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高中數(shù)學(xué)課程PAGEPAGE71.1.1.1《正弦定理》探究式學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握正弦定理的內(nèi)容;2.掌握正弦定理的證明方法;3.會(huì)運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類基本問題.【重、難點(diǎn)】重點(diǎn):正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.難點(diǎn):已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù).【知識(shí)鏈接】問題1.在一個(gè)三角形中,有幾個(gè)角?有幾條邊?答:三個(gè)角,三條邊問題2.在一個(gè)三角形中,三個(gè)內(nèi)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系?三條邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系?答:三角形三個(gè)內(nèi)角角,三條邊問題3.在一個(gè)三角形中,邊與角有怎樣的數(shù)量關(guān)系?答:大邊對(duì)大角.【自主探究】(一)要點(diǎn)識(shí)記1.正弦定理:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即a2.三角形的元素:一般地,把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.3.解三角形:已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫作解三角形.(二)深層探究1.對(duì)定理的證明,教材用___________方法證明了直角三角形和銳角三角形的情況,為證明任意三角形中的正弦定理,還需要證明_______三角形的情況.【答案】等高法,鈍角2.請給出上述情況下的定理的證明.證明:如圖,過C作CD⊥AB,垂足為D,D是BA延長線上一點(diǎn),根據(jù)正弦函數(shù)的定義知:eq\f(CD,b)=sin∠CAD=sin(180°-A)=sinA,eq\f(CD,a)=sinB.∴CD=bsinA=asinB.∴eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB).同理,eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC).∴eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC).3.正弦定理可以解決哪幾種三角形問題?答:(1)兩角任一邊;(2)兩邊一對(duì)角4.正弦定理有哪些變形?答:變式1:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.變式2:sinA=a2R,sinB=b2R,sin變式3:a:b:c=sinA:sinB:sinC.(三)拓展探究1.你能用外接圓法證明正弦定理嗎?證明:(1)當(dāng)?ABC是直角三角形時(shí),斜邊c就是外接圓的直徑2R,易證eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R.(2)當(dāng)?ABC是直銳角三角形時(shí),作三角形?ABC的外接圓O(如圖1),過點(diǎn)B作圓O的直徑BD,連接AD則由圓的性質(zhì)易得∠ACB=∠ADB,BA⊥DA.∴sin∠ACB=sin∠ADB又在Rt?ABD中,sin∠ADB=ABBD=c2R∴sin∠ACB同理,a∴在銳角?ABC中(3)當(dāng)?ABC是直銳角三角形時(shí),作三角形?ABC的外接圓O,過點(diǎn)B作圓O的直徑BD,連接CD,如圖3,由四邊形及圓的性質(zhì)易得∠A=180°-∠∴eq\f(a,sinA)=eq\f(a,sin180°-D)=eq\f(a,sinD)=2R.同理,eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R,∴在鈍角?ABC中eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2R仍成立.2.你能用正弦定理解釋“大邊對(duì)大角”嗎?答:在任意ABC中,不妨設(shè)a<b,則由正弦定理得2RsinA<2R若A,B都是銳角,因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以有A若A是銳角,B是直角或鈍角,顯然有A<B;若A是鈍角,B是直角或銳角,則A+B<π,即0∴y=sinB<sin綜上所述:任意?ABC中,若a<b,則A<B,即大邊對(duì)大角.【典例突破】題型一.兩角任一邊例1.已知?ABC中,AB=6,A=30°,B=120°【解析】∵A=30°,B=∴C=180°-30°-120°=30°∴由正弦定理得AC=ABsin∴C=30°,AC=63,變式1.在?ABC中,已知B=45o,C=60o,a=12cm,解此【答案】A=75°題型二.兩邊一對(duì)角例2.已知?ABC中,a=15,b=10,A=60°,則sin33B.63C.2【答案】A【解析】由正弦定理asinA變式2.在?ABC中,若3a=2【答案】B=60°或B=120°【解題反思】從解題過程和結(jié)果上看,上述兩個(gè)題型有什么不同?談?wù)勀愕睦斫?答:“兩邊一對(duì)角”的三角形問題的解可能有一組,也可能有兩組,求解時(shí)要根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷取舍.2.你能否解釋為什么“角角邊”和“角邊角”可以判定兩個(gè)三角形全等,而“邊邊角”不能?答:“角角邊”與“角邊角”就是“兩角任一邊”的題型,從例2可以看出這兩個(gè)條件都可唯一確定三角形,因而可以作為三角形全等的判定條件;“邊邊角”即“兩邊一對(duì)角”的題型,從例2及其變式可知,這種題型的可能有兩組解,即它不能唯一確定三角形,因而不是三角形全等的判定條件.一課一練1.在?ABC中,已知a=8,A.42B.43C.462.在?ABC中,若a=5,b=3,則sinA.53B.35C.573.在?ABC中,若sinA>sinB,則A與B的大小關(guān)系為A.A>BB.C.A≥BD.A,B的大小關(guān)系不能確定4.以下關(guān)于正弦定理的敘述錯(cuò)誤的是()A.在?ABC中,B.在?ABC中,若sin2A=sin2B,則C.在?ABC中,若sinA>sinB,則A>D.在?ABC中,5.在?ABC中,b=2aA.30°或60°B.45°或60°C.120°或60°D.30°6.在?ABC中,角A,C的對(duì)邊分別為a,c,若A.2B.12C.32D選擇題答題欄1234567.已知?ABC中,sinA:sin8.已知?ABC中,A=60°,a=9.已知a,b,c分別是?ABC則A=10.已知?ABC中,AB=6,A=30°,B=120°11.已知?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為ba12.用向量法證明正弦定理.《導(dǎo)學(xué)案》參考答案例1.【解析】∵A=30°,B=120°∴C=180°-30°-120°=30°∴由正弦定理得AC=ABsin∴C=30°,AC=63,變式1.【答案】A=75°例2.【答案】A【解析】由正弦定理asinA=bsin變式2.【解析】由正弦定理得3∵sinA≠0∴sinB=又B∈0,π∴《一課一練》參考答案1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A【解析】(1)當(dāng)A≥90°時(shí),一定有A>B(2)當(dāng)A<90°時(shí),①若B<90°,則由正弦函數(shù)的單調(diào)性得則A<90°,180°-BA>180°-B,即A+B>180°綜合(1)(2)知A4.【答案】B【解析】∵在△ABC中,0°∴0°∴由sin2A=sin2B可得2A=2B或2A=180°-2B∴A=B或A=180°-B∴當(dāng)A=B時(shí)a=b;當(dāng)A=180°-B時(shí),a5.【答案】D【解析】由b=2asinB得bsinB所以A=30°或A=150°6.【答案】C【解析】由正弦定理得ca=sin7.【答案】1【解析】由正限定理得a=2R8.【答案】2【解析】asinA=b9.【答案】30°【解析】由A+C=2BA又a<b,所以A<10.【解析】∵△ABC中C=180°-A-B=60
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