專題30一次函數(shù)中等腰（直角）三角形存在問(wèn)題綜合應(yīng)用

專題30一次函數(shù)中等腰（直角）三角形存在問(wèn)題綜合應(yīng)用解答方法解答方法一．等腰三角形存在性問(wèn)題1、找點(diǎn)方法：①以AB為半徑，點(diǎn)A為圓心做圓，此時(shí)，圓上的點(diǎn)（除D點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：圓上半徑相等）②以AB為半徑，點(diǎn)B為圓心做圓，此時(shí)，圓上的點(diǎn)（除E點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以B為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：圓上半徑相等）③做AB的垂直平分線，此時(shí)，直線上的點(diǎn)（除F點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以C為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）2、求點(diǎn)方法：為AB’典例分析典例分析【考點(diǎn)1等腰三角形的存在性問(wèn)題】【典例1】如圖，直線的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，將△AOB沿直線l對(duì)折使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，直線l與x軸交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，連接BC．（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知y軸上有一點(diǎn)P，若以點(diǎn)B，C，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（0，﹣4）或（0，9）或（0，﹣1）．【解答】解：（1）對(duì)于一次函數(shù)，令x＝0，則y＝4；令y＝0，則，∴x＝8，∴A（8，0），B（0，4），∵將△AOB沿直線l對(duì)折使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，直線l與AB交于點(diǎn)D，∴點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）；（3）設(shè)OC＝a，∵將△AOB沿直線l對(duì)折使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，直線l與x軸交于點(diǎn)C，∴BC＝AC＝8﹣a，在Rt△OBC中，OC2+OB2＝BC2，∴a2+42＝（8﹣a）2，∴a＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）；設(shè)P（0，m），∵B（0，4），∴BC2＝32+42＝25，CP2＝32+m2＝9+m2，BP2＝（m﹣4）2，∵△PCB是等腰三角形，∴①當(dāng)PC＝PB時(shí)，m2+9＝（m﹣4）2，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)PC＝CB時(shí)，m2+9＝25，∴m＝4（舍）或m＝﹣4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣4）；③當(dāng)CB＝PB時(shí)，25＝（m﹣4）2，∴m＝9或m＝﹣1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，9）或（0，﹣1），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（0，﹣4）或（0，9）或（0，﹣1）．【變式11】如圖，直線y＝﹣與直線y＝x+b交于點(diǎn)A（﹣1，m），直線y＝﹣與x軸交于點(diǎn)B，直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)C．（1）求m和b的值；（2）在x軸上，是否存在點(diǎn)P，使△PAC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）m的值為4，b的值為5；（2）存在點(diǎn)P，使△PAC為等腰三角形，P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（4﹣5，0）或（﹣4﹣5，0）或（3，0）．【解答】解：（1）把A（﹣1，m）代入y＝﹣得：m＝+＝4，∴A（﹣1，4），把A（﹣1，4）代入y＝x+b得：4＝﹣1+b，解得b＝5，∴m的值為4，b的值為5；（2）存在點(diǎn)P，使△PAC為等腰三角形，理由如下：設(shè)P（m，0），在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣5，∴C（﹣5，0），∵A（﹣1，4），∴PA2＝（m+1）2+16，PC2＝（m+5）2，AC2＝32，①當(dāng)PA＝PC時(shí)，（m+1）2+16＝（m+5）2，解得m＝﹣1，∴P（﹣1，0）；②當(dāng)PC＝AC時(shí)，（m+5）2＝32，解得m＝4﹣5或m＝﹣4﹣5，∴P（4﹣5，0）或（﹣4﹣5，0）；③當(dāng)PA＝AC時(shí)，（m+1）2+16＝32，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），∴P（3，0）；綜上所述，P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（4﹣5，0）或（﹣4﹣5，0）或（3，0）．【變式12】如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（0，2），C（2，3），D（4，0）．（1）求直線BC的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)M在x軸上，且△MBC是等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）（1，0）或（﹣1，0）或．【解答】解：（1）設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+b，把點(diǎn)B（0，2），C（2，3）代入y＝kx+b得，，解得，∴直線BC的表達(dá)式為；（2）要使得△MBC是等腰三角形，則有兩種可能：①以BC為腰：∵CM的最小值應(yīng)為，∴另一個(gè)腰應(yīng)為：BM，∴當(dāng)時(shí)，△MBC是等腰三角形，設(shè)M（a，0），則OM＝|a|，由勾股定理得，OM2+OB2＝BM2，∴，解得，a＝±1，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣1，0），②以BC為底，BM，CM為腰：i）當(dāng)點(diǎn)M在OD內(nèi)時(shí)，設(shè)M（x，0），則有：，ME＝|x﹣2|，∴，∵CM＝BM，∴CM2＝BM2，∴4+x2＝9+（x﹣2）2，解得，，∴ii）當(dāng)點(diǎn)M在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)M（x，0），則有：，ME＝x﹣2，由i）可知，（不符合題意，舍去），iii）當(dāng)點(diǎn)M在OD外x軸的正半軸上時(shí)，設(shè)M（x，0），則有：，ME＝2﹣x，∴，由i）可知，（不符合題意，舍去），∴以BC為底，BM，CM為腰時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣1，0）或．