湘教版九年級數(shù)學上冊全冊各章節(jié)課時教學設計

湘教版九年級數(shù)學上冊教學設計

第1章反比例函數(shù).................................................................2

1.1反比例函數(shù)...............................................................2

1.2反比例函數(shù)的圖象與性質..................................................5

1.3反比例函數(shù)的應用........................................................14

第2章一元二次方程..............................................................17

2.1一元二次方程............................................................17

2.2一元二次方程的解法......................................................20

2.3一元二次方程根的判別式..................................................32

*2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系.............................................34

2.5一元二次方程的應用......................................................38

第3章圖形的相似................................................................46

3.1比例線段................................................................46

3.2平行線分線段成比例.....................................................52

3.3相似圖形................................................................55

3.4相似三角形的判定與性質.................................................58

3.5相似三角形的應用........................................................75

3.6位似....................................................................77

第4章銳角三角函數(shù)..............................................................82

4.1正弦和余弦..............................................................82

4.2正切....................................................................89

4.3解直角三角形............................................................92

4.4解直角三角形的應用.....................................................96

第5章用樣本推斷總體...........................................................105

5.1總體平均數(shù)與方差的估計.................................................105

5.2統(tǒng)計的簡單應用.........................................................107

第1章反比例函數(shù)

1.1反比例函數(shù)

教學目標

1.使學生理解并掌握反比例函數(shù)的概念。

2.能判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。

3.能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，體會函數(shù)的模型思想。

教學重難點

【教學重點】

理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式。

【教學難點】

理解反比例函數(shù)的概念。

教學過程

一、創(chuàng)設情景探究問題

情境1：隨著速度的變化，全程所用時間發(fā)生怎樣的變化？

當路程一定時，速度與時間成什么關系？(s=vt)

當一個長方形面積一定時，長與寬成什么關系？

［說明］這個情境是學生熟悉的例子，當中的關系式學生都列得出來，鼓勵學生積極

思考、討論、合作、交流，最終讓學生討論出：當兩個量的積是一個定值時，這兩個

量成反比例關系，如xy=m(m為一個定值)，則x與y成反比例。

這一情境為后面學習反比例函數(shù)概念作鋪墊。

情境2：

汽車從南京出發(fā)開往上海(全程約300km),全程所用時間t(h)隨速度v(km/h)

的變化而變化.

問題：

(1)你能用含有v的代數(shù)式表示t嗎？

(2)利用(1)的關系式完成下表：

v/(km/

608090100120

h)

t/h

(3)速度v是時間t的函數(shù)嗎？為什么？

情境3：

用函數(shù)關系式表示下列問題中兩個變量之間的關系：

(1)一個面積為6400m2的長方形的長a(m)隨寬b(m)的變化而變化；

(2)某銀行為資助某社會福利廠，提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額

y(萬元)隨還款年限x(年)的變化而變化；

(3)游泳池的容積為500(W,向池內注水，注滿水所需時間t(h)隨注水速度v(m7h)

的變化而變化；

(4)實數(shù)m與n的積為一200,m隨n的變化而變化.

問題：

(1)這些函數(shù)關系式與我們以前學習的一次函數(shù)、正比例函數(shù)關系式有什么不同？

(2)它們有一些什么特征？

(3)你能歸納出反比例函數(shù)的概念嗎？

|z

一般地，形如y=-(k為常數(shù)，kWO)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y

X

是X的函數(shù)，k是比例系數(shù).

反比例函數(shù)的自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)

二、例題教學

例1：下列關系式中的y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？

/\x/、2/、y［3/、1/、*\/2+1/、

⑴y=7^；(2)y=---7;(3)y=—」一；(4)y=—-3；⑸y=U----；(6)y

15x—1xxx

x,/、一1

=3+2；⑺'

221

例2：在函數(shù)y=『—1,y=^7i?y=xy=2^中，y是x的反比例函數(shù)的有個.

［說明］這個例題也是引導學生從反比例函數(shù)概念入手，著重從形式上進行比較，識

別一些反比例函數(shù)的變式，如y=kxT的形式.還有y=4—1通分為y=——，y、X

XX

2

都是變量，分子不是常量，故不是反比例函數(shù)，但變?yōu)閥+l=：可說成(y+1)與x

成反比例.

例3：若y與x成反比例，且x=-3時,y=7,則y與x的函數(shù)關系式為.

［說明］這個例題引導學生觀察、討論，并回顧以前求一次函數(shù)關系式時所用的方法,

初步感知用“待定系數(shù)法”來求比例系數(shù)，并引導學生歸納求反比例函數(shù)關系式的一

般方法，即只需己知一組對應值即可求比例系數(shù).

三、拓展練習

1、寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)關系式，并判斷其是否為反比例函數(shù).如果

是，指出比例系數(shù)k的值.

(1)底邊為5cm的三角形的面積y(cm2)隨底邊上的高x(cm)的變化而變化；

(2)某村有耕地面積200ha,人均占有耕地面積y(ha)隨人口數(shù)量x(人)的變化

而變化；

(3)一個物體重120N,物體對地面的壓強p(N/m2)隨該物體與地面的接觸面積S

(m2)的變化而變化.

