα=.

解題心得用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的兩種狀況:(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則干脆用三角函數(shù)的定義求解三角函數(shù)值;(2)已知角α的終邊所在的直線方程,留意終邊位置有兩個(gè),對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值有兩組.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2024陜西寶雞一中檢測(cè))已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸.若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P35,-45,則cosαtanα的值是()A.-45 B.4C.-35 D.考向2利用定義求參數(shù)的值【例3】已知角α終邊上一點(diǎn)P(m,4),且cosα=26m,則m的值為.解題心得利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)的值應(yīng)用的方程思想,由已知條件及三角函數(shù)的定義得到關(guān)于參數(shù)的一個(gè)方程,解方程得參數(shù)的值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,則m的值為(A.-12 B.1C.-32 D.考向3利用定義判定三角函數(shù)值的符號(hào)【例4】若角α的終邊落在直線y=-x上,則sinα|cosα|+|sinα|cosα0(填解題心得判定三角函數(shù)值的符號(hào),先搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角,再依據(jù)正弦、余弦函數(shù)值在各象限的正負(fù)狀況確定.假如不知角所在象限,須要分類探討求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4若θ是其次象限角,則sin(cosθ)cos(sinθ)0.(填“>考點(diǎn)扇形弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用【例5】(1)(2024山東歷城二中模擬四,4)如圖2,在半圓O中作出兩個(gè)扇形OAB和OCD,用扇環(huán)形ABDC(圖中陰影部分)制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形ABDC的面積為S1,扇形OAB的面積為S2,當(dāng)S1與S2的比值為5-12時(shí),扇面的形態(tài)較為美觀,則此時(shí)扇形OCD的半徑與半圓O的半徑之比為A.5+14 BC.3-5 D.5-2(2)已知扇形的周長(zhǎng)為c,則當(dāng)扇形的圓心角(正角)α=弧度時(shí),其面積最大,最大面積是.

解題心得求扇形面積的最值常用的思想方法是轉(zhuǎn)化法.一般從扇形面積公式動(dòng)身,在弧度制下先使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的函數(shù),再利用基本不等式或二次函數(shù)求最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)一個(gè)半徑為r的扇形,若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的弧長(zhǎng),則扇形的圓心角(正角)是弧度,扇形的面積是.

(2)已知在半徑為10的圓O中,弦AB的長(zhǎng)為10,則弦AB所對(duì)的圓心角α的大小為,α所在的扇形弧長(zhǎng)l為,弧所在的弓形的面積S為.

【典例】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,某單位圓的圓心的初始位置在點(diǎn)(0,1)處,此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在點(diǎn)(0,0)處,圓在x軸上沿正向滾動(dòng),當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí),OP的坐標(biāo)為.

審題要點(diǎn)(1)已知條件:滾動(dòng)后的圓心坐標(biāo)為(2,1)和圓的半徑長(zhǎng)為1;(2)隱含條件:點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是2;(3)等量關(guān)系:P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角;(4)解題思路:求點(diǎn)P坐標(biāo)可借助已知坐標(biāo)(2,1),通過(guò)構(gòu)造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函數(shù)定義求出.答案(2-sin2,1-cos2)解析如圖,作CQ∥x軸,PQ⊥CQ,Q為垂足.依據(jù)題意得劣弧DP的長(zhǎng)為2,故∠DCP=2.則在△PCQ中,∠PCQ=2-π2,|CQ|=cos2-π2=sin2,|PQ|=sin2-π2=-cos2,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2-|CQ|=2-sin2,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1+|PQ|=1-cos2,所以點(diǎn)P故OP=(2-sin2,1-cos2).反思提升1.解決本例應(yīng)抓住在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角的改變,結(jié)合弧長(zhǎng)公式、解直角三角形等學(xué)問(wèn)來(lái)解決.2.審題的關(guān)鍵是在明確已知條件的基礎(chǔ)上,找尋出隱含條件;解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知量尋求未知量,通過(guò)未知量的轉(zhuǎn)化探究解題突破口.第四章三角函數(shù)、解三角形4.1隨意角、弧度制及三角函數(shù)的概念必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.(1)端點(diǎn)(2)正角負(fù)角零角象限角2.(1)半徑長(zhǎng)(2)|α|r考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.B由題意知l=|α|r,∴|α|=lr3.A∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,∴sin2cos3tan4<0.4.A由題意知sinα=-45,cosα=35,所以sinα-cosα=-45-355.1由題意,α+π6為其次象限角.tanα+π6=3-1=-3,所以α+π6=2π3,此時(shí)α=π關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)D(2)αα=π3+kπ,k∈(3)2π7,20π21,34π21(1)∵-1≤cosα≤1,且sin(cosα)>0,∴0∴角α為第四象限角,故選D.(2)∵在(0,2π)內(nèi)終邊在直線y=3x上的角是π3,4π3,與角π3,4π3終邊相同的角分別為2kπ+π3,2kπ+4π∴終邊在直線y=3x上的角的集合為αα(3)∵θ=6π7+2kπ(k∈∴θ3=2π7+依題意,0≤2π7+2kπ3<2π,k∈Z,解得-37∴k=0,1,2,即在[0,2π)內(nèi)終邊與θ3相同的角為2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)B(2)C(3)第一或其次象限或y軸的非負(fù)半軸(1)由于M中,x=k2·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)45°,2k+1是奇數(shù);而N中,x=k4·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)45°,k+1是整數(shù),因此必有M?(2)由sinθ>0,tanθ<0,知θ為其次象限角,∴2kπ+π2<θ<2kπ+π(k∈Z),∴kπ+π4<θ2<kπ+π2(k∈(3)由α是第三象限角,得π+2kπ<α<3π2+2kπ(k∈則2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的終邊在第一或其次象限或y軸的非負(fù)半軸.例2(1)D(2)-2或-4(1)設(shè)向量OP與x軸的夾角為α,向量OQ與x軸的夾角為β,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y).由三角函數(shù)的定義得tanα=33,所以α=π6.由題意β=π2+π6,|OP|=2,所以sinβ=sincosβ=cosπ2+π6=x2,(2)設(shè)α終邊上隨意一點(diǎn)為P(-4a,3a),r=|5a|.當(dāng)a>0時(shí),r=5a,sinα=35,cosα=-45,tanα=-5sinα+5cosα+4tanα=3-4-3=-4;當(dāng)a<0時(shí),r=-5a,sinα=-35,cosα=45,tanα=-34,5sinα+5cosα+4tanα=-3+4-3綜上可知,5sinα+5cosα+4tanα=-4或5sinα+5cosα+4tanα=-2.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2A由三角函數(shù)的定義知cosα=35,tanα=-4535=-43,故cosαtanα=35×例30或±2由三角函數(shù)定義,cosα=mm2+16=26m,解得,m=0或m=±2.故m對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3B∵r=64m2+9,∴cosα=-8m64m2+9=-45,例4=因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y=-x上,所以角α的終邊位于其次或第四象限.當(dāng)角α的終邊位于其次象限時(shí),sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4<∵θ是其次象限角,∴-1<cosθ<0,0<sinθ<1.∴sin(cosθ)<0,cos(sinθ)>0.∴sin(cosθ例5(1)B(2)2c216(1)設(shè)∠AOB=θ,半圓O的半徑為r,扇形OCD的半徑為r1,依題意,有12θr2-12θr1212(2)設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,面積為S.(方法1)∵c=2r+l,∴r=c-l2∴S=12rl=12×c-l2×l=-14l-c22+c216,∴當(dāng)l=c2時(shí),Smax