新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第5講四形面積問題(原卷版+解析)

第5講四形面積問題一、解答題1．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為．過焦點F2的直線l（斜率不為0）與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為D，O為坐標(biāo)原點，直線OD交橢圓于M，N兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)四邊形MF1NF2為矩形時，求直線l的方程．2．設(shè)橢圓的上焦點為F，橢圓E上任意動點到點F的距離最大值為，最小值為．（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點F作兩條相互垂直的直線，分別與橢圓E交于P，Q和M，N，求四邊形PMQN的面積的最大值．3．設(shè)橢圓（a＞b＞0）的焦點分別為F1（﹣1，0）、F2（1，0），直線l：x＝a2交x軸于點A，且．（1）試求橢圓的方程；（2）過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．4．設(shè)圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（II）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.5．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標(biāo)為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.6．已知點在橢圓:（）上，且點到左焦點的距離為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，又?兩點在橢圓上，且，求凸四邊形面積的最大值.7．如圖，已知橢圓C：的短軸端點分別為B1，B2，點M是橢圓C上的動點，且不與B1，B2重合，點N滿足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.（1）求動點N的軌跡方程；（2）求四邊形MB2NB1面積的最大值．8．設(shè)橢圓的離心率，橢圓上的點到左焦點的距離的最大值為3.（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓的外切矩形的面積的取值范圍.9．已知橢圓，過點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點（與不重合）.（1）證明：直線過定點；（2）若以點為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積.10．已知橢圓的左焦點為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，為直線上一點，過作的垂線交橢圓于、．當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求四邊形的面積．11．已知橢圓的長軸長為，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓的方程；（2）將橢圓上每一點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，若直線與曲線交于、兩個不同的點，為坐標(biāo)原點，是曲線上的一點，且四邊形是平行四邊形，求四邊形的面積.12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，其中．設(shè)點，關(guān)于軸的對稱點分別為，，當(dāng)四邊形的面積為時，求直線的方程．13．已知點，點是圓上的動點，線段的垂直平分線與相交于點，點的軌跡為曲線.（1）求的方程（2）過點作傾斜角互補的兩條直線，若直線與曲線交于兩點，直線與圓交于兩點，當(dāng)四點構(gòu)成四邊形，且四邊形的面積為時，求直線的方程.14．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．（1）求動點的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；①證明：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．②求四邊形面積的最小值．15．已知橢圓：過點，點為其上頂點，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為第四象限內(nèi)一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積是定值.16．已知，分別為橢圓的左?右頂點，為右焦點，點為上的一點，恰好垂直平分線段(為坐標(biāo)原點)，.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交于，兩點，若點滿足(，，三點不共線)，求四邊形面積的取值范圍.17．已知拋物線，圓，當(dāng)時，拋物線與圓僅有兩個交點．（1）求拋物線的方程；（2）如圖，若圓與拋物線有四個交點，且交點分別為，，，，求四邊形面積的最大值．18．如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，若點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對于更一般的雙曲線，點為雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.19．已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，，過點且垂直于軸的直線交橢圓所得的弦長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)分別過點，且互相平行的直線，與橢圓依次交于，，，四點，求四邊形面積的最大值．第5講四形面積問題一、解答題1．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為．過焦點F2的直線l（斜率不為0）與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為D，O為坐標(biāo)原點，直線OD交橢圓于M，N兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)四邊形MF1NF2為矩形時，求直線l的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=．