數(shù)學(xué)教案：三視圖

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(）,\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析在上一節(jié)認(rèn)識(shí)空間幾何體直觀圖的基礎(chǔ)上，本節(jié)來(lái)學(xué)習(xí)空間幾何體的表示形式，以進(jìn)一步提高對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)．主要內(nèi)容是：畫(huà)出空間幾何體的三視圖．比較準(zhǔn)確地畫(huà)出幾何圖形，是學(xué)好立體幾何的前提．因此,本節(jié)內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ)之一，教學(xué)中應(yīng)給以充分的重視．畫(huà)三視圖是學(xué)習(xí)立體幾何的基本技能,同時(shí)，通過(guò)三視圖的學(xué)習(xí)，可以豐富學(xué)生的空間想象力．“視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖．光線自物體的前面向后投影所得的投影圖稱為“主視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“左視圖”，自上向下投影所得的投影圖稱為“俯視圖”．用這三種視圖即可刻畫(huà)空間物體的幾何結(jié)構(gòu)特征，這種圖稱之為“三視圖"．三維目標(biāo)1．了解空間圖形的不同表示形式和相互轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法．2．能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖,并能識(shí)別上述三視圖表示的立體模型，會(huì)用材料（如紙板）制作模型，提高學(xué)生識(shí)圖和畫(huà)圖的能力，培養(yǎng)其探究精神和意識(shí)．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：畫(huà)出簡(jiǎn)單組合體的三視圖，給出三視圖，還原或想象出原實(shí)際圖的結(jié)構(gòu)特征．教學(xué)難點(diǎn)：識(shí)別三視圖所表示的幾何體．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7（）,\s\do5(教學(xué)過(guò)程））導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.能否熟練畫(huà)出上節(jié)所學(xué)習(xí)的幾何體？工程師如何制作工程設(shè)計(jì)圖紙？我們常用三視圖和直觀圖表示空間幾何體,三視圖是觀察者從三個(gè)不同角度觀察同一個(gè)幾何體而畫(huà)出的圖形；直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體而畫(huà)出的圖形．三視圖和直觀圖在工程建設(shè)、機(jī)械制造以及日常生活中具有重要意義．本節(jié)我們將在學(xué)習(xí)投影知識(shí)的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖．教師指出課題:三視圖．設(shè)計(jì)2?！皺M看成嶺側(cè)成峰”，這說(shuō)明從不同的角度看同一物體視覺(jué)的效果可能不同，要比較真實(shí)地反映出物體的結(jié)構(gòu)特征，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖．在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、球的三視圖(主視圖、左視圖、俯視圖)，你能畫(huà)出空間幾何體的三視圖嗎？教師點(diǎn)出課題：三視圖．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問(wèn)題）)1在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、球的三視圖，請(qǐng)你回憶三視圖包含哪些部分？2主視圖、左視圖和俯視圖各是如何得到的？3一般地，怎樣排列三視圖？4主視圖、左視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影圖,它們都是平面圖形。觀察長(zhǎng)方體的三視圖，你能得出同一個(gè)幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關(guān)系嗎?討論結(jié)果：（1)三視圖包含主視圖、左視圖和俯視圖．（2）光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的主視圖(又稱正視圖）;光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的左視圖（又稱側(cè)視圖)；光線從幾何體的上面向下面正投影,得到的投影圖叫做該幾何體的俯視圖．(3）三視圖的位置關(guān)系：一般地,左視圖在主視圖的右邊;俯視圖在主視圖的下邊．如下圖所示．(4）投影規(guī)律:①主視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;左視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度．②一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖高度一樣，主視圖和俯視圖長(zhǎng)度一樣，左視圖和俯視圖寬度一樣,即主、俯視圖—-長(zhǎng)對(duì)正;主、左視圖—-高平齊；俯、左視圖——寬相等．畫(huà)組合體的三視圖時(shí)要注意的問(wèn)題:(1)要確定好主視、左視、俯視的方向，同一物體三視的方向不同，所畫(huà)的三視圖可能不同．（2）判斷簡(jiǎn)單組合體的三視圖是由哪幾個(gè)基本幾何體生成的,注意它們的生成方式，特別是它們的交線位置．(3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中,分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，不可見(jiàn)輪廓線，用虛線畫(huà)出．(4)要檢驗(yàn)畫(huà)出的三視圖是否符合“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等"的基本特征，即主、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正;主、左視圖高平齊;俯、左視圖寬相等,前后對(duì)應(yīng)．