2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.3全稱量詞與存在量詞學(xué)案含解析北師大版選修2-1

PAGE3全稱量詞與存在量詞授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第6頁一、全稱量詞、存在量詞與全稱命題、特稱命題二、特稱命題的否定特稱命題：存在x0∈M，p(x0)成立，它的否定：隨意x∈M，p(x)不成立，特稱命題的否定是全稱命題．三、全稱命題的否定全稱命題：隨意x∈M，p(x)成立，它的否定：存在x0∈M，p(x0)不成立，全稱命題的否定是特稱命題．[疑難提示]省略量詞的命題的否定對含有量詞的命題，簡單知道它是全稱命題還是特稱命題．一般地，省略了量詞的命題是全稱命題，可加上“全部的”或“隨意”，它的否定是特稱命題．[想一想]1．同一個全稱命題或特稱命題的表述是否唯一？提示：不唯一．對于同一個全稱命題或特稱命題，由于自然語言不同，可以有不同的表述方法，只要形式正確即可．[練一練]2．下列命題中全稱命題的個數(shù)是()①隨意一個自然數(shù)都是正整數(shù)；②全部的素數(shù)都是奇數(shù)；③有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列；④三角形的內(nèi)角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3解析：命題①②含有全稱量詞，而命題④可以敘述為“每一個三角形的內(nèi)角和都是180°”，故有三個全稱命題．答案：D3．已知命題p：對隨意x∈R，都有cosx≤1，則命題p的否定為()A．存在x0∈R，使得cosx0≤1B．對隨意x∈R，都有cosx>1C．存在x0∈R，使得cosx0>1D．存在x0∈R，使得cosx0≥1解析：依據(jù)全稱命題的否定，知全稱量詞改為存在量詞，同時把小于等于號改為大于號，故選C.答案：C授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第6頁探究一推斷全稱命題與特稱命題及其真假[典例1]試推斷以下命題是全稱命題還是特稱命題，并推斷其真假：(1)對隨意的x∈R，x2＋2>0；(2)對隨意的x∈N，x4≥1；(3)存在x∈Z，x3<1；(4)對隨意的x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)存在x∈R，x2＋1＝0.[解析](1)命題中含有全稱量詞“隨意的”，故該命題為全稱命題．對隨意的x∈R，x2≥0，所以x2＋2≥2，所以x2＋2>0，所以該命題是真命題．(2)命題中含有全稱量詞“隨意的”，故該命題為全稱命題．因為0∈N，當x＝0時，x4≥1不成立，所以該命題是假命題．(3)命題中含有存在量詞“存在”，故該命題為特稱命題．因為－1∈Z，當x＝－1時，能使x3<1，所以該命題是真命題．(4)命題中含有全稱量詞“隨意的”，故該命題為全稱命題．因為對于x∈R，只有當x＝2或x＝1時滿意x2－3x＋2＝0，所以該命題為假命題．(5)命題中含有存在量詞“存在”，故該命題為特稱命題．因為不存在一個實數(shù)x，使x2＋1＝0成立，所以該命題為假命題．1．要判定命題是全稱命題還是特稱命題，主要方法是看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，要留意的是有些全稱命題的敘述中并不含有全稱量詞，這時我們就要依據(jù)命題涉及的意義去推斷．2．要判定一個全稱命題是真命題，必需對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x0，使得p(x0)不成馬上可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)．3．要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x0使p(x0)成馬上可；否則，這個特稱命題就是假命題．1．指出下列命題是全稱命題，還是特稱命題，并推斷真假．(1)若a>0，且a≠1，則對隨意實數(shù)x，ax>0.(2)對隨意實數(shù)x1，x2，若x1<x2，則tanx1<tanx2.(3)存在兩個相交平面垂直于同一條直線．(4)存在T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sinx|.解析：(1)是全稱命題．∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命題(1)是真命題．(2)是全稱命題．存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命題(2)是假命題．(3)是特稱命題．由于垂直于同一條直線的兩個平面是相互平行的，∴命題(3)是假命題．(4)是特稱命題．y＝|sinx|是周期函數(shù)，π就是它的一個周期，∴命題(4)是真命題．2．推斷下列命題的真假，并說明理由：(1)對隨意x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2)成立；(2)存在實數(shù)α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ成立；(3)對隨意x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)存在x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3成立．解析：(1)解法一當x∈R時，x2－x＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞eq\f(1,2)，所以該命題是真命題．解法二x2－x＋1>eq\f(1,2)?x2－x＋eq\f(1,2)>0，由于Δ＝1－4×eq\f(1,2)＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>eq\f(1,2)的解集是R，所以該命題是真命題．