【詳解】（I）由已知可得：，解得a2=6，b2=2，∴橢圓C的方程為；（II）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．聯(lián)立，化為（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，∴線段AB的中點D，∴直線OD的方程為：x+3ky=0（k≠0）．聯(lián)立，解得=，x3=﹣3ky3．∵四邊形MF1NF2為矩形，∴=0，∴（x3﹣2，y3）?（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，∴=0，∴=0，解得k=，故直線方程為y=．考點：橢圓的簡單性質(zhì)．2．設(shè)橢圓的上焦點為F，橢圓E上任意動點到點F的距離最大值為，最小值為．（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點F作兩條相互垂直的直線，分別與橢圓E交于P，Q和M，N，求四邊形PMQN的面積的最大值．【答案】（I）；（Ⅱ）2.【分析】（Ⅰ）根據(jù)題中條件列出關(guān)于a、c的方程組，解出a和c的值，可得出b的值，進(jìn)而可得出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）對直線PQ與直線MN的斜率是否都存在分兩種情況討論．①當(dāng)直線PQ與直線MN分別與x軸、y軸垂直時，求出這兩條弦的長度，并求出此時四邊形PMQN的面積；②當(dāng)直線PQ與直線MN的斜率都存在時，設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)點、，將直線PQ的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，消去y，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式得出|PQ|的表達(dá)式，同理得出|MN|的表達(dá)式，從而得出四邊形PMQN面積的表達(dá)式，通過換元，利用函數(shù)相關(guān)知識求出四邊形PMQN面積的取值范圍．結(jié)合①②得出四邊形PMQN面積的最大值．【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓E的焦距為，則有，解得，∴，因此，橢圓E的方程為；（Ⅱ）如下圖所示，橢圓E的上焦點為．①當(dāng)直線PQ與直線MN分別與x軸、y軸垂直時，則，，此時，四邊形PMQN的面積為；②當(dāng)直線PQ、MN的斜率都存在時，設(shè)直線PQ的方程為，則直線MN的方程為，設(shè)點、，將直線PQ的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，消去y得，，由韋達(dá)定理可得，，∴，同理可得，所以，四邊形PMQN的面積為，令，則，所以，∵，所以，，由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當(dāng)，所以，．綜上所述，四邊形PMQN的面積的最大值為2．【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查橢圓的方程，以及韋達(dá)定理設(shè)而不求法在橢圓綜合問題的問題，同時也考查了弦長公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題．3．設(shè)橢圓（a＞b＞0）的焦點分別為F1（﹣1，0）、F2（1，0），直線l：x＝a2交x軸于點A，且．（1）試求橢圓的方程；（2）過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值為4，最小值為．【分析】（1）由題意，|F1F2|＝2c＝2，A（a2，0），利用，可得F2為AF1的中點，從而可得橢圓方程；（2）分類討論：當(dāng)直線DE（或MN）與x軸垂直時，四邊形DMEN的面積；當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時，設(shè)DE：y＝k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，從而可得四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法，即可求得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，|F1F2|＝2c＝2，A（a2，0）∵∴F2為AF1的中點∴a2＝3，b2＝2∴橢圓方程為（2）當(dāng)直線DE與x軸垂直時，|DE|，此時|MN|＝2a＝2，四邊形DMEN的面積．同理當(dāng)MN與x軸垂直時，四邊形DMEN的面積．當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時，設(shè)DE：y＝k（x+1），代入橢圓方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）＝0設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則x1+x2，x1x2所以，|x1﹣x2|，所以|DE||x1﹣x2|，同理|MN|.所以四邊形的面積令u，則S＝4因為u2，當(dāng)k＝±1時，u＝2，S，且S是以u為自變量的增函數(shù)，所以．綜上可知，．故四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為．【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查四邊形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查韋達(dá)定理的運用，正確求弦長是關(guān)鍵．4．設(shè)圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（II）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓定義求方程；（Ⅱ）把面積表示為關(guān)于斜率k的函數(shù)，再求最值．試題解析：（Ⅰ）因為，，故，所以，故.又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以.由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）.（Ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)的方程為，，.由得.