2、下列哪些關系式中的y是x的反比例函數(shù)？如果是，比例系數(shù)是多少？

22

(1)y=ax；(2)y=—；(3)xy+2=0；

。ox

2

(4)xy=0；(5)x=-.

3y

3、已知函數(shù)丫=(m+1)是反比例函數(shù)，則m的值為,

四、課堂小結

這節(jié)課你學到了什么？還有那些困惑？

五、布置作業(yè)：

1.2反比例函數(shù)的圖象與性質

第1課時

教學目標

1、體會并了解反比例函數(shù)的圖象的意義。

2、能描點畫出反比例函數(shù)的圖象。

3、通過反比例函數(shù)的圖象的分析，探索并掌握反比例函數(shù)的圖象的性質。

教學重難點

【教學重點】

反比例函數(shù)的圖象及圖象的性質。

【教學難點】

畫反比例函數(shù)的圖象。

教學過程

1、情境創(chuàng)設

可以從復習一次函數(shù)的圖象開始：你還記得一次函數(shù)的圖象嗎？在回憶與交流中，

進一步認識函數(shù)圖象的直觀有助于理解函數(shù)的性質。轉而導人關注新的函數(shù)一一反比

例函數(shù)的圖象研究：反比例函數(shù)的圖象又會是什么樣子呢？

2、探索活動

探索活動反比例函數(shù)y=￡的圖象.

X

由于反比例函數(shù)y=9的圖象是曲線型的，且分成兩支.對此，學生第一次接觸

X

有一定的難度，因此需要分幾個層次來探求：

(1)可以先估計一一例如:位置(圖象所在象限、圖象與坐標軸的交點等)、趨勢(上

升、下降等)；

(2)方法與步驟一一利用描點作圖；

列表：取自變量x的哪些值？一一x是不為零的任何實數(shù)，所以不能取x的值的

為零，但仍可以以零為基準，左右均勻，對稱地取值。

描點：依據(jù)什么(數(shù)據(jù)、方法)找點？

連線：怎樣連線？一一可在各個象限內按照自變量從小到大的順序用兩條光滑的曲線

把所描的點連接起來。

3、例題教學課本安排例1,(1)鞏固反比例函數(shù)的圖象的性質。(2)是為了引導學

生認識到：由于在反比例函數(shù)y=&(k>0)中，只要常數(shù)k的值確定，反比例函數(shù)就

X

確定了.因此要確定一個反比例函數(shù)，只需要一對對應值或圖象上一個點的坐標即

可.（3）可以先設問：能否利用圖象的性質來畫圖？

4、應用知識，體驗成功

練筆：課本“課內練習”1.2.3

5、歸納小結，反思提高

用描點法作圖象的步驟

反比例函數(shù)的圖象的性質

6、布置作業(yè)

作業(yè)本（1）課本“作業(yè)題”

教學反思：

本次教學過程中，引導學生動手繪制函數(shù)圖象，切實感受函數(shù)圖象的基本特性，在加

深學生理解的同時提升學生動手解決問題的能力.在自主探究和合作交流過程中，學

生能力得到有效提升，并為下一課時的學習打下良好的基礎.

第2課時

教學目標

1、體會并了解反比例函數(shù)的圖象的意義

2、能描點畫出反比例函數(shù)的圖象

3、通過反比例函數(shù)的圖象的分析，探索并掌握反比例函數(shù)的圖象的性質

教學重難點

【教學重點】

反比例函數(shù)的圖象及圖象的性質。

【教學難點】

畫反比例函數(shù)的圖象。

教學過程

1、情境創(chuàng)設

可以從復習一次函數(shù)的圖象開始：你還記得一次函數(shù)的圖象嗎?在回憶與交流中，

進一步認識函數(shù)圖象的直觀有助于理解函數(shù)的性質。轉而導人關注新的函數(shù)一一反比

例函數(shù)的圖象研究：反比例函數(shù)的圖象又會是什么樣子呢？

2、探索活動

探索活動2反比例函數(shù)y=-勺的圖象.

X

可以引導學生采用多種方式進行自主探索活動：

(1)可以用畫反比例函數(shù)＞的圖象的方式與步驟進行自主探索其圖象；

X

(2)可以通過探索函數(shù)y=9與＞之間的關系，畫出y=-9的圖象.

XXX

探索活動3反比例函數(shù)了=-色與y=9的圖象有什么共同特征？

XX

引導學生從通過與一次函數(shù)的圖象的對比感受反比例函數(shù)圖象“曲線”及“兩支”

的特征.