【考點(diǎn)2等腰直角三角形的存在性問(wèn)題】【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)B（3，0）．（1）求直線BC的解析式；（2）已知D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)△CDP是以CD為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，3）或（0，0）或或（﹣，）．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x+3得：y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b（k≠0），把點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3；（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），D為AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為①當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于F，交x軸于H，∵DE⊥y軸，PF⊥DE，∴∠PFD＝∠CED＝90°，∵△CDP是等腰直角三角形，∴DP＝CD，∠CDB＝90°，∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，則∠PDF＝∠DCE，∴△PDF≌△CDE（AAS），∴DF＝CE，PF＝DECE，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，3），∴，，，∴，∴P（﹣3，3），同理可得P′（0，0），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（﹣3，3）或P′（0，0）②當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，同①可得△PCM≌△CDN，∴DN＝CM，PM＝CN，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，3），∴，∴，∴，同理可得P′（﹣，），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，3）或（0，0）或或（﹣，）．【變式21】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝kx+b（k≠0）與直線l2：y＝x交于點(diǎn)A（2，a），與y軸交于點(diǎn)B（0，6），與x軸交于點(diǎn)C．（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)P（5，m），使得S△AOP＝S△AOC，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M為直線l1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交l2于點(diǎn)N，點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且△MNQ為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，2）或（5，8）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，3）或（6，﹣6）或（3，0）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（2，a）在直線l2：y＝x上，∴a＝2，即A（2，2），∵直線l1：y＝kx+b過(guò)點(diǎn)A（2，2）、點(diǎn)B（0，6），∴，解得：，∴直線l1的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣2x+6；（2）∵S△AOP＝S△AOC，∴當(dāng)以AO為底邊時(shí)，兩三角形等高，∴過(guò)點(diǎn)P且與直線AO平行的直線l3為：y＝x+d，①直線l3過(guò)點(diǎn)C（3，0），得l3為：y＝x﹣3，當(dāng)x＝5時(shí)，m＝5﹣3＝2，∴點(diǎn)P（5，2），②點(diǎn)C（3，0）關(guān)于點(diǎn)A（2，2）的對(duì)稱點(diǎn)為（1，4），直線l3過(guò)點(diǎn)（1，4），得l3為：y＝x+3，當(dāng)x＝5時(shí)，m＝5+3＝8，∴點(diǎn)P（5，8），綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，2）或（5，8）；（3）設(shè)M（t，﹣2t+6），則N（t，t），∴MN＝|﹣2t+6﹣t|＝|3t﹣6|，①如圖1，若∠MQN＝90°，MQ＝NQ，則有MN＝2|xM|＝2|t|，∴|3t﹣6|＝2|t|，∴t＝或t＝6，∴M（，）或（6，﹣6），②如圖2，圖3，若∠QMN＝90°或∠QNM＝90°，則MN＝|xM|＝|t|，∴|3t﹣6|＝|t|，∴t＝或t＝3，∴M（，3）或（3，0）．綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，3）或（6，﹣6）或（3，0）．【變式22】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B．直線l2：y＝mx+m（m＞0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，直線l1與l2交于點(diǎn)E．（1）若點(diǎn)E坐標(biāo)為（，n）．?。┣髆的值；ⅱ）點(diǎn)P在直線l2上，若S△AEP＝3S△BDE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使△CFG為以FC為直角邊的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）ⅰ）m＝2；ⅱ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）或（，）；（2）存在，m＝．