石家莊第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

石家莊第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面內(nèi)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A B.C. D.3．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.24．過點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條5．某研究所為了研究近幾年中國留學(xué)生回國人數(shù)的情況，對(duì)2014至2018年留學(xué)生回國人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表：年份20142015201620172018年份代碼12345留學(xué)生回國人數(shù)/萬36.540.943.348.151.9根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求得留學(xué)生回國人數(shù)（單位：萬）與年份代碼滿足的線性回歸方程為，利用回歸方程預(yù)測(cè)年留學(xué)生回國人數(shù)為（）A.63.14萬 B.64.72萬C.66.81萬 D.66.94萬6．曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.0C.1 D.27．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，當(dāng)最小時(shí)，的值為（）A.3 B.4C.5 D.68．將一個(gè)表面積為的球用一個(gè)正方體盒子裝起來，則這個(gè)正方體盒子的最小體積為（）A. B.C. D.9．積分（）A. B.C. D.10．已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離11．函數(shù)在和處的導(dǎo)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定12．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.15．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________16．一條直線過點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則弦中點(diǎn)到直線的距離等于__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程18．（12分）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值19．（12分）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點(diǎn)在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若問題中的不存在，請(qǐng)說明理由設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，___________，，，是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意都有？22．（10分）設(shè)函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】計(jì)算出復(fù)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由于，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限，故選：A.2、D【解析】根據(jù)拋物線方程求出，進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.【詳解】由可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.3、B【解析】配方求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】過的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【詳解】易知過點(diǎn)，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，即直線與擾物線只有一個(gè)公共點(diǎn).故滿足題意的直線有2條.故選：B5、D【解析】先求出樣本點(diǎn)的中心，代入線性回歸方程即可求出，再將代入線性回歸方程即可得到結(jié)果【詳解】由題意知：，，所以樣本點(diǎn)的中心為，所以，解得：，可得線性回歸方程為，年對(duì)應(yīng)的年份代碼為，令，則，所以預(yù)測(cè)2022年留學(xué)生回國人數(shù)為66.94萬，故選：D.6、A【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程為，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得故選：A7、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列相關(guān)計(jì)算得到，，進(jìn)而求出與，代入后得到，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性得到當(dāng)時(shí)，取得最小值.【詳解】顯然，由題意得：，，兩式相除得：，將代入，解得：，所以，所以，，所以，其中單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B8、C【解析】求出球的半徑，要使這個(gè)正方形盒子的體積最小，則這個(gè)正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，故該球的半徑為11cm，若要使這個(gè)正方形盒子的體積最小，則這個(gè)正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑，即22cm，所以這個(gè)正方體盒子的最小體積為.故選：C.9、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B10、A【解析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，即可判斷位置關(guān)系.【詳解】對(duì)圓，其圓心，半徑；對(duì)圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.11、A【解析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可比較.【詳解】，，所以，即.故選：A.12、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)由題可知，當(dāng)時(shí)，可得適合題意，當(dāng)時(shí)，可求函數(shù)的最小值即得，當(dāng)時(shí)不合題意，即得.【詳解】設(shè)，由題可知，∴，當(dāng)時(shí)，，適合題意，所以，當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，∴，又，∴，∴，即，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，故的值有正有負(fù)，不合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，設(shè)由題可知，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最小值，結(jié)合，可得，進(jìn)而通過解，即得.14、【解析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以切線的斜率，切點(diǎn)為，則切線方程為故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：16、【解析】求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，進(jìn)一步得到弦的中點(diǎn)到直線的距離【詳解】解：如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，，弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求得直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求得直線的方程.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問2詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18、（1）；（2）或.【解析】（1）坐標(biāo)表示出、，利用向量夾角的坐標(biāo)表示求夾角余弦值；（2）坐標(biāo)表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求的值.【詳解】由題設(shè)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夾角余弦值為.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，則(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.19、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，利用與關(guān)系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求，分析{}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)組成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，∴，設(shè){}前n項(xiàng)和為，①①×3：②①－②：20、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量可得，即平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得答案；（2）設(shè)直線與平面所成角的為，可得答案；（3）由二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，所以，所以，所以平面，平面，所以.【小問2詳解】，所以，由（1）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角的為，所以直線與平面所成角的正弦值.【小問3詳解】由已知為平面的一個(gè)法向量，且，由（1）平面的一個(gè)法向量為，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.21、答案見解析【解析】由已知條件可得，假設(shè)時(shí)，取最小值，則，若補(bǔ)充條件是①，則可求得，代入化簡(jiǎn)可求出的取值范圍，從而可求得答案，若補(bǔ)充條件是②，則可得，該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，若補(bǔ)充條件是③，則可得，代入化簡(jiǎn)可求出的取值范圍，從而可求得答案，【詳解】解：等差數(shù)列的公差為d，當(dāng)時(shí)，，得，從而，當(dāng)時(shí)，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，由對(duì)任意，都有，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值時(shí)，假設(shè)時(shí)，取最小值，所以；若補(bǔ)充條件是①，因?yàn)?，，從而，由得，所以，由等差?shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，又，所以.所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為若補(bǔ)充條件是②，由，即，又，所以.所以，由于該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，故實(shí)數(shù)不存在以下為嚴(yán)格的證明：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，所以，所以不存在k，使得取最小值，故實(shí)數(shù)不存在若補(bǔ)充條件是③，由，得，又，所以，所以由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，又，所以.所以存在，使得取最小值，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為22、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得的單調(diào)性；（2）令，利用導(dǎo)