則，.所以.過點且與垂直的直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時，其方程為，，，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.【考點】圓錐曲線綜合問題【名師點睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用.5．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標(biāo)為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）（ⅰ）.（ii）.【分析】根據(jù)的面積為列出一個關(guān)于的等式，削去求出離心率；根據(jù)關(guān)系巧設(shè)直線的方程，與直線FP的方程聯(lián)立解出焦點的坐標(biāo)，利用|FQ|=解出斜率，把直線FP的方程與橢圓方程聯(lián)立，解出點坐標(biāo)，分別求出和的面積，利用四邊形的面積為，解出，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因為，解得.所以，橢圓的離心率為.（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點Q的坐標(biāo)為.由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為.（ii）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去）或.因此可得點，進(jìn)而可得，所以.由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.所以，橢圓的方程為.【點睛】列出一個關(guān)于的等式，可以求離心率；列出一個關(guān)于的不等式，可以求離心率的取值范圍.“減元”思想是解決解析幾何問題的重要思想，巧設(shè)直線方程利用題目條件列方程求解斜率，求橢圓方程的基本方法就是待定系數(shù)法，根據(jù)已知條件列方程通過解方程求出待定系數(shù).6．已知點在橢圓:（）上，且點到左焦點的距離為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，又?兩點在橢圓上，且，求凸四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意點到左焦點的距離為3，結(jié)合兩點間距離公式可求得的值，將點代入橢圓，根據(jù)橢圓中的關(guān)系式即可求得，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，整理變形根據(jù)兩個交點可令求得的范圍.設(shè)?，由韋達(dá)定理表示出，，由弦長公式求得，點到直線距離公式求得到的距離，結(jié)合用表示出，令，可化簡為，再令，利用導(dǎo)函數(shù)求得的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）因為橢圓經(jīng)過點，所以.設(shè)左焦點（），則由得，解得.又，于是，解得（舍負(fù)），進(jìn)而.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因為，可設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立并整理得.由，解得.設(shè)?，則，.所以.又與之間的距離即到的距離，且.所以四邊形的面積.設(shè)，由可得，則，記之為函數(shù)，則，易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.故的最大值為，此時，解得，符合題意，所以四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，弦長公式及點到直線距離公式的用法，橢圓中四邊形面積問題的解法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，換元法在函數(shù)中的應(yīng)用，綜合性強，屬于難題.7．如圖，已知橢圓C：的短軸端點分別為B1，B2，點M是橢圓C上的動點，且不與B1，B2重合，點N滿足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.（1）求動點N的軌跡方程；（2）求四邊形MB2NB1面積的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠0)；（2）.【分析】（1）設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)，求出直線NB1，直線NB2，兩式相乘，結(jié)合，即可求解.（2）設(shè)MB1為，可得直線NB1，直線NB2，兩式聯(lián)立可得xN＝，由S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．由題知B1(0，－3)，B2(0，3)，所以kMB1＝，kMB2＝.因為MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，所以直線NB1：y＋3＝－x，①直線NB2：y－3＝－x，②①×②得y2－9＝x2.又因為，所以y2－9＝x2＝－2x2，整理得動點N的軌跡方程為＋＝1(x≠0)．（2）由（1），設(shè)MB1為可得得直線NB1：y＝－x－3，①直線NB2：y＝2kx＋3，②聯(lián)立①②解得x＝，即xN＝，故四邊形MB2NB1的面積S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)＝3×＝＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)|k|＝時，S取得最大值.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中的四邊形面積問題，解題的關(guān)鍵求出，考查了計算求解能力.8．設(shè)橢圓的離心率，橢圓上的點到左焦點的距離的最大值為3.（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓的外切矩形的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）當(dāng)矩形的一組對邊斜率不存在時，可求出矩形的面積；當(dāng)矩形四邊斜率都存在時，不防設(shè)，所在直線斜率為，則，斜率為，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長公式等，即可求解.