反比例函數(shù)y=4(kWO)的圖象是由兩個分支組成的曲線。當女＞0時，圖象在一、三

X

象限：當左＜0時，圖象在二、四象限。

反比例函數(shù)y='(k#O)的圖象關于直角坐標系的原點成中心對稱。

x

3、例題教學課本安排例1,(1)鞏固反比例函數(shù)的圖象的性質。(2)是為了引導學

生認識到：由于在反比例函數(shù)y=&(krO)中，只要常數(shù)k的值確定，反比例函數(shù)就

X

確定了.因此要確定一個反比例函數(shù)，只需要一對對應值或圖象上一個點的坐標即

可.(3)可以先設問：能否利用圖象的性質來畫圖？

4、應用知識，體驗成功

練筆：課本“課內練習”1.2.3

5、歸納小結，反思提高

〃圖象的畫法：列表、描點、連線

函數(shù)圖象：由在第二、四象限內的兩

k<支曲線組成

y=-(A<0)

x性質：在每個象限內，展x的增大

、而增大

6、布置作業(yè)

作業(yè)本(1)課本“作業(yè)題”

教學反思：

教學的過程中，引導新的問題引發(fā)學生自主解答，在解決問題的過程中，加深對知識

的理解和鞏固.自主探究和合作交流相互結合，循序漸進，逐步積累解決問題的基本

技巧，使學生能夠適應考試命題方向.

第3課時

教學目標

1.進一步鞏固作反比例函數(shù)的圖象.

2.逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質.

教學重難點

【教學重點】

通過觀察圖象，概括反比例函數(shù)圖象的共同特征，探索反比例函數(shù)的主要性質.

【教學難點】

從反比例函數(shù)的圖象中歸納總結反比例函數(shù)的主要性質.

教學過程

I.創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］上節(jié)課我們學習了畫反比例函數(shù)的圖象，并通過圖象總結出當k>0時，函數(shù)圖象

的兩個分支分別位于第一、三象限內；當k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第

二、四象限內.并討論了反比例函數(shù)y=±與y=-3的圖象的異同點.這是從函數(shù)的圖象

XX

位于哪些象限來研究了反比例函數(shù)的.

我們知道在學習正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象時，還研究了當k>0時，y的值隨x的

增大而增大，當kVO時，y的值隨x值的增大而減小，即函數(shù)值隨自變量的變化而

變化的情況，以及函數(shù)圖象與x軸，y軸的交點坐標.本節(jié)課我們來研究一下反比例

函數(shù)的有關性質.

H.新課講解

1.做一做

［師］觀察反比例函數(shù)y=42,y=43,y=69的形式，它們有什么共同點？

XXX

［生］表達式中的k都是大于零的.

［師］大家的觀察能力非同一般吶！下面再用你們的慧眼觀察它們的圖象，總結它們的

共同特征.

(1)函數(shù)圖象分別位于哪幾個象限？

(2)在每一個象限內，隨著x值的增大.y的值是怎樣變化

的？能說明這是為什么嗎？

⑶反比例函數(shù)的圖象可能與x軸相交嗎?可能與y軸相

交嗎？為什么？

［師］請大家先獨立思考，再互相交流得出結論.

［生］(1)函數(shù)圖象分別位于第一、三象限內.

(2)從圖象的變化趨勢來看，當自變量x逐漸增大時，

函數(shù)值y逐漸減小.

(3)因為圖象在逐漸接近x軸,y軸，所以當自變量取很小或很大的數(shù)時，圖象能與x

軸y軸相交.

［師］大家同意他的觀點嗎？

［生］不同意⑶的觀點.

［師］能解釋一下你的觀點嗎？

［生］從關系式y(tǒng)=4中看，因為xWO,所以圖象與y軸不可能能有交點；因為不論x

x

取任何實數(shù)，2是常數(shù)，y=上2永遠也不為0,所以圖象與x軸心也不可能有交點.

x

［師］對于(1)和(3)我不需要再說什么了，因為大家都回答的非常棒，不面我再補充一

下(2).觀察函數(shù)y=4的圖象，在第一象限我任取兩點A(xi,yjB(x2,y2),分別向

x

X軸，y軸作垂線，找到對應的Xi,X2,yi,丫2,因為在坐標軸上能比較出X1與x2,與y2

的大小，所以就可判斷函數(shù)值的變化隨自變址的變化是如何變化的.山圖可知x.<

x2,y2<y1,所以在第一象限內有y隨x的增大而減小.

同理可知在其他象限內y隨x的增大而如何變化.大家可以分組驗證上圖中的其他五

種情況.

［生］情況都一樣.

［師］能不能總結一下.

［生］當k>0時，函數(shù)圖象分別位于第一、三象限內，并且在每一個象限內，y隨x的

增大而減小.

2.議一議

［師］剛才我們研究了y=2,y=±y=9的圖象的性質，下面用類推的方法來研究y

XXX

y=-±,y=-9的圖象有哪些共同特征？

XXX

［生］(l)y=-2,y=--,y=-&中的k都小于0,它們的圖象都位于第二，四象限，所

XXX

以當A<0時，反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限內.

⑵在圖象丫=-±2中，在第二象限內任取兩點A(Xi,y3B(X2,y，可知x〉X2,y?yz,所

x

以可以得出當自變量逐漸減小時，函數(shù)值也逐漸減小，即函數(shù)值y隨自變量x的增大

而增大.

⑶這些反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交.

［師］通過我們剛才的討論，可以得出如下結論：

反比例函數(shù)y=七的圖象，當k>0時，在每一象限內，y的值隨x值的增大而減??；

x

當k<0時，在每一象限內，y的值隨x值的增大而增大.

