數學教案：排列第二課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二課時教學目標知識與技能利用排列和排列數公式解決簡單的計數問題．過程與方法經歷把簡單的計數問題化為排列問題解決的過程，從中體會“化歸"的數學思想．情感、態(tài)度與價值觀能運用所學的排列知識，正確地解決實際問題，體會“化歸”思想的魅力．重點難點教學重點：利用排列和排列數公式解決簡單的計數問題．教學難點：利用排列和排列數公式解決簡單的計數問題．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（教學過程）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（復習回顧））提出問題1：判斷下列兩個問題是不是排列問題，若是求出排列數，若不是,說明理由．(1)有5本不同的書,從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書,要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？活動設計：學生自己獨立思考，教師提問．活動成果：解：（1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數是：Aeq\o\al(3,5）＝5×4×3＝60，所以，共有60種不同的送法．（2）由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數是：5×5×5＝125,所以,共有125種不同的送法．本題中兩個小題的區(qū)別在于：第（1)小題是從5本不同的書中選出3本分送給3名同學,各人得到的書不同，屬于求排列數問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到哪種書相互之間沒有聯系，要用分步計數原理進行計算．設計意圖：引導學生通過具體實例回顧排列的概念和排列數公式．提出問題2：請同學們再回顧一下排列的概念和排列數公式．活動設計:學生一起回答，教師板書．活動成果：從n個不同元素中，任取m(m≤n）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．說明：(1)排列的定義包括兩個方面:①取出元素，②按一定的順序排列;(2)兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同．從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Aeq\o\al(m,n）表示．注意區(qū)別排列和排列數的不同：“一個排列”是指：從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，不是數;“排列數”是指從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素的所有排列的個數，是一個數．所以符號Aeq\o\al（m，n)只表示排列數，而不表示具體的排列．設計意圖：復習排列概念和排列數公式,為本節(jié)課的學習奠定基礎．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(典型例題)）類型一：直接抽象為排列問題的計數問題例1某年全國足球甲級(A組)聯賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次,共進行多少場比賽？解:任意兩隊間進行1次主場比賽與1次客場比賽,對應于從14個元素中任取2個元素的一個排列．因此，比賽的總場次是Aeq\o\al（2,14)＝14×13＝182.點評：要學會把具體問題抽象為從n個不同的元素中任取m（m≤n)個不同元素，按一定順序排成一列的問題．【鞏固練習】某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有Aeq\o\al（1,3）種；第二類用2面旗表示的信號有Aeq\o\al(2，3）種；第三類用3面旗表示的信號有Aeq\o\al（3，3）種，由分類加法計數原理，所求的信號種數是：Aeq\o\al(1，3)＋Aeq\o\al(2,3）＋Aeq\o\al（3，3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15種不同的信號．【變練演編】將4位司機、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員,共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個問題可以分為兩步，第一步：把4位司機分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從4個不同元素中取出4個元素排成一列，有Aeq\o\al(4，4)種方法；第二步:把4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有Aeq\o\al(4,4)種方法．利用分步乘法計數原理即得分配方案的種數．解：由分步乘法計數原理，分配方案種數共有N＝Aeq\o\al(4,4）·Aeq\o\al（4，4）＝576.即共有576種不同的分配方案．類型二:有約束條件的排列問題（特殊位置分析法、特殊元素分析法)例2用0到9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？思路分析：在本問題的0到9這10個數字中,因為0不能排在百位上，而其他數可以排在任意位置上,因此0是一個特殊的元素．一般的，我們可以從特殊元素的排列位置入手來考慮問題．解法一：由于在沒有重復數字的三位數中，百位上的數字不能是0，因此可以分兩步完成排列．第1步，排百位上的數字，可以從1到9這九個數字中任選1個，有Aeq\o\al（1，9）種選法；第2步，排十位和個位上的數字，可以從余下的9個數字中任選2個，有Aeq\o\al（2，9）種選法（如圖）．根據分步乘法計數原理,所求的三位數的個數為Aeq\o\al（1,9）×Aeq\o\al（2,9）＝9×9×8＝648。解法二：如圖所示,符合條件的三位數可分成3類．每一位數字都不是0的三位數有Aeq\o\al(3,9)個,個位數字是0的三位數有Aeq\o\al(2,9)個,十位數字是0的三位數有Aeq\o\al（2，9)個．根據分類加法計數原理，符合條件的三位數的個數為Aeq\o\al（3，9）＋Aeq\o\al(2，9）＋Aeq\o\al(2,9）＝648.解法三：從0到9這10個數字中任取3個數字的排列數為Aeq\o\al(3，10），其中0在百位上的排列數是Aeq\o\al(2,9）,它們的差就是用這10個數字組成的沒有重復數字的三位數的個數，即所求的三位數的個數是Aeq\o\al（3，10）－Aeq\o\al（2,9）＝10×9×8－9×8＝648。點評:對于例2這類計數問題，可用適當的方法將問題分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法．解法一根據百位數字不能是0的要求，分步完成選3個數組成沒有重復數字的三位數這件事,依據的是分步乘法計數原理；解法二以0是否出現以及出現的位置為標準，分類完成這件事情,依據的是分類加法計數原理;解法三是一種逆向思考方法:先求出從10個不同數字中選3個不重復數字的排列數，然后從中減去百位是0的排列數（即不是三位數的個數），就得到沒有重復數字的三位數的個數．