【詳解】解：（1）由題設(shè)條件可得，，解得，∴，所以橢圓的方程為（2）當(dāng)矩形的一組對邊斜率不存在時，得矩形的面積當(dāng)矩形四邊斜率都存在時，不防設(shè)，所在直線斜率為，則，斜率為，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立可得，由，得顯然直線的直線方程為，直線，間的距離，同理可求得，間的距離為所以四邊形面積為（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立）又，故由以上可得外切矩形面積的取值范圍是【點睛】本題主要考查橢圓方程以及直線與橢圓的綜合，靈活運用弦長公式，韋達(dá)定理等即可求解，屬于常考題型.9．已知橢圓，過點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點（與不重合）.（1）證明：直線過定點；（2）若以點為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）或【分析】（1）先設(shè)出直線的方程，利用垂直關(guān)系求出的值即可；（2）由（1）有直線的方程為，，，求得中點，根據(jù)，求得，再由四邊形的面積為，運用韋達(dá)定理和弦長公式，計算可得所求值.【詳解】（1）根據(jù)題意有：直線、、斜率均存在.設(shè)，、聯(lián)立：，有：，所以：，.因為，所以：，化簡得：，所以：，化簡得：，解得或.當(dāng)時，過點，則與或重合，不滿足題意，舍去，所以：，即所以：直線過定點.（2）由（1）有：，則：，，.如圖所示：設(shè)線段的中點為，則：，.因為以為圓心的圓與直線相切于的中點，所以：，又因為：，且與平行，所以：，解得或.由上圖有：四邊形的面積.①當(dāng)時：，易得：、，所以：.②當(dāng)時：有：，所以：.由①②有：或.【點睛】本題主要考查直線與橢圓的綜合問題，以及定點問題，面積問題，以及直線和圓相切的條件，考查運算能力，屬于難題.10．已知橢圓的左焦點為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，為直線上一點，過作的垂線交橢圓于、．當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由焦點坐標(biāo)和離心率及、、之間的關(guān)系求出、的值，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意設(shè)的坐標(biāo)為，由（1）得左焦點的坐標(biāo)，可得直線的斜率，由題意可得的方程，將直線與橢圓的方程聯(lián)立求出兩根之和，運用韋達(dá)定理求得，再由四邊形是平行四邊形，可得，由此求出的值，從而可得的長，進(jìn)而求出四邊形的面積．【詳解】（1）由已知得：，，所以，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則直線的斜率，當(dāng)時，直線的斜率，直線的方程是；當(dāng)時，直線的方程也符合的形式．由，得（*），其判別式，設(shè)、，則，，因為四邊形是平行四邊形，所以，即，所以，解得，此時，方程（*）為，得，則.此時的面積．【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的綜合，及平行四邊形的性質(zhì)，考查了四邊形面積的計算，屬于中檔題．11．已知橢圓的長軸長為，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓的方程；（2）將橢圓上每一點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，若直線與曲線交于、兩個不同的點，為坐標(biāo)原點，是曲線上的一點，且四邊形是平行四邊形，求四邊形的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、、的值，由此可得出橢圓的方程；（2）求出曲線的方程，設(shè)、、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點的坐標(biāo)，代入曲線的方程，可得出，求得以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由已知，，所以，又因為雙曲線的離心率為，可知，橢圓的離心率為即，故，進(jìn)而，所以橢圓的方程為；（2）將橢圓上每一點橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線的方程為，設(shè)、、，由，由韋達(dá)定理可得，，且，即，由四邊形是平行四邊形，所以，則，，因為點在橢圓上，所以，整理可得，所以，則，到直線的距離，所以四邊形的面積為.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，其中．設(shè)點，關(guān)于軸的對稱點分別為，，當(dāng)四邊形的面積為時，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或或或．【分析】（1）由題意知，當(dāng)?shù)拿娣e的最大值為時，得到，再根據(jù)，得到，代入求解；（2）設(shè)直線的方程為，，，由及梯形的面積為，得到，然后由與聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）由題可知，當(dāng)點與橢圓的上頂點或下頂點重合時，的面積最大，設(shè)，，因為的面積的最大值為，所以，即，又，所以，，則，解得，由，結(jié)合，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，由及四邊形的面積為，可知點，位于軸同側(cè)，且，將代入，消去可得，則，，且，即，所以，整理可得，解得或，即或，所以直線的方程為或或或．【點睛】方法點睛：1、解決直線與曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、解決直線與曲線的弦長時，往往設(shè)直線與曲線的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零．13．已知點，點是圓上的動點，線段的垂直平分線與相交于點，點的軌跡為曲線.（1）求的方程（2）過點作傾斜角互補的兩條直線，若直線與曲線交于兩點，直線與圓交于兩點，當(dāng)四點構(gòu)成四邊形，且四邊形的面積為時，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而判斷點的軌跡是以為焦點的橢圓，即可求出軌跡方程；（2）可得軸時和軸時不符合題意，設(shè)方程為，則直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓，表示出點到直線的距離，即可表示出四邊形的面積，求出，得出直線方程.