數(shù)學(xué)教案：估計總體的數(shù)字特征

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精5．2估計總體的數(shù)字特征eq\o(\s\up7（）,\s\do5(整體設(shè)計)）教學(xué)分析教科書通過現(xiàn)實生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征．通過對如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索，使學(xué)生體驗創(chuàng)造性思維的過程．三維目標(biāo)1．正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋；會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識．2．在解決統(tǒng)計問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；會用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題,認(rèn)識統(tǒng)計的作用，能夠辯證地理解數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．重點難點教學(xué)重點：根據(jù)實際問題從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征并作出合理解釋，估計總體的基本數(shù)字特征；體會樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性．教學(xué)難點：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實際問題．課時安排1課時eq\o（\s\up7（),\s\do5(教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課思路1.平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是,有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷．如某地區(qū)的統(tǒng)計顯示，該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長發(fā)育好，身高較高．但是，假如這個平均數(shù)是從50萬名中學(xué)生中抽出的50名身高較高的學(xué)生計算出來的話,那么,這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì)．因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)，于是我們學(xué)習(xí)從另外的角度來考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量——標(biāo)準(zhǔn)差．(教師板書課題）思路2。在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運動員：7，8,6,8,6,5,9，10，7，4；乙運動員：9,5，7,8，7,6，8,6，7，7.我們不難求得,eq\x\to(x)甲＝7,eq\x\to(x）乙＝7,兩個人射擊的平均成績是一樣的，那么,是否兩個人就沒有水平差距呢?圖1從圖1直觀上看，還是有差異的．很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此這節(jié)課我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)，引入課題：標(biāo)準(zhǔn)差．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題）)1．如何通過頻率分布直方圖估計數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù))？2．有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個樣本（如下表)檢查它們的抗拉強度（單位:kg/mm2)，通過計算發(fā)現(xiàn)，兩個樣本的平均數(shù)均為125。甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145哪種鋼筋的質(zhì)量較好？3．某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種，對甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對比實驗,年畝產(chǎn)量分別如下（單位：千克）:甲：600，880,880，620，960，570，900(平均773）;乙：800,860,850,750,750,800,700（平均787）．請你用所學(xué)統(tǒng)計學(xué)的知識，說明選擇哪種品種推廣更好？4．全面建設(shè)小康社會是我們黨和政府的工作重心,某市按當(dāng)?shù)匚飪r水平計算，人均年收入達(dá)到1.5萬元的家庭即達(dá)到小康生活水平．民政局對該市100戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，它們的人均收入達(dá)到了1.6萬元，民政局即宣布該市市民生活水平已達(dá)到小康水平，你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實際？5．如何考查樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小呢？把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來，是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度？討論結(jié)果：1．利用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù):估計眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點數(shù)字（最高矩形的中點）．估計中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等．估計平均數(shù):頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．2。圖2由圖2可以看出，乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強度穩(wěn)定．我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range)．由上圖可以看出,乙的極差較大，數(shù)據(jù)點較分散；甲的極差較小，數(shù)據(jù)點較集中，這說明甲比乙穩(wěn)定．運用極差對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，操作簡單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時,就不容易得出結(jié)論了．3．選擇的依據(jù)應(yīng)該是，產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種，所以選擇乙更為合理．4．不符合實際．原因是樣本太小，沒有代表性．在統(tǒng)計學(xué)里,對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析，需要結(jié)合實際，側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征．比如,市民平均收入問題，都是考察數(shù)據(jù)的離散程度．5．把問題3中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來．我們可以很直觀地知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近，即乙的離散程度小，如何用數(shù)字去刻畫這種離散程度呢?考察樣本數(shù)據(jù)的離散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．