由三視圖還原為實(shí)物圖時(shí)要注意的問(wèn)題:我們由實(shí)物圖可以畫(huà)出它的三視圖，實(shí)際生產(chǎn)中,工人要根據(jù)三視圖加工零件，需要由三視圖還原成實(shí)物圖，這要求我們能由三視圖想象它的空間實(shí)物形狀，主要通過(guò)主、俯、左視圖的輪廓線（或補(bǔ)充后的輪廓線）還原成常見(jiàn)的幾何體，還原實(shí)物圖時(shí)，要先從三視圖中初步判斷簡(jiǎn)單組合體的組成，然后利用輪廓線（特別要注意虛線）逐步作出實(shí)物圖．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例）)思路1例1圖(1)所示的是一個(gè)零件的直觀圖,畫(huà)出這個(gè)幾何體的三視圖．（1）(2）解：這個(gè)幾何體的三視圖如圖（2)所示．在視圖中，被擋住的輪廓線畫(huà)成虛線，尺寸線用細(xì)實(shí)線標(biāo)出；D表示直徑，R表示半徑;單位不注明時(shí)按mm計(jì)．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖．對(duì)于簡(jiǎn)單空間幾何體的組合體，一定要認(rèn)真觀察，先認(rèn)識(shí)它的基本結(jié)構(gòu)，然后再畫(huà)它的三視圖．變式訓(xùn)練1。畫(huà)出下圖所示的幾何體的三視圖．答案：三視圖如下圖所示．例2圖(1)所示的是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，畫(huà)出它的直觀圖．(1）(2)解：從獎(jiǎng)杯的三視圖可以看出，獎(jiǎng)杯的底座是一個(gè)正棱臺(tái),它的上底面是邊長(zhǎng)為60mm的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為100mm的正方形，高為20mm.底座的上面是一個(gè)底面對(duì)角線長(zhǎng)為40mm，高72mm的正四棱柱，它的底面的對(duì)角線分別與棱臺(tái)底面的邊平行,它的底面的中心在棱臺(tái)上、下底面中心的連線上．獎(jiǎng)杯的最上部，在正四棱柱上底面的中心放著一個(gè)直徑為28mm的球．根據(jù)以上分析，畫(huà)出獎(jiǎng)杯的直觀圖，如上圖(2）所示．變式訓(xùn)練螺栓是棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體，如圖1，畫(huà)出它的三視圖．解：該物體是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組合而成的，主視圖反映正六棱柱的三個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面，左視圖反映正六棱柱的兩個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面，俯視圖反映該物體投影后是一個(gè)正六邊形和一個(gè)圓(中心重合)．它的三視圖為圖2.圖1圖2思路2例3如圖甲所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心,則四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是下圖乙中的__________．活動(dòng)：要畫(huà)出四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影，只需畫(huà)出四個(gè)頂點(diǎn)A、G、F、E在每個(gè)面上的投影，再順次連結(jié)即得到在該面上的投影，并且在兩個(gè)平行平面上的投影是相同的．解析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是圖乙(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是圖乙（2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是上圖乙（3)．答案：（1）（2）（3）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行投影和空間想象能力．畫(huà)出一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)(如頂點(diǎn)）等，畫(huà)出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連結(jié)即可得此圖形在該平面上的投影．如果對(duì)平行投影理解不充分，做該類題目容易出現(xiàn)不知所措的情形，避免出現(xiàn)這種情形的方法是依據(jù)平行投影的含義，借助于空間想象來(lái)完成．變式訓(xùn)練如圖(1)所示,E、F分別為正方體面ADD′A′、面BCC′B′的中心，則四邊形BFD′E在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖(2)的________．解析:四邊形BFD′E在正方體ABCD—A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是C；在面DCC′D′、面ABB′A′上的投影是B；同理，在面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也是B.答案：BC例4如下圖所示,甲、乙、丙是三個(gè)立體圖形的三視圖，甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)正確的是（)①長(zhǎng)方體②圓錐③三棱錐④圓柱A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④解析：由于甲的俯視圖是圓,則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因主視圖和左視圖均是矩形，則甲是圓柱；由于乙的俯視圖是三角形，則該幾何體是多面體，又因主視圖和左視圖均是三角形，則該多面體的各個(gè)面都是三角形，則乙是三棱錐；由于丙的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體,又因主視圖和左視圖均是三角形，則丙是圓錐．答案:A點(diǎn)評(píng):本題主要考查三視圖和簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征．根據(jù)三視圖想象空間幾何體,是培養(yǎng)空間想象能力的重要方式，這需要根據(jù)幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖的幾何特征，想象整個(gè)幾何體的幾何特征,從而判斷三視圖所描述的幾何體．通常是先根據(jù)俯視圖判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合主視圖和左視圖確定具體的幾何結(jié)構(gòu)特征,最終確定是簡(jiǎn)單幾何體還是簡(jiǎn)單組合體．變式訓(xùn)練1．