專題04相似三角形的存在性-2023年中考數(shù)學(xué)畢業(yè)班二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（專用）（原卷版）

專題04相似三角形的存在性目錄最新?？碱}熱點(diǎn)題型歸納【題型一】相似三角形的存在性【題型二】圓和相似三角形【題型三】雙等角模型【題型四】345模型【題型一】相似三角形的存在性【典例分析】1．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，點(diǎn)D是斜邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，EF垂直平分BD交射線BA于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)E．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D是斜邊AC上的中點(diǎn)時(shí)，求EF的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)F在邊BA的延長(zhǎng)線上，且AF＝2時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【提分秘籍】相似三角形存在性問(wèn)題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數(shù)值初中階段衡量角度問(wèn)題的計(jì)算手段，二次函數(shù)角的存在性壓軸專題應(yīng)用更為突出）①若有已知的相等角，則其頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)；②若沒(méi)有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大??；②若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后用相似來(lái)列方程求解?！咀兪窖菥殹?．（2023楊浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的中線，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)Q是CB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）當(dāng)點(diǎn)B為CQ的中點(diǎn)時(shí)，求PD的長(zhǎng)；（2）設(shè)BQ＝x，PD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AB交PQ于F，當(dāng)△BDF和△ABC相似時(shí)，求BQ的長(zhǎng)．2．（2023徐匯區(qū)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，∠EDB＝∠ADC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)G，交射線AC于點(diǎn)F．（1）如果點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求∠DAB的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)，設(shè)CD＝x，CF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果△CDF與△AGE相似，求線段CD的長(zhǎng)．3．（2021·上海徐匯區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊在外作正方形，分別聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求正方形的面積；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如果和相似，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．4．（2021·上海楊浦區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，已知在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)F．（1）如果點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，求的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；（3）聯(lián)結(jié)如果與相似，求線段的長(zhǎng)．5.（2021松江一模）如圖，已知在等腰中，，，，垂足為F，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)（不與A，B重合）（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)DF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如果，求線段AD的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，DE交BF于點(diǎn)Q，連接DF，如果和相似，求線段BD的長(zhǎng)．【題型二】圓和相似三角形【典例分析】（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，BC＝OB，點(diǎn)D是在半圓O上的點(diǎn)（不與A，B兩點(diǎn)重合），CE⊥CD且CE＝CD，聯(lián)結(jié)DE．（1）如圖1，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果DF＝BF，求證：；（2）如圖2，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果點(diǎn)D平分，求tan∠DFA；（3）聯(lián)結(jié)OE交CD于點(diǎn)G，當(dāng)△DOG和△EGC相似時(shí)，求∠AOD．【提分秘籍】[圓中相似思路]利用圓周角定理等盡可能找相等角，兩組角相等即可證全等:若有相等線段轉(zhuǎn)化線段，問(wèn)題中的線段可能并非相似三角形中的線段確定相等線段、角之后，猜想可能存在的相似并證明.【變式演練】1.【2021寶山二?！咳鐖D，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為點(diǎn)B、點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以點(diǎn)P為圓心作圓，圓P與直線BC相切．①求圓P的半徑長(zhǎng)；②又BC＝8，以BC為直徑作圓O，試判斷圓O與圓P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如果分別以AB、CD為直徑的兩圓外切，求證：△ABC與△BCD相似．2.【2021虹口二?！浚ū绢}滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，點(diǎn)M是射線AB上一點(diǎn)，以MC為半徑的⊙M交直線AC于點(diǎn)D．（1）如圖9，當(dāng)MC=AC時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BM=x，四邊形CBMD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）如果直線MD與射線BC相交于點(diǎn)E，且△ECD與△EMC相似，求線段BM的長(zhǎng)．CCMBA圖9DCCBA備用圖3.【2021年浦東新區(qū)二模】（14分）已知：半圓O的直徑AB＝6，點(diǎn)C在半圓O上，且tan∠ABC＝2，點(diǎn)D為弧AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DC（如圖）（1）求BC的長(zhǎng)；（2）若射線DC交射線AB于點(diǎn)M，且△MBC與△MOC相似，求CD的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)OD，當(dāng)OD∥