xi到eq\x\to（x)的距離是｜xi－eq\x\to(x）｜（i＝1,2，…,n)．于是，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn到eq\x\to（x）的“平均距離”是s＝eq\f(|x1－\x\to(x)|＋｜x2－\x\to（x）｜＋…＋|xn－\x\to(x)｜，n）。由于上式含有絕對值，運算不太方便，因此，通常改用如下公式來計算標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f（1，n)[x1－\x\to（x）2＋x2－\x\to（x)2＋…＋xn－\x\to（x）2］）.意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來表示數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，也就越穩(wěn)定．從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差s≥0,當(dāng)s＝0時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋．例如，在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)eq\x\to（x）＝1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s＝0.868，所以eq\x\to(x)＋s＝2。841，eq\x\to（x）＋2s＝3。709；eq\x\to（x)－s＝1.105，eq\x\to（x）－2s＝0。237.這100個數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［eq\x\to(x）－2s,eq\x\to(x）＋2s］＝[0.237,3.709］外的只有4個，也就是說，［eq\x\to(x)－2s,eq\x\to(x）＋2s]幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù)．從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差,作為測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具，其中s2＝eq\f（1,n）［(x1－eq\x\to（x))2＋(x2－eq\x\to（x）)2＋…＋（xn－eq\x\to(x))2］．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．但在解決實際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．需要指出的是，現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的．如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢？通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的．只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的.兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，現(xiàn)實中應(yīng)用比較廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例)）思路11畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明它們的異同點．(1）5,5,5,5,5，5，5,5,5；（2)4，4，4,5，5，5,6，6,6；（3)3,3，4,4,5,6,6，7,7；(4)2,2,2，2，5，8，8,8，8。分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如圖3：圖3四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5。0，標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00,0。82，1.49,2。83.它們有相同的平均數(shù)，但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說明數(shù)據(jù)的離散程度是不一樣的．例2甲、乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零件．為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm):甲25．4625。3225.4525。3925.3625．3425.4225.4525。3825。4225．3925.4325.3925.4025.4425．4025。4225。3525。4125.39乙25．4025。4325。4425.4825。4825．4725。4925.4925。3625。3425．3325.4325。4325.3225。4725．3125.3225。3225.3225。48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看,誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高？分析：每一個工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個總體．由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40mm），生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個角度來衡量．總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25。40mm的差異大時質(zhì)量低，差異小時質(zhì)量高；當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時,總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時候質(zhì)量高，標(biāo)準(zhǔn)差大的時候質(zhì)量低．這樣,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可．但是,這兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的，根據(jù)用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個總體之間差異的估計值．解：用計算器計算可得eq\x\to（x）甲≈25.401，eq\x\to(x)乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0。068.從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)（25。40mm）,但是差異很??；從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看，由于s甲<s乙，因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的穩(wěn)定程度高得多．于是，可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些．點評：從上述例子我們可以看到，對一名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑(總體)的質(zhì)量判斷，與所抽取的零件內(nèi)徑(樣本數(shù)據(jù))直接相關(guān)．顯然,我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本．這樣，盡管總體是同一個,但由于樣本不同，相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等都會發(fā)生改變，這就會影響到我們對總體情況的估計．如果樣本的代表性差，那么對總體所作出的估計就會產(chǎn)生偏差；樣本沒有代表性時,對總體作出錯誤估計的可能性就非常大．這也正是我們在前面講隨機(jī)抽樣時反復(fù)強調(diào)樣本代表性的理由．在實際操作中,為了減少錯誤的發(fā)生，條件許可時,通常采取適當(dāng)增加樣本容量的方法．