2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何1從平面向量到空間向量課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析北師大版選修2-1

PAGE其次章空間向量與立體幾何[A組基礎(chǔ)鞏固]1．下列說(shuō)法正確的是()A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C．向量的大小與方向有關(guān)D．向量的?？梢员容^大小解析：任何兩個(gè)向量，不論同向還是不同向均不存在大小關(guān)系，故A、B不正確．向量的大小只與其長(zhǎng)度有關(guān)，與方向沒(méi)有關(guān)系，故C不正確．由于向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大?。鸢福篋2．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①任一向量與它的相反向量不相等；②長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若a≠b，則|a|≠|(zhì)b|；⑤兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同．A．0 B．1C．2 D．3解析：因?yàn)榱阆蛄颗c它的相反向量相等，所以①不正確；依據(jù)向量的定義，知長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，②正確；平行且模相等的兩個(gè)向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正確；當(dāng)a＝－b時(shí)，也有|a|＝|b|，④不正確；只要模相等、方向相同，兩個(gè)向量就是相等向量，與向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)無(wú)關(guān)，⑤不正確．綜上可知，只有②正確，故選B.答案：B3．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD為()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定解析：若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則AB＝DC，且AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，即AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形．答案：B4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACC1A1A.eq\o(BD,\s\up6(→)) B.eq\o(BC1,\s\up6(→))C.eq\o(BD1,\s\up6(→)) D.eq\o(A1B,\s\up6(→))解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故eq\o(BD,\s\up6(→))為平面ACC1A1的法向量．答案：A5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則eq\o(FE,\s\up6(→))與eq\o(GH,\s\up6(→))所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°解析：因?yàn)閑q\o(FE,\s\up6(→))與eq\o(BA1,\s\up6(→))同向共線，eq\o(GH,\s\up6(→))與eq\o(BC1,\s\up6(→))同向共線，所以〈eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉，在正方體ABCD-A1B1C1D1中△A1BC1為等邊三角形，所以〈eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝60°.答案：B6.如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，則在向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))中，夾角為90°的共有______對(duì)．解析：夾角為90°的有：eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))，共5對(duì)．答案：57．給出以下命題：①若a，b是空間向量，則|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；④若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p；⑤在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；⑥空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等．其中，正確的命題序號(hào)是________．解析：以上命題①②④⑤正確．兩向量若相等，必需方向相同且模相等．但相等的向量起點(diǎn)不肯定相同，故③錯(cuò)；兩個(gè)單位向量雖模相等，但方向不肯定相同，故⑥錯(cuò)．答案：①②④⑤8．在正四面體A-BCD中，O為平面BCD的中心，連接AO，則平面BCD的一個(gè)法向量可以是________．解析：由于A-BCD是正四面體，易知AO⊥平面BCD.答案：eq\o(AO,\s\up6(→))9．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，則分別以此棱柱的隨意兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的模相等的向量(eq\o(AA1,\s\up6(→))本身除外)共有多少個(gè)，與向量eq\o(AA1,\s\up6(→))相等的向量(eq\o(AA1,\s\up6(→))本身除外)共有多少個(gè)．解析：與eq\o(AA1,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，共5個(gè)，與eq\o(AA1,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，共2個(gè)．10．如圖所示是棱長(zhǎng)為1的正三棱柱ABC-A1B1C1(1)在分別以正三棱柱的隨意兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，舉出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量；(2)在分別以正三棱柱的隨意兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，舉出向量eq\o(AC,\s\up6(→))的相反向量；(3)若E是BB1的中點(diǎn)，舉出與向量eq\o(AE,\s\up6(→))平行的向量．解析：(1)由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有向量eq\o(A1B1,\s\up6(→)).(2)向量eq\o(AC,\s\up6(→))的相反向量有eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(C1A1,\s\up6(→)).(3)取AA1的中點(diǎn)F，連接B1F，則eq\o(B1F,\s\up6(→))，eq\o(FB1,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))都是與eq\o(AE,\s\up6(→))平行的向量．[B組實(shí)力提升]1．下列有關(guān)平面法向量的說(shuō)法中，不正確的是()A．平面α的法向量垂直于與平面α平行的全部向量B．一個(gè)平面的全部法向量相互平行C．假如兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直D．假如a，b與平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個(gè)法向量解析：依據(jù)平面法向量的概念可知A，B，C都是正確的．當(dāng)a與b共線時(shí)，n就不肯定是平面α的法向量，故D錯(cuò)誤．答案：D2．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿意eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定解析：過(guò)點(diǎn)A的棱兩兩垂直，通過(guò)設(shè)棱長(zhǎng)，應(yīng)用余弦定理可得△BCD為銳角三角形．答案：B3．給出以下命題：①若a∥b，b與c的夾角是30°，則a與c的夾角也是30°；②平面的全部法向量方向相同；③若兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，則這兩個(gè)空間向量相等．其中正確命題的序號(hào)是__________．解析：只有③正確．答案：③4．如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CC1的中點(diǎn)，則〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝________.解析：連接DB，BC1，DC1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△BDC1為等邊三角形．∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CC1的中點(diǎn)，∴EF∥BD，GH∥BC1.∴〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝60°.答案：60°5．如圖，AB是圓O的直徑，直線PA所在的向量是圓O所在平面的一個(gè)