3.想一想

⑴在一個反比例函數(shù)圖象任取兩點P、Q,過點Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐

標軸圍成的矩形面積為Sv過點Q分別作x軸y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面

積為S2,Si與S?有什么關系?為什么？

⑵將反比例函數(shù)的圖象繞原點旋轉180°后.能與原來的圖象重合嗎？

［師］在下面的圖象上進行探討.

J

4

3

2

Ep，，乂)

y

一

［生］設P(x“y3過P點分別作x軸，y軸的平行線，與兩坐標軸圍成的矩形面積為

Si,則Si=IX)I-IyiI=IXiYi).

?.?（X］,y）在反比例函數(shù)y=X圖象上，所以y1=',即x1yi=k.

xx}

.*.Si=IkI.

同理可知S2=IkI,

所以Si=S2

［師］從上面的圖中可以看出，P、Q兩點在同一支曲線上，如果P,Q分別在不同的曲

線，情況又怎樣呢？

［生］Si=Ix,y,I=IkI,

S2=Ix2y2I=Ik|.

［師］因此只要是在同一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P、Q.不管P、Q是在同一支曲

線上，還是在不同的曲線上.過P、Q分別作x.軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩

形面積為S”S2,則有S尸S2.

⑵將反比例函數(shù)的圖象繞原點旋轉180°后，能與原來的圖象重合，這個問題在上

節(jié)課中我們已做過研究.

III.課堂練習

P155隨堂練習

IV.課時小結

本節(jié)課學習了如下內容.

1.反比例函數(shù)y=（的圖象，當k0時，在第一、三象限內，在每一象限內，y的值隨,

X

值的增大而減小；當k<0時，圖象在第二、四象限內，y的值隨X值的增大而增大.

2.在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P,Q,分別過P,Q作x軸、y軸的平行線，與

坐標軸圍成的矩形面積為Si,Sz，則有Si=S?.

3.將反比例函數(shù)的圖象繞原點旋轉180°后，能與原來的圖形重合.即反比例函數(shù)是

中心對稱圖形.

4.反比例函數(shù)的圖象既不能與x軸相交也不能與y軸相交，但是當x的值越來越接近

于0時，y的值將逐漸變得很大；反之，y的值將逐漸接近于0.因此，圖象的兩個分

支無限接近；軸和y軸，但永遠不會與x軸和y軸相交.

V.課后作業(yè)

習題1.2

反比例函數(shù)圖象與三等分角

歷史上，曾有人把三等分角問題歸結為下面的作圖問題.

任取一銳角NPOH,過點P作0H的平行線，過點0作直線，兩線相交于點M,0M交PH

于點Q，并使QM=20P,設N為0M的中點.

VNP=NM=OP,.\Z1=Z2=2Z3.

VZ4=Z3,.,.Z1=2Z4.

.,.ZMOH=-ZPOH.

3

問題在于，如何確定線段OM兩端點的位置，并且保證0,Q,M在同一條直線上?事實

上，用尺規(guī)作圖無法解決這一問題.那么，退而求其次，能不能借助一些特殊曲線解決

這一問題呢？

帕普斯(Pappus,公元300前后)給出的一種方法是：如下圖，將給定的銳角NA0B置

于直角坐標系中，角的一邊0A與y=L的圖象交于點P,以P為圓心；以20P為半徑

X

作弧交圖象于點R.分別過點P和B作x軸和y軸的平行線，兩線相交于點M,連接

0M得到NM0B.

(1)為什么矩形PQRM的頂點Q在直線0M上？

(2)你能說明/MOB=!NA0B的理由嗎？

3

(3)當給定的已知角是鈍角或直角時，怎么辦?

解：⑴設P、R兩點的坐標分別為P(a“-),R(a2,上)則Q(a“—),M(a2,-).

q?%

設直線0M的關系式為y=kx.

,當x=a?時，y=—

4

??—二k@2，??k=--.??y=---x.

axa{a2a1a2

當*=2|時，y=—

a2

??.Q(a”,)在直線OM上.

a2

(2)?.?四邊形PQRM是矩形.

/.PC=-PR=CM./.Z2=2Z3.

2

VPC=OP,.*.Z1=Z2,

VZ3=Z4,AZ1=2Z4,

BPZMOB=-ZAOB.

3

(3)當給定的已知角是鈍角或直角時，鈍角或直角的一半是銳角，該銳角可以用此方

法三等分.

備課資料

參考例題

如圖能表示函數(shù)y=k(l-x)和y=&(kW0)在同一直角坐標系小的圖象大致是()

D

分析：從對函數(shù)y=&的討論入手，若k>0,雙曲線分布在一、三象限，因此可考慮

x

A,

C兩個答案，這時對于一次函數(shù)來說，y的值隨x值的增大而減小，且一次函數(shù)的圖

象與y軸正半軸相交，顯然A,C兩個答案都不對.

若k<0,雙曲線分布在二四象限，因此考慮B,D兩個答案，對于一次函數(shù)來說,

y的

值隨x的增大而增大，且一次函數(shù)的圖象與y軸的負半軸相交，應選D.

解:選D.