當(dāng)然，關(guān)鍵還是要改進(jìn)抽樣方法，提高樣本的代表性。變式訓(xùn)練某地區(qū)全體九年級的3000名學(xué)生參加了一次科學(xué)測試，為了估計學(xué)生的成績,從不同學(xué)校的不同程度的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的成績?nèi)缦?100分12人，90分30人，80分18人,70分24人，60分12人，50分4人．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該地區(qū)3000名學(xué)生的平均分、合格率(60或60分以上均屬合格）．解：因為運用計算器計算可得eq\f（100×12＋90×30＋80×18＋70×24＋60×12＋50×4，100）＝79.40，(12＋30＋18＋24＋12）÷100＝96%,所以樣本的平均分是79.40分，合格率是96%,由此來估計總體3000名學(xué)生的平均分是79。40分，合格率是96％。思路2例1甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2),試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9。89。910.11010.2乙9。410。310.89。79.8解：甲品種的樣本平均數(shù)為10,樣本方差為[(9。8－10)2＋（9。9－10)2＋（10.1－10)2＋(10－10)2＋(10。2－10）2]÷5＝0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為［（9。4－10)2＋(10。3－10)2＋（10.8－10）2＋（9。7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.24。因為0.24＞0.02，所以由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．例2為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差．天數(shù)151~180181～210211～240241～270271～300301～330331~360361~390燈泡數(shù)1111820251672分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均壽命．解:各組中值分別為165,195,225,255,285,315，345，375,由此算得平均數(shù)約為165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16％＋345×7%＋375×2%＝267。9≈268（天）．這些組中值的方差為eq\f（1,100）×［1×（165－268）2＋11×(195－268)2＋18×(225－268）2＋20×（255－268）2＋25×（285－268)2＋16×（315－268)2＋7×（345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60（天2)．故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約為eq\r（2128。60）≈46(天）．答:估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標(biāo)準(zhǔn)差約為46天．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練）)(1）在一次歌手大獎賽上,七位評委為某歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4,8.4,9。4,9。9,9.6，9。4，9。7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為________．（2)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn，方差為s2,則ax1，ax2,…,axn的方差為________．(3）在相同條件下對自行車運動員甲、乙兩人進(jìn)行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s）的數(shù)據(jù)如下：甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項重大比賽更合適？答案:(1)9.5，0。016(2)a2s2(3)由eq\x\to（x）甲＝33，eq\x\to（x）乙＝33，seq\o\al（2，甲）＝eq\f（47,3)＞seq\o\al(2，乙）＝eq\f(37，3),可知乙的成績比甲穩(wěn)定,應(yīng)選乙參加比賽更合適．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升）)某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個魚塘內(nèi)放入一批魚苗，一年以后準(zhǔn)備出售，為了在出售以前估計賣掉魚后有多少收入,這個專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場的銷售價是每千克15元，請問，這個專業(yè)戶還應(yīng)該了解什么？怎樣去了解?請你為他設(shè)計一個方案．解：這個專業(yè)戶應(yīng)了解魚的總質(zhì)量，可以先捕出一些魚(設(shè)有x條)，做上標(biāo)記后放回魚塘，過一段時間再捕出一些魚（設(shè)有a條）,觀察其中帶有標(biāo)記的魚的條數(shù)，作為一個樣本來估計總體，則eq\f（a條魚中帶有標(biāo)記的條數(shù)，a)＝eq\f（魚塘中所有帶有標(biāo)記的魚的條數(shù)x，魚塘中魚的總條數(shù)）。這樣就可以求得魚塘中魚的總條數(shù)，同時把第二次捕出的魚的平均質(zhì)量求出來，就可以估計魚塘中魚的平均質(zhì)量，進(jìn)而估計全部魚的質(zhì)量，最后估計出收入．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)））1．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平．用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計總體標(biāo)準(zhǔn)差．樣本容量越大,估計就越精確，標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度．2．用樣本估計總體的兩個手段(用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征),需要從總體中抽取一個質(zhì)量較高的樣本，才能不會產(chǎn)生較大的估計偏差，且樣本容量越大，估計的結(jié)果也就越精確．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)））習(xí)題1—53.eq\o（\s\up7(），\s\do5（設(shè)計感想））統(tǒng)計學(xué)科，最大的特點就是與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系,也是新教科書的亮點．僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式,簡單模仿課本例題”來學(xué)習(xí)，是絕對不行的．用樣本估計總體時,如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差，其原因在于樣本的隨機(jī)性．這種偏差是不可避免的．雖然我們從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是總體的一個估計，但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本的容量很大時,它們確實反映了總體的信息．教師建議:親身經(jīng)歷“提出問題,收集數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù)，并作出合理決策”的過程,在此過程中不僅可以加深對概念等知識的深刻理解，更重要的是發(fā)展了思維，培養(yǎng)了分析及解決問題能力,同時在情感、意志等領(lǐng)域也得到了協(xié)調(diào)發(fā)展，這