(2)當α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)時，cos(α－β)＝cos(eq\f(π,4)－eq\f(π,2))＝cos(－eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，cosα－cosβ＝coseq\f(π,4)－coseq\f(π,2)＝eq\f(\r(2),2)－0＝eq\f(\r(2),2)，此時cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以該命題是真命題．(3)當x＝2，y＝4時，x－y＝－2?N，所以該命題是假命題．(4)當x＝0，y＝3時，eq\r(2)x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3，所以該命題是真命題．探究二全稱命題與特稱命題的否定[典例2]寫出下面命題的否定，并推斷其真假．(1)p：隨意x∈R，都有|x|＝x；(2)p：隨意x∈R，都有x3>x2；(3)p：至少有一個二次函數(shù)沒有零點．[解析](1)p是全稱命題．其否定為：存在x0∈R，使得|x0|≠x0；如x0＝－1，則|－1|＝1≠－1，所以其否定是真命題．(2)p是全稱命題．其否定為：存在x0∈R，使得xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0)；如x0＝－1時，(－1)3＝－1≤(－1)2，所以其否定是真命題．(3)p是特稱命題．其否定為：全部二次函數(shù)都有零點；如二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，無零點，所以其否定為假命題．一般而言，全稱命題的否定是一個特稱命題，特稱命題的否定是一個全稱命題．因此，在敘述命題的否定時，要留意量詞間的轉(zhuǎn)換．同時，還要留意原命題中是否有省略的量詞，要理解原命題的本質(zhì)．如“三角形有外接圓”的本質(zhì)應(yīng)為“全部三角形都有外接圓”，因此，其否定為“存在一個三角形沒有外接圓”．3．推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出其否定形式．(1)對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；(2)至少有一個整數(shù)能被2整除且能被5整除；(3)存在x∈R，使log2x>0成立；(4)對隨意m∈Z，都有m2－3>0成立．解析：(1)命題省略了全稱量詞“全部”，所以是全稱命題；否定形式：有的對數(shù)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)．(2)命題含有存在量詞“至少”，所以是特稱命題；否定形式：全部整數(shù)不能被2整除或不能被5整除．(3)命題含有存在量詞，所以是特稱命題；否定形式：對隨意x∈R，都有l(wèi)og2x≤0.(4)命題中含有全稱量詞“隨意”，所以是全稱命題；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．4．推斷下列命題的真假，寫出這些命題的否定并推斷其真假．(1)每條直線在y軸上都有一個截距；(2)平面內(nèi)，存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°；(3)存在一個四邊形沒有外接圓．解析：(1)命題為假命題；命題的否定為：“并非每條直線在y軸上都有一個截距”或“存在一條直線在y軸上沒有截距”，其命題的否定為真命題．(2)命題為假命題；命題的否定為：“平面內(nèi)，不存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°”或“對隨意三角形，它的內(nèi)角和都不小于180°”，其命題的否定為真命題．(3)命題為真命題；命題的否定為：“不存在一個四邊形沒有外接圓”或“對隨意一個四邊形，都有外接圓”，其命題的否定為假命題．探究三全稱命題、特稱命題的應(yīng)用eq\x(\a\al(全稱命題、,特稱命題,的應(yīng)用))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(命題的否定與否命題的區(qū)分),—\x(求變量的取值范圍),—\x(求參數(shù)的取值范圍)))5．寫出下列命題的否定與否命題．(1)正數(shù)a的平方根不等于零；(2)平行四邊形的對邊相等．解析：(1)命題的否定：正數(shù)a的平方根等于零；否命題：若a不是正數(shù)，則a的平方根等于零．(2)命題的否定：平行四邊形的對邊不相等；否命題：若一個四邊形不是平行四邊形，則它的對邊不相等．6．已知p(x)為真命題，求實數(shù)x的取值范圍．(1)p(x)：log2x2－1>0；(2)p(x)：4x－2x＋1－3<0.解析：(1)由log2x2－1>0，得x2>2，解得x∈(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)由4x－2x＋1－3<0，得(2x－3)(2x＋1)<0.因為2x＋1>0，所以2x<3，解得x∈(－∞，log23)．7．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5.(1)若命題“對于隨意x∈R，不等式m＋f(x)>0恒成立”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若命題“存在實數(shù)x使不等式m－f(x)>0成立”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．解析：(1)不等式m＋f(x)>0可化為m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4對于隨意x∈R恒成立，則m>－4，故實數(shù)m的取值范圍是(－4，＋∞)．(2)不等式m－f(x)>0可化為m>f(x)．若存在實數(shù)x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，得f(x)min＝4，所以m>4.故所求實數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．因否定不全面致誤[典例]寫出命題p：“存在x∈[0,1]，eq\f(xx－2,x－1)<0”的否定，并推斷p與其否定的真假．[解析]p的否