1.3反比例函數(shù)的應用

教學目標

1.利用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題

2.滲透數(shù)形結合思想，提高學生用函數(shù)觀點解決問題的能力

教學重難點

【教學重點】

利用反比例函數(shù)的知識分析、解決實際問題。

【教學難點】

分析實際問題中的數(shù)量關系，正確寫出函數(shù)解析式。

教學過程

一、情境導入

小明和小華相約早晨一起騎自行車從力鎮(zhèn)出發(fā)前往相距20km的5鎮(zhèn)游玩，在返回時,

小明依舊以原來的速度騎自行車，小華則乘坐公交車返回4鎮(zhèn).

假設兩人經(jīng)過的路程一樣，而且自行車和公交車是速度保持不變，且自行車速度小于

公交車速度.你能找出兩人來回時間與所乘交通工具速度間的關系嗎？

二、合作探究

探究點一：反比例函數(shù)與簡單的數(shù)學問題相結合

例1三角形面積為6,它的底邊a與這條邊上的高力的函數(shù)關系式是.

11919

解析：由三角形面積公式得6=3@力，；"=—,又a>0,故填力=—(a>0).

2aa

方法總結：數(shù)學中一些常見問題可以利用反比例函數(shù)進行求解，在構建基本的數(shù)學模

型時，不要忽略反比例函數(shù)的基本性質.

探究點二：反比例函數(shù)在實際生活中的應用

例2某村的糧食總產(chǎn)量為a(a為常數(shù))噸，該村的人均糧食產(chǎn)量為丁噸，人口數(shù)為x,

則y與x之間的函數(shù)關系式的大致圖象應為()

解析:由題可知，a=x?y,...尸3(a為常數(shù))是反比例函數(shù).x>0,y>0,

X.

圖象位于第一象限，故選C.

方法總結：將生活中的問題轉化成為數(shù)學問題，利用所學知識構建數(shù)學模型.本題考

查的是反比例函數(shù)的圖象的性質，在解題時要準確理解題意，選擇正確的數(shù)學模型.

探究點三：反比例函數(shù)在物理問題中的應用

例3一人站在平放在濕地上的木板上，當人和木板對濕地的壓力一定時，隨著木板

面積S(n?)的變化，人和木板對地面的壓強0(Pa)將如何變化？如果人和木板對濕地

地面的壓力為600N,回答下列問題：

(1)用含S的代數(shù)式表示o,。是S的反比例函數(shù)嗎？為什么？

(2)當木板面積為0.21n2時，壓強是多少？

(3)如果要求壓強不超過6000Pa,那么木板面積至少要多大？

(4)畫出相應的函數(shù)圖象.

解析：根據(jù)兩個變量之間的關系確定兩個變量之間的函數(shù)解析式，首先要判斷它屬于

哪一類函數(shù)，然后根據(jù)實際意義解題，并注意自變量的取值范圍，進而畫出正確的函

數(shù)圖象.

解：隨著木板面積SOH?)變小(或大)，壓強p(Pa)將變大(或小).

(1)夕=券，所以p是S的反比例函數(shù)，符合反比例函數(shù)的定義.

(2)0=黑=3000(Pa),所以當面積為0.am，時，壓強是3000Pa.

⑶若壓強?=券或6000,解得S20.1,故木板面積至少為0.1mL

(4)函數(shù)圖象如圖所示.

p/Pa

8000

6000

4000

2000

:；s/p?

O0.10.20.30.4

方法總結：反比例函數(shù)應用的常用解題思路是：（1）根據(jù)題意確定反比例函數(shù)解析式;

⑵由反比例解析式及題中條件去解決實際問題.

三、板書設計

’與數(shù)學問題相結合

應用類型＜

.學科間的綜合（物理公式）

M「審題、準確判斷數(shù)量關系

反比例函數(shù)的應用＜一般

建立反比例函數(shù)的模型

解題《

「取根據(jù)實際情況確定自變量的取值范圍

步驟

”〔實際問題求解

四、教學反思

教學過程中，將實際問題和數(shù)學問題相結合，引導學生根據(jù)所學自主構建數(shù)學模型，

直觀地感受數(shù)學的魅力所在.在引導學生建立新的數(shù)學模型解決實際問題的同時，開

拓思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提升學生解題技能.