【詳解】（1）在線段的垂直平分線上，，又在上，，則可得點的軌跡是以為焦點的橢圓，則，即，，，故的方程為；（2）若軸時，如圖，此時，，則，不符合題意；若軸時，如圖，此時，，則，不符合題意；當(dāng)都不與坐標(biāo)軸垂直時，如圖，設(shè)斜率分別為，由于傾斜角互補，則斜率為，則直線方程為，直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓，可得，設(shè)，則，，則點到直線的距離為，同理可得點到直線的距離為，則，解得，故直線的方程為或.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.14．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．（1）求動點的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；①證明：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．②求四邊形面積的最小值．【答案】（1）；（2）①證明見解析，定點坐標(biāo)為；②.【分析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件得出，結(jié)合橢圓的定義可知點的軌跡是橢圓，求出、、的值，結(jié)合橢圓的焦點位置可得出點的軌跡方程，并求出的取值范圍；（2）①分析出直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與點的軌跡方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，同理求出點的坐標(biāo)，求出直線的方程，進(jìn)而可得出直線所過定點的坐標(biāo)；②求得、，利用基本不等式可求得四邊形面積的最小值．【詳解】（1）設(shè)點，依題意，，所以動點的軌跡為橢圓（左、右頂點除外），則，，，動點的軌跡方程是；（2）①若與軸重合，則直線與動點的軌跡沒有交點，不合乎題意；若與軸重合，則直線與動點的軌跡沒有交點，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，直線、均過橢圓的焦點（橢圓內(nèi)一點），、與橢圓必有交點．設(shè)、，由，由韋達(dá)定理可得，則，所以點的坐標(biāo)為，同理可得點，直線的斜率為，直線的方程是，即，當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點．綜上，直線過定點；②由①可得，，，同理可得，所以，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號．因此，四邊形的面積的最小值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．15．已知橢圓：過點，點為其上頂點，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為第四象限內(nèi)一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積是定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求點的坐標(biāo)，根據(jù)求橢圓方程；（2）首先設(shè)點，利用點的坐標(biāo)表示點的坐標(biāo)，并利用四邊形的對角線表示四邊形的面積，化簡為定值.【詳解】（1）由題意，設(shè)直線：，令，則，于是.所以，，故橢圓的方程為.（2）設(shè)，且，又，，所以直線：，令，，則.直線：，令，，則.所以四邊形的面積為，所以四邊形的面積為定值.【點睛】方法點睛：解決定值、定點的方法（1）從特殊入手，求出定值、定點、定線，再證明定值、定點、定線與變量無關(guān)；（2）直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量是此類問題的特點，設(shè)而不求的方法、整體思想和消元思想的運用可以有效的簡化運算.16．已知，分別為橢圓的左?右頂點，為右焦點，點為上的一點，恰好垂直平分線段(為坐標(biāo)原點)，.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交于，兩點，若點滿足(，，三點不共線)，求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)條件得，從而得解；（2）由題意可知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為：，設(shè)的中點為，則，知四邊形為平行四邊形，由，結(jié)合韋達(dá)定理可得表達(dá)式，進(jìn)而可得范圍.【詳解】（1）由題意可知，，∵恰好垂直平分線段，∴，令，代入得：，∴，∴，解得，∴橢圓的方程為：.（2）由題意可知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立方程，消去得：，∴，∴，，設(shè)的中點為，則，∴與互相平分，四邊形為平行四邊形，∴，令，則，∵在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴.綜上所述，四邊形面積的取值范圍為.【點睛】思路點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍；（4）利用代數(shù)基本不等式：代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.：直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.因此，它們的應(yīng)用價值在于：①通過參數(shù)簡明地表示曲線上點的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式求解.17．已知拋物線，圓，當(dāng)時，拋物線與圓僅有兩個交點．（1）求拋物線的方程；（2）如圖，若圓與拋物線有四個交點，且交點分別為，，，，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組方程組，列出不等式組，求得的范圍，設(shè)，，求得面積，利用換元法和導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程組，整理得有兩個相同的解，因為拋物線與圓僅有兩個交點，可得因此，解得，所以拋物線的方程為．（2）若圓與拋物線有四個交點，則方程組有四組解，可得方程有兩個