從上述問題的解答過程可以看到,引進排列的概念,以及推導求排列數的公式，可以更加簡便、快捷地求解“從n個不同元素中取出m（m≤n)個元素的所有排列的個數"這類特殊的計數問題．【鞏固練習】從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單,如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：(從特殊位置考慮）Aeq\o\al(1,9)Aeq\o\al（5,9)＝136080；解法二：（從特殊元素考慮)若選：5·Aeq\o\al(5,9)；若不選:Aeq\o\al(6，9)，則共有5·Aeq\o\al（5，9)＋Aeq\o\al(6,9）＝136080種；解法三:（間接法）Aeq\o\al(6，10）－Aeq\o\al（5,9）＝136080.【變練演編】A、B、C、D、E五個人排成一排照相，其中A、B不能排在兩端，C不能排在中間，共有多少種不同的排法？解法一：若A、B排在中間，則從A、B中選一個排在中間有Aeq\o\al（1，2）種排法,另一個不在兩端的位置上有Aeq\o\al(1,2)種排法，其余三個人排在剩下的三個位置上有Aeq\o\al（3，3）種排法,根據分步乘法計數原理，共有Aeq\o\al（1，2）Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al（3,3）＝24種不同的排法．若A、B不排在中間，則有Aeq\o\al(2，2）種排法，C不排在中間有Aeq\o\al(1，2）種排法，其余兩個人排在剩下的兩個位置上有Aeq\o\al（2,2)種排法，根據分步乘法計數原理,共有Aeq\o\al(2，2)Aeq\o\al（1,2）Aeq\o\al(2，2）＝8種不同的排法．根據分類加法計數原理，共有24＋8＝32種不同的排法．解法二：若C排在兩端，有Aeq\o\al(1,2）種排法，另一端從D、E中選一個人，有Aeq\o\al(1，2)種排法,剩下三個人排在剩下的三個位置上有Aeq\o\al(3，3）種排法，根據分步乘法計數原理，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1，2）Aeq\o\al(3，3）＝24種不同的排法．若C不排在兩端，有Aeq\o\al(1，2）種排法，兩端排列D、E,有Aeq\o\al(1，2)種排法，剩下兩個人排在剩下的兩個位置上有Aeq\o\al（2，2）種排法，根據分步乘法計數原理，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al（2,2)＝8種不同的排法．根據分類加法計數原理，共有24＋8＝32種不同的排法．【達標檢測】1．一個火車站有8股岔道,停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車)？2．一部紀錄影片在4個單位輪映,每一單位放映1場，有多少種輪映次序？3．6個人站成前后兩排照相，要求前排2人,后排4人，那么不同的排法共有…()A．30種B．360種C．720種D．1440種答案：1.Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝16802.Aeq\o\al（4，4）＝4×3×2×1＝243.Ceq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結))1．知識收獲：對于較復雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是“正面湊”，一個是“反過來剔”．前者指，按照要求，一點點選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求,選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列數的意義，掌握排列數公式及推導方法，從中體會“化歸"的數學思想,并能運用排列數公式進行計算．2．方法收獲：“化歸"的數學思想方法．3．思維收獲:“化歸”的數學思想方法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補充練習）)【基礎練習】1．從4種蔬菜品種中選出3種,分別種植在不同土質的3塊土地上進行試驗，有__________種不同的種植方法．2．從參加乒乓球團體比賽的5名運動員中選出3名進行某場比賽，并排定他們的出場順序，有__________種不同的方法．3．信號兵用3種不同顏色的旗子各一面,每次打出3面,最多能打出不同的信號有__________種．4．由數字1、2、3、4、5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有多少個?答案：1.242.603.6解答：4。解法一：(正向思維法)個位數上的數字排列數有Aeq\o\al(1,2）種（從2、4中選)；萬位上的數字排列數有Aeq\o\al(1,3)種(5不能選）,十位、百位、千位上的排列數有Aeq\o\al(3，3)種，故符合題意的偶數有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al（3，3）＝36個．解法二:（逆向思維法）由1、2、3、4、5組成無重復數字的5位數有Aeq\o\al（5，5)個，減去其中奇數的個數Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al(4，4)個，再減去偶數中大于50000的數Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)個，符合題意的偶數共有：Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al（1,3)Aeq\o\al（4，4）－Aeq\o\al(1,2）Aeq\o\al(3，3）＝36個．【拓展練習】5．一天要排語、數、英、化、體、班會六節(jié)課，要求上午的四節(jié)課中，第一節(jié)不排體育課，數學排在上午；下午兩節(jié)中有一節(jié)排班會課，問共有多少種不同的排法？解答:若數學排在第一節(jié)，班會課的排法為Aeq\o\al(1，2)種，其余4節(jié)課的排法有Aeq\o\al(4，4）種，根據分步乘法計數原理，共有Aeq\o\al（1,2）Aeq\o\al(4，4)＝48種；若第一節(jié)課不排數學，第一節(jié)課的排法有Aeq\o\al(1，3)種，數學課的排法有Aeq\o\al(1，3）種，班會課的排法為Aeq\o\al（1,2）種,其余3節(jié)課的排法有Aeq\o\al（3,3）種,根據分步乘法計數原理，共有Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al（1,3)Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al(3,3）＝108種．根據分類加法計數原理得，共有48＋108＝156種．eq\o(\s\up7(），\s\do5（設計說明））本節(jié)課是排列的第二課時,本節(jié)課的主要目標是在老師的帶領下,體會排列數公式的應用，體會把具體計數問題劃歸為排列問題的過程．本節(jié)課的設計特點是：教師的問題是主線，學生的探究活動是主體，師生合作,共同完成知識和方法的總結．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(備課資料))多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮，再分段處理．例1(1）