第2章一元二次方程

2.1一元二次方程

教學目標

【知識與能力】

1、整式方程和一元二次方程的定義；能識別一元二次方程；

2、知道一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0(a70),能熟練的把一元二

次方程整理成一般形式；

3、在分析、揭示實際問題中的數(shù)量關系并把實際問題轉化為數(shù)學模型。

【過程與方法】

從實際問題中抽象出一元二次方程的概念，經(jīng)歷探索、分析的過程，體會一元二次方

程的特征，樹立數(shù)學建模思想。

【情感態(tài)度價值觀】

1、體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系。

2、學會與他人交流合作，提高數(shù)學的學習興趣。

教學重難點

【教學重點】

實際生活中分式方程應用題數(shù)量關系的分析。

【教學難點】

將復雜實際問題中的等量關系用分式方程表示，并進行歸納總結。

教學過程

一、預學：

提出下面問題，由學生設未知數(shù)，并列出方程：

(1)一個正方形的面積的2倍等于31,求這個正方形的邊長。

(2)一個數(shù)比另一個數(shù)小右，且兩數(shù)之積為0,求這個數(shù)。

⑶一個數(shù)的平方的一二倍與一2的和等于2,求這個數(shù)。

2

(4)一個矩形的長比寬多5cm,面積為150cm2,求這個矩形的寬。

設所求的量或數(shù)為x,可得如下方程：

(1)2x2=31(2)x(x+73)=0

(3)--x2-2=2(4)x(x+5)=150

2

然后將上述方程改寫成：

(1)2x2—31=0(2)x2+73x=0

(3)--x2-4=0(4)x2+5x-150=0

2

什么叫整式方程？怎樣的方程叫一元一次方程？試舉例說明。

(方程兩邊都是未知數(shù)的整式，叫整式方程；在整式方程中，只含一個未知數(shù)，并且

未知數(shù)的最高次數(shù)是1,這樣的方程叫作一元一次方程)

二、探究：

問題1、引導性材料1中，所得出的四個方程有哪些共同點？

(學生分組討論，然后各組交流)

(1)都是整式方程(2)只含有一個未知數(shù)(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2

從而教師導出一元二次方程的定義，得出一元二次方程的一般形式：

aX+bX+c=0(aWO)

問題2下列方程都是整式方程嗎？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方

程？

(1)3x+2=5x-3(2)x2=4

(3)(x—1)(x—2)=x2+8(4)(x+3)(3x—4)=(x+2)'

(上列方程都是整式方程。其(1)、(3)是一元一次方程，(2)、(4)是一元二次方程)

說明：通過一元二次方程與一元一次方程的比較，既加深學生對整式方程的認識，又

可使學生深刻理解一元二次方程的意義。

2

問題3為什么在一元二次方程的一般形式aX+bX+c=0中，二次項系數(shù)不為0

呢？

2

說明：方程at+bX+c=0是一元二次方程，必須具備a#0的條件。如果所研究

2

的問題中，明確指出方程aX「+bX+c=0是一元二次方程，則它隱含了條件aWO。

2

若沒有特別說明，方程at+bX+c=0既可能是一元二次方程(當a#0時)，也

有可能是一元一次方程(當a=0且bWO時)。

三、精講

例題解析：

例1把方程(X+3)(3X-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次項系

數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項。

解：2x?+x-16=0

二次項系數(shù)是2,一次項系數(shù)是1,常數(shù)項是一16。

2

一元二次方程的一般形式aX+bX+c=0(aWO)具有兩個特征：一是方程的右邊

為0;二是左邊的二次項系數(shù)不能為0。此外要使學生意識到：二次項、二次項系數(shù)、

一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都是包括符號的，不同的一元二次方程的差異實質上是

系數(shù)的差異，從而能正確的找出一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。

例2當a、b、c滿足什么條件時，方程(a-l)x2+bx+c=0是一元二次方程？

這時方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)分別是什么？當a、b、c滿足什么條件時，方

程(a-l)x2+bx+c=0是一元一次方程？

本題供學有余力的同學討論。當a=l時是一元二次方程；當a=l,bWO時是一元一

次方程；

四、提升：

1、一元二次方程屬于“整式方程”，其次它“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最

高次數(shù)是2”，

2

2、一元二次方程的一般形式+bX+c=0(aWO),一元二次方程的項及系數(shù)都

是根據(jù)一般式定義的，這與多項式中的項、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的。

3、在實際問題轉化為數(shù)學模型(一元二次方程)的過程中，體會學習一元二次方程

的必要性和重要性。

五、作業(yè)：

課本第5頁練習第3題

六、板書設計

一、一元二次方程

二、新課引入

三、新課講解

四、課堂練習

五、課堂小結

2.2一元二次方程的解法

第1課時

教學目標

【知識與能力】

1、知道根據(jù)平方根的定義解形如(x+h)2=m的方程，它的依據(jù)是數(shù)的開方；

2、會用平方根的定義解形如(x—a)2=b(b20)的方程；

3、在把(x—a)2=b(b20)看成x2=b(b?0)的過程中，引導學生體會“換元”的

數(shù)學方法。

【過程與方法】

經(jīng)歷探索形如(x+h)2=m的方程的解法，體會一元二次方程降次的思想和換元的思想。

【情感態(tài)度價值觀】

讓學生通過探索一元二次方程的解法的過程，體驗將復雜問題簡單化，從而提高學習

數(shù)學的學習興趣。

教學重難點

【教學重點】

根據(jù)平方根的定義解形如(x+h)2=m的方程。

【教學難點】

用平方根的定義解形如(x-a)2=b(b?0)的方程。

教學過程

一、預學：

要求學生復述平方根的意義。

(1)文字語言表示：如果一個數(shù)的平方的等于a,這個數(shù)叫a的平方根。

2

(2)用式子表示：若xNa,則x叫做a的平方根。

一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)；

零的平方根是零；

負數(shù)沒有平方根。

2

求適合等于X=4的X的值。

說明：學生不難看出本題的解(x=2或x=—2),教學中要注意引導學生觀察這個方程

的特點，探索解這個方程與已學知識(數(shù)的開方)的聯(lián)系。在求出方程X2-4=0的

解以后，引導學生總結：解這樣的方程，就是要“求一個數(shù)，使它的平方是4”，即

求4的平方根，可用開平方的方法。這個過程體現(xiàn)了數(shù)學常用的一種重要的數(shù)學思想

方法一一化歸。事實上，解決數(shù)學問題的過程，就是一系列的轉化過程，把未知的轉

化為已知的，最終使問題解決。

二、探究：

2

問題1如果一元二次方程：aX-+bX+c=0(aWO)的一次項系數(shù)b、常數(shù)項

c中至少有一個為0,那么就能得到那些特殊的一元二次方程？

(1)ax2=0(2)ax~+c=0(3)ax~+bx=0

問題2怎樣解方程ax?=0?