【解答】解：（1）當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣x+4＝，即點(diǎn)E（，），ⅰ）將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y＝mx+m得：＝m（1+），解得：m＝2；ⅱ）由點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)得：BD＝2，xE＝，則3S△BDE＝3××2×＝2＝S△AEP，由A、E的坐標(biāo)得：AE＝＝，設(shè)△PAE的底邊AE上的高為h，則S△PAE＝AE?h＝h＝2，解得：h＝，由直線AB的表達(dá)式知，OA＝OB＝4，則∠BAC＝45°，取AM＝h，作直線l∥AB，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥l于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則直線l和直線CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則Rt△AMN為等腰直角三角形，則MN＝AM＝h＝＝AN，則點(diǎn)M（，﹣），設(shè)直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x+r，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入上式并解得：r＝，則直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x+，聯(lián)立直線l和y＝2x+2并解得：，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，同理可得：點(diǎn)P（，）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）或（，）；（2）存在，理由：設(shè)點(diǎn)E（n，﹣n+4），則點(diǎn)F（，），過(guò)點(diǎn)F分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，∵△CFG為以FC為直角邊的等腰直角三角形，則FC＝FG，∠GFC＝90°，∵∠NFG+∠GFM＝90°，∠GFM+∠MFC＝90°，∴∠NFG＝∠MFC，∵∠FNG＝∠FMC＝90°，F(xiàn)C＝FG，∴△FNG≌△FMC（AAS），∴FN＝FM，即||＝，解得：n＝，則點(diǎn)E（，），將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y＝mx+m并解得：m＝．夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)B，且與正比例函數(shù)y＝x的圖象交于點(diǎn)C（m，6）．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝x+3；（2）在x軸上存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．【解答】解：（1）∵將點(diǎn)C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（3）在x軸上存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，當(dāng)B為等腰三角形頂角頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴P（4，0）；當(dāng)A為等腰三角形頂角頂點(diǎn)時(shí)，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；當(dāng)P為等腰三角形頂角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)B（6，0）．（1）求直線BC的解析式；（2）已知D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)△CDP是以CD為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）或（3，）或（﹣3，）．【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），∵點(diǎn)B（6，0）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0）：∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6；（3）∵A（﹣3，0），C（0，6），D為AC的中點(diǎn)，∴D（﹣，3），①當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于F，交x軸于H，∴∠F＝∠CED＝90°，∵△CDP是等腰直角三角形，∴DP＝CD，∠CDB＝90°，∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴△PDF≌△CDE（AAS），∴DF＝CE，PF＝DE，∵D（﹣，3），C（0，6）．∴DE＝PF＝，OE＝3，CE＝DF＝6﹣3＝3，∴EF＝3+＝，PH＝3+＝，∴P（﹣，），同理得：P′（，）；∴P（﹣，）或（，）；②當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，同①可得△PCM≌△CDN（AAS），∴DN＝CM，PM＝CN，∵D（﹣，3），C（0，6）．∴DN＝CM＝，ON＝3，CN＝PM＝6﹣3＝3，∴OM＝6﹣＝，∴P（3，），同理得：P′（﹣3，）；∴P（3，）或（﹣3，）．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）或（3，）或（﹣3，）．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1的解析式為y＝x，直線l2的解析式為y＝﹣x+3，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，直線l1與l2交于點(diǎn)C．（1）求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△POC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）；（2）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，0）或（2，0）或（2，0）或（﹣2，0）．【解答】解：（1）對(duì)于直線l2的解析式為y＝﹣x+3，令x＝0，得到y(tǒng)＝3，∴B（0，3），令y＝0，得到x＝6，∴A（6，0）．∴點(diǎn)A是坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）；（3）存在．∵點(diǎn)C（2，2），∴OC＝＝2，∠AOC＝45°，設(shè)P（x，0），①當(dāng)PC＝OC＝2時(shí)，如圖，∵點(diǎn)C（2，2），∴PC2＝22+（x﹣2）2，∴（2）2＝22+（x﹣2）2，∴x＝0或4，∵x＝0時(shí)，與點(diǎn)O重合，故舍去，∴點(diǎn)P（4，0）；②當(dāng)CP＝OP時(shí)，如圖，∵CP＝OP，∠AOC＝45°，∴∠OCP＝45°，∴∠OPC＝90°，∴點(diǎn)C（2，2），∴OP＝2，∴點(diǎn)P（2，0）；③當(dāng)OC＝OP＝2時(shí)，如圖，點(diǎn)P（2，0）或（﹣2，0），綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，0）或（2，0）或（2，0）或（﹣2，0）．4．如圖，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)P是射線BO上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線交x軸于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)C，連結(jié)OC．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時(shí)，①求證：△AOP≌△BOQ；②若點(diǎn)P為BO的