2024屆湖北省襄陽(yáng)三中高三適應(yīng)性月考（六）數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆湖北省襄陽(yáng)三中高三適應(yīng)性月考（六）數(shù)學(xué)試題試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，則（）A． B．C． D．2．如圖，已知平面，，、是直線上的兩點(diǎn)，、是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（）A． B． C． D．3．設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓：交于不同的兩點(diǎn)，，若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P26．已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．7．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．8．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．9．直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．10．用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知，函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．12．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若、滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_____.14．已知向量=（1，2），=（-3，1），則=______．15．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)任意，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，且互不相等，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為.當(dāng)_________時(shí)，為的幾何平均數(shù).（只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）16．已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).18．（12分）某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？（2）為答謝顧客，該商場(chǎng)對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開(kāi)展促銷活動(dòng)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購(gòu)買(mǎi)該商品的支付情況如下：支付方式現(xiàn)金支付購(gòu)物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購(gòu)買(mǎi)一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0,），且滿足a+b＝3．（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，試問(wèn)k1+k2是否為定值？并說(shuō)明理由．20．（12分）如圖，⊙的直徑的延長(zhǎng)線與弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，為⊙上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．求證：~．21．（12分）已知函數(shù)，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．22．（10分）隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來(lái)越重視，企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來(lái)越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬(wàn)元，日常全天候開(kāi)啟3套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè)，且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段（以1小時(shí)為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為，且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.（1）當(dāng)時(shí)，求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)（不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬(wàn)元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問(wèn)該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算(全年按9000小時(shí)計(jì)算)？并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)可得,即可求得結(jié)果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù),難度較易.2、B【解析】

為所求的二面角的平面角，由得出，求出在內(nèi)的軌跡，根據(jù)軌跡的特點(diǎn)求出的最大值對(duì)應(yīng)的余弦值【詳解】，，，，同理為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，又，在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系則，設(shè)，整理可得：在內(nèi)的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，，為二面角的平面角，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，取得最小值此時(shí)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果．3、D【解析】

設(shè)直線：，，，由原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部，可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件，故可設(shè)直線：，，，由，得，，解得或，，，，，，解得，直線的斜率的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過(guò)韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．4、C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，，故單調(diào)遞減，故，當(dāng)，即時(shí)取最大值，所以.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7、C【解析】試題分析：通過(guò)對(duì)以下四個(gè)四棱錐的三視圖對(duì)照可知，只有選項(xiàng)C是符合要求的.考點(diǎn)：三視圖8、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設(shè)球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫(huà)出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，，故是直角三角形，設(shè)，則有，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】

由直線x-3y+3=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA，求得A3【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，令所以c=3，即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=因?yàn)镕C=2CA，所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得10、C【解析】試題分析：畫(huà)出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫(huà)出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．11、A【解析】

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得，利用周期公式可得，再根據(jù)圖像過(guò)，即可求出，再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

化簡(jiǎn)z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上的截距最小，此時(shí)取最小值，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、-6【解析】

由可求，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=（1，2），=（-3，1），∴=（-4，-1），則=1×（-4）+2×（-1）=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題．15、【解析】

由定義可知三點(diǎn)共線，即，通過(guò)整理可得，繼而可求出正確答案.【詳解】解：根據(jù)題意，由定義可知：三點(diǎn)共線.故可得：，即，整理得：，故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式，考查了推理能力，考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.16、【解析】，由題意，得,解得，則的周期為4，且，所以.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】

由，化簡(jiǎn)得，由，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)榍€的參數(shù)方程為，整理得，直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，，整理得，設(shè)，則，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)椋灾本€的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)榍€的參數(shù)方程為，消去，整理得，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，，消去，整理得，設(shè)，則，所以，將，代入上式，整理得.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，結(jié)合弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于中檔題.18、（1）有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；（2）67元，見(jiàn)解析.【解析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解；（2）的可能取值為40，60，80，1，根據(jù)題意依次計(jì)算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由題得，所以，有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān).（2）由題意可知的可能取值為40，60，80，1．，，，．則的分布列為4060801所以，（元）．【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)和概率綜合，考查了列聯(lián)表，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19、（1）（2）k1+k2為定值0，見(jiàn)解析【解析】

（1）利用已知條件直接求解，得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線在軸上的截距為，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用韋達(dá)定理求出，然后化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)（0,），則，又a+b＝3，所以，故橢圓的方程為；（2），證明如下：設(shè)直線在軸上的截距為，所以直線的方程為：，由得：，由得，設(shè)，則，所以，又，所以，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、證明見(jiàn)解析【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個(gè)三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識(shí)證得即可.【詳解】證明：∵，所以，又因?yàn)?，所以．在與中，，，故~.【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何中同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;分析圖形，找出角與角之間的關(guān)系是證明本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.21、（1）見(jiàn)解析，（2）函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程，根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).（2）由