(可以3/=0為具體例子，學生根據(jù)平方根的定義，得到x=0o應指出3六=0有兩

個相等的實數(shù)根，即X]=0,x2=0；這與一元一次方程3x=0有一個根x=0是有區(qū)別

的，進而指出：方程a(=0有兩個相等的實數(shù)根x】=X2=0)

問題3怎樣解方程ax2+c=0(aNO)?

可以⑴x-4=0,(2)2x2—50=0,(3)2r+50=0等方程為例,由學生把它們變

形為六=一￡的形式，用平方根的定義來求解。接著指出：這種解一元二次方程的方

a

法叫做直接開平方法，其中適合方程(3)的實數(shù)x不存在，所以原方程無實數(shù)解。

進而引導學生歸納方程ax?+c=0的解的情況：當a、c異號時，方程ax?+c=0有兩

個不相等的實數(shù)根；當a、c同號時，方程ax'c=0沒有實數(shù)根。

說明：以上教學設計讓學生經(jīng)歷由簡單到復雜的研究過程，對于一元二次方程的解有

全面了解；通過對方程ax2+c=0(aWO)解的情況的討論，體會分類的思想；最

后設計的幾個過程，讓學生判斷、求解，體現(xiàn)了“換元”的思想方法。

三、精講

例1課本例2

在講解例1時注意：

?9

1、對于形如“(X—a)/(b20)”型的方程，教科書給出的例子是解方程(x+3)=2。

2

這時，只要把x+3看作一個整體，就可以轉化為x=b(b20)型的方法去解決，這里

滲透了“換元”的方法。

2

2、在對方程(x+3)一=2兩邊同時開平方后，原方程就轉化為兩個一次方程。要向學生

指出，這種變形實質上是將原方程“降次”?！敖荡巍币彩且环N數(shù)學方法

例2不解方程，說出下列方程根的情況：

22

(1)1—3x2=2x2；(2)-4X+1=0；(3)-0.5x-2=0.

(通過訓練，使學生明確一元二次方程的解有三種情況)

例2解下列方程：

(1)(1-x)2=1；(2)(1+X)2-2=0；(3)(2x+l)2+3=0；(4)x2-2x+l=4.

(滲透換元思想訓練)

四、課堂練習：

五、課堂小結：

29

1、直接開平方法可解下列類型的一元二次方程：x-=b(b>0)；(x-a)=b(b20)。

解法的根據(jù)是平方根的定義。要特別注意，由于負數(shù)沒有平方根，所以上述兩式中規(guī)

定了b》0。當b<0時，方程無解。

2

2、求解形如x=b(b20)的方程，實質上是''求一個數(shù)x,使它的平方是b"，所以

用“直接開平方法”；對于形如(X—a)=b(b20)的方程，只要把x+a看作一個整體

2

X,就可轉化為X=b(b20)的形式，這就是“換元”的方法

六、作業(yè)：

第2課時

教學目標

【知識與能力】

1、理解“配方”是一種常用的數(shù)學方法，在用配方法將一元二次方程變形的過程中，

讓學生進一步體會化歸的思想方法。

2,會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程。

【過程與方法】

經(jīng)歷探索配方的過程來解一元二次方程的方法，進一步體會化歸思想。

【情感態(tài)度價值觀】

通過配方法將一元二次方程變形成可用因式分解法或直接開平方法解的方程，讓學生

體會到學習數(shù)學的樂趣。

教學重難點

【教學重點】

用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程。

【教學難點】

如何配方。

教學過程

一、預學

1、a2±2ab+b'=?

2、用兩種方法解方程（x+3）2-5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢？

二、探究

如何解方程x2+6x+4=0呢？

1、利用“復習引入”中的內容引導學生思考，得知：反過來把方程X2+6X+4=0化成

（X+3）2-5=0的形式，就可用前面所學的因式分解法或直接開平方法解。

2、怎樣把方程X2+6X+4=0化成（X+3）2-5=0的形式呢？讓學生完成課本P.10的

“做一做”并引導學生歸納：當二次項系數(shù)為"1"時，只要在二次項和一次項之后

加上一次項系數(shù)一半的平方,再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項在一個完全平方式里,