圖1是一幾何體的三視圖，想象該幾何體的幾何結(jié)構(gòu)特征，畫(huà)出該幾何體的形狀．圖1圖2解析：由于俯視圖有一個(gè)圓和一個(gè)四邊形，則該幾何體是由旋轉(zhuǎn)體和多面體拼接成的組合體,結(jié)合左視圖和主視圖，可知該幾何體是上面一個(gè)圓柱，下面是一個(gè)四棱柱拼接成的組合體．答案：上面一個(gè)圓柱,下面是一個(gè)四棱柱拼接成的組合體．該幾何體的形狀如圖2所示．2。（2007山東高考,理3）如下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方體的三視圖都是正方形，所以①不符合題意,排除A、B、C。答案：D點(diǎn)評(píng)：雖然三視圖的畫(huà)法比較煩瑣,但是三視圖是考查空間想象能力的重要形式，因此是新課標(biāo)高考的必考內(nèi)容之一，足夠的空間想象能力才能保證順利解決三視圖問(wèn)題．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練)）1．下列各項(xiàng)不屬于三視圖的是（)A．主視圖B．左視圖C．后視圖D．俯視圖解析:根據(jù)三視圖的規(guī)定,后視圖不屬于三視圖．答案：C2．兩條相交直線的平行投影是(）A．兩條相交直線B．一條直線C．兩條平行直線D．兩條相交直線或一條直線解析：借助于長(zhǎng)方體模型來(lái)判斷，如下圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，一束平行光線從正上方向下照射．則相交直線CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一條直線CD,相交直線CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是兩條相交直線CD和BD.答案：D3．甲、乙、丙、丁四人分別面對(duì)面坐在一個(gè)四邊形桌子旁邊,桌上一張紙上寫(xiě)著數(shù)字“9”,如下圖所示．甲說(shuō)他看到的是“6”,乙說(shuō)他看到的是“6”，丙說(shuō)他看到的是“9”,丁說(shuō)他看到的是“9”，則下列說(shuō)法正確的是（）A．甲在丁的對(duì)面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊B．丙在乙的對(duì)面，丙的左邊是甲，右邊是乙C．甲在乙的對(duì)面，甲的右邊是丙,左邊是丁D．甲在丁的對(duì)面，乙在甲的右邊,丙在丁的右邊解析：由甲、乙、丙、丁四人的敘述,可以知道這四人的位置如下圖所示，由此可得甲在丁的對(duì)面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊．答案:D4．如果一個(gè)空間幾何體的主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形,俯視圖為一個(gè)圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體為(）A．棱錐B．棱柱C．圓錐D．圓柱解析：由于俯視圖是一個(gè)圓及其圓心，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形，則該幾何體是圓錐．答案：C5．某幾何體的三視圖如下圖所示，那么這個(gè)幾何體是()A．三棱錐B．四棱錐C．四棱臺(tái)D．三棱臺(tái)解析：由所給三視圖可以判定對(duì)應(yīng)的幾何體是四棱錐．答案：B6．用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如下圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是(）A．8B．7C．6D．5解析：由主視圖和左視圖可知，該幾何體有兩層小正方體拼接成，由俯視圖，可知最下層有5個(gè)小正方體，由左視圖可知上層僅有一個(gè)正方體，則共有6個(gè)小正方體．答案：C7．畫(huà)出下圖所示正四棱錐的三視圖．解析：正四棱錐的主視圖與左視圖均為等腰三角形，俯視圖為正方形，對(duì)角線體現(xiàn)正四棱錐的四條側(cè)棱．答案：正四棱錐的三視圖如下圖．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升)）問(wèn)題：用數(shù)個(gè)小正方體組成一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如下圖所示，俯視圖中小正方形中的字母表示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù)．（1)你能確定哪些字母表示的數(shù)？（2)該幾何體可能有多少種不同的形狀？分析:解決本題的關(guān)鍵在于觀察主視圖、俯視圖,利用三視圖規(guī)則中的“在三視圖中，每個(gè)視圖都反映物體兩個(gè)方向的尺寸．主視圖反映物體的上下和左右尺寸，俯視圖反映物體的前后和左右尺寸，左視圖反映物體的前后和上下尺寸”．又“主視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖高平齊,俯視圖與左視圖寬相等"，所以,我們可以得到a＝3，b＝1，c＝1，d，e，f中的最大值為2。解：(1）面對(duì)數(shù)個(gè)小立方體組成的幾何體,根據(jù)對(duì)主視圖與俯視圖的觀察我們可以得出下列結(jié)論：①a＝3，b＝1，c＝1；②d，e，f中的最大值為2.所以上述字母中我們可以確定的是a＝3，b＝1，c＝1.（2）當(dāng)d，e，f中有一個(gè)是2時(shí),有3種不同的形狀；當(dāng)d，e，f有兩個(gè)是2時(shí)，有3種不同的形狀;當(dāng)d，e，f都是2時(shí),有一種形狀．所以該幾何體可能有7種不同的形狀．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))本節(jié)課學(xué)習(xí)了:1．中心投影和平行投影．2．簡(jiǎn)單幾何體和組合體的三視圖的畫(huà)法及其投影規(guī)律．3．由三視圖判斷原幾何體的結(jié)構(gòu)特征．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)))本節(jié)練習(xí)A2，3,4題．eq\o(\s\up7(），\s\do5(設(shè)計(jì)感想)）本節(jié)課的教學(xué)，以課程標(biāo)準(zhǔn)為指南，結(jié)合學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)而設(shè)計(jì)．設(shè)計(jì)時(shí)考慮到課程標(biāo)準(zhǔn)和高考要求，重點(diǎn)講解由三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，也就是畫(huà)三視圖時(shí),尺寸不作嚴(yán)格要求．教學(xué)設(shè)計(jì)中使用了大量圖片，建議在實(shí)際應(yīng)用時(shí)盡量