這種做法叫作配方.將方程一邊化為0,另一邊配方后就可以用因式分解法或直接開

平方法解了，這樣解一元二次方程的方法叫作配方法。

三、精講

例1（課本P.11,例5）

［解］（1）X2+2X-3（觀察二次項系數(shù)是否為“1”）

=x2+2x+l-l-3（在一次項和二次項之后加上一次項系數(shù)一半的平方，

再減去這個數(shù)，使它與原式相等）

=（X+1）2-4O（使含未知數(shù)的項在一個完全平方式里）

用同樣的方法講解（2）,讓學生熟悉上述過程，進一步明確“配方”的意義。

例2引導學生完成P.1rP.12例6的填空。

（五）應用新知

1、課本P.12,練習。

2、學生相互交流解題經(jīng)驗。

（六）課堂小結

1、怎樣將二次項系數(shù)為“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么？

（七）思考與拓展

解方程：（1）xJ~6x+10=0；（2）x'+x+w=0；(3)x2-x-l=0o

說一說一元二次方程解的情況。

［解］(1)將方程的左邊配方，得(x-3)2+l=0,移項，得(X-3)2=T,所以原方程無解。

(2)用配方法可解得x】=X2=-等-

(3)用配方法可解得x產(chǎn)學，x2=*

一元二次方程解的情況有三種：無實數(shù)解，如方程(1)；有兩個相等的實數(shù)解，

如方程(2)；有兩個不相等的實數(shù)解，如方程(3)。

(A)課后作業(yè)

課本習題1.2中A組第4題⑴(2)(3)o

第3課時

教學目標

【知識與能力】

1、理解用配方法解一元二次方程的基本步驟。

2、會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程。

3、進一步體會化歸的思想方法。

【過程與方法】

經(jīng)歷將二次項系數(shù)不為“1”的一元二次方程化為二次項系數(shù)為“1”的一元二次方程

的過程，讓學生體會化歸思想。

【情感態(tài)度價值觀】

通過分組討論與合作交流，讓學生體驗到學習的樂趣。同時同過對復雜問題的抽象化

歸，使問題簡單化，培養(yǎng)學生的自信心。

教學重難點

【教學重點】

用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程。

【教學難點】

如何配方。

教學過程

一、預學

1、用配方法解方程x'+xTR,學生練習后再完成課本P.13的“做一做”.

2、用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的基本步驟是什么？

二、探究

現(xiàn)在我們已經(jīng)會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程，而對于二次項系數(shù)

不為1的一元二次方程能不能用配方法解？

怎樣解這類方程：2X2-4X-6=0

讓學生議一議解方程2X2-4X-6=0的方法，然后總結得出：對于二次項系數(shù)不為1

的一元二次方程，可將方程兩邊同除以二次項的系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1,然后按

上一節(jié)課所學的方法來解。讓學生進一步體會化歸的思想。

三、精講

1、展示課本P.14例8,按課本方式講解。

2、引導學生完成課本P.14例9的填空。

3、歸納用配方法解一元二次方程的基本步驟：首先將方程化為二次項系數(shù)是1

的一般形式；其次加上一次項系數(shù)的一半的平方，再減去這個數(shù)，使得含未知數(shù)的項

在一個完全平方式里；最后將配方后的一元二次方程用因式分解法或直接開平方法來

解。

四、課堂小結

1、用配方法解一元二次方程的基本步驟是什么？

2、配方法是一種重要的數(shù)學方法，它的重要性不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解

法中，在今后學習二次函數(shù)，高中學習二次曲線時都要經(jīng)常用到。

3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的過程要進行較繁瑣的運算,

在解一元二次方程時，實際運用較少。

4、按圖的框圖小結前面所學解

一元二次方程的算法。

五、鞏固與提升

不解方程，只通過配方判定下列方程解的情況。

(1)4X2+4X+1=0；(2)x-2x-5=0；(3)-x2+2x-5=0；

［解］把各方程分別配方得

(1)(x+4)2=0；(2)(X-1)2=6；(3)(X-1)2=-4

由此可得方程⑴有兩個相等的實數(shù)根，方程⑵有兩個不相等的實數(shù)根，方程⑶

沒有實數(shù)根。

六、布置作業(yè)

課本習題1.2中A組第3題的(4),選做B組第2,3題。

第4課時

教學目標

【知識與能力】

1、進一步體會因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的

一元二次方程。

2、會用因式分解法解某些一元二次方程。

3、進一步讓學生體會“降次”化歸的思想。

【過程與方法】

經(jīng)歷探索因式分解法解一元二次方程的方法，體會解一元二次方程的基本思想是“降

次”。

【情感態(tài)度價值觀】

通過用因式分解法將一元二次方程轉化為一元一次方程的理解，讓學生體會到數(shù)學的

學習循序漸進的，從而培養(yǎng)學生腳踏實地的精神。

教學重難點

【教學重點】

體會因式分解法適用于解一邊為0,另一邊可分解成兩個一次因式乘積的一元二次方

程。

【教學難點】

用因式分解法解某些一元二次方程。

教學過程

一、預學

1、提問：

(1)解一元二次方程的基本思路是什么？

(2)現(xiàn)在我們已有了哪幾種將一元二次方程“降次”為一元一次方程的方法？

2、用兩種方法解方程：9(1-3X)2=25

二、探究

說明：可用因式分解法或直接開平方法解此方程。解得x尸之，x2=-^。

1、說一說：因式分解法適用于解什么形式的一元二次方程。

歸納結論：因式分解法適用于解一邊為0