專題35幾何中的動點問題

幾何中的動點問題1．（2023?耿馬縣一模）如圖，在中，，、分別為、的中點，連接并延長至點，且，點為直線上的一個動點．（1）求證：四邊形為菱形．（2）若，菱形的面積為24，求的最小值．【解答】（1）證明：是的中點，，，四邊形是平行四邊形，、分別為、的中點，，，，，四邊形為菱形；（2）解：四邊形為菱形，、關(guān)于對稱，當為與的交點時，最小，最小值為的長，過作交的延長線于點，，菱形的面積為24，，，，，．2．（2023?浦東新區(qū)二模）已知：的直徑，是的中點，是上的一個動點（不與點、、重合），射線交射線于點．（1）如圖1，當時，求線段的長；（2）如圖2，當點在上運動時，連接、，中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請指出這個角并求其度數(shù)；如果不存在，請說明理由；（3）聯(lián)結(jié)，當是以為腰的等腰三角形時，求與面積的比值．【解答】（1）解：如圖1，連接、、，是的中點，是半徑，，，，，，，，，，，，．（2）不變，．如圖2，連接，是的中點，，是的直徑，，，，．（3）解：①如圖3，當點在的延長線上時，，，，是的中點，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，．②如圖4，當點在上時，過點作于，，，，，，，，設，，，，由得，，，，，，，③如圖5，當點在上時，，長度與②中相同，，，綜上得，與面積的比值為：或或．3．（2023?新?lián)釁^(qū)三模）如圖，在矩形中，是射線上的動點，連接，，分別為，的中點，連接，，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，當時，直接寫出的長．【解答】（1）證明：為的中點，，四邊形是矩形，，，在和中，，，；（2）證明：延長、交于點，如圖所示：四邊形是矩形，，，，為的中點，，在和中，，，，，由（1）得：，，，，在和中，，，；（3）過作于，則四邊形是矩形，，，，，由（2）知，．4．（2023?長沙模擬）如圖，為的直徑，弦于點，且為的中點，交于點，若，，動點是上一點，過點作的切線，交的延長線于點．（1）求的長；（2）連接，求證：；（3）當動點在的圓周上運動時，的比值是否發(fā)生變化？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律．【解答】（1）解：為的中點，弦于，，，，，（2）證明：連接，，，交于點，，，，，，，，，，是的中位線，，為的直徑，，；（3）解：的值不變．理由：如圖2，連接，則，，，，，同理，則，，由（1）知，設，則，故，解得：，故，即，．當點與點重合時：，當點與點重合時：，當點不與點、重合時：連接、、、，，，，，，．綜上所述，的比值不變，比值為．5．（2023?張店區(qū)一模）如圖1，邊長為的正方形中，點為邊上一個動點，連接，作于點，交邊于，交邊于．（1）求證：；（2）如圖2，連接，線段交于點，點為的中點．①當時，求的長；②線段是否存在最小值和最大值，若存在，請直接寫出線段的最小值和最大值，若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：過點作，交于點，交于點，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，；（2）解：①連接，，，，，又點為的中點，垂直平分，，正方形關(guān)于對稱，，，點，，在以點為圓心為半徑的圓上，四邊形是正方形，，，，，，；②存在最小值和最大值，的最小值為，最大值為2，理由：由①知，是正方形的對角線，，當點和點重合時，，此時最小，最小值，當點和重合時，，此時最大，最大值．6．（2023?許昌一模）（1）問題背景：數(shù)學課上，李老師出示了如下題目：如圖1，在正方形中，點、分別在邊、上，，求證：．小華同學給出了如下的部分證明過程．證明：延長到點使，連接，四邊形是正方形，，，在和中，，請你完成剩余的證明過程．（2）遷移應用：李老師在（1）的基礎(chǔ)上，添加了和兩個條件，請求出正方形的邊長．（3）拓展探究：如圖2，在邊長為6的正方形中，點在的延長線上，，連接交于點，動點在邊上，動點在線段上（點與、不重合），且，連接并延長，交射線于點，設，請直接寫出的取值范圍．【解答】（1）證明：如圖1中，延長到點使，連接，正方形，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．（2）解：由（1）可得，設正方形的邊長是，在中，，，，，解得，（舍去），正方形的邊長是6；（3）解：過點作交的延長線于，過點作于，則，，，，，，，，，設，則，，，，解得或（舍去），，動點在線段上（點與、不重合），，．7．（2023?慈溪市一模）【證明體驗】（1）如圖1，在中，為邊上一點，連結(jié)，若，求證：．（2）在中，，，，為邊上一動點，連結(jié)，為中點，連結(jié)．【思考探究】①如圖2，當時，求的長．【拓展延伸】②如圖3，當時，求的長．【解答】（1）證明：，，，，．（2）解：①如圖，延長至，使，連接，則為的中點，為中點，是的中位線，，，，，，，，，，在中，，，，則，，，設，則，，，解得：，，，不符合題意，舍去，的長為2．②如圖，延長至，使，連接，過點作于點，則為的中點，為中點，是的中位線，，，，，由①知，，，，，，，，設，則，，，，在中，，，，，，，，在中，，即，解得：，，，不符合題意，舍去，的長為．8．（2023?靖江市模擬）如圖，在矩形中，．點、分別在、上，四邊形為菱形．（1）利用尺規(guī)作圖在圖1中作出菱形（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖2，動點從點出發(fā)沿射線方向運動，同時，動點從點出發(fā)沿射線方向運動，且、兩點運動速度相同，、相交于點．①求的度數(shù)．②連接，線段長度的最小值為．【解答】解：（1）如圖，連接，作的垂直平分線交于點，交于點，則四邊形是菱形；（2）連接，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，和都是等邊三角形，，，，、兩點運動速度相同，，，，；②，，如圖，延長至，使，連接，作的外接圓，連接，，，，，是等邊三角形，，，點在圓上運動，當點在線段上時，有最小值，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．9．（2023?延慶區(qū)一模）如圖，在中，，，是邊上的高，點是邊上的一動點（不與點，重合），連接交于點．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖1，當是的角平分線時，①求證：；②直接寫出45．（2）依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】（1）①證明：在中，，，，是邊上的高，，，是的角平分線，，，，，．②解：如圖1，過點作于點，交的延長線于點，則，，是等腰直角三角形，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，．，，，故答案為：45；（2）解：依題意補全圖2，，證明如下：過點作于點，交的延長線于點，則，，是等腰直角三角形，，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，．，，，，，．10．（2023?南關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在中，，，，點為邊的中點．動點從點出發(fā)，沿折線向點運動，在、上的速度分別為每秒個單位長度和每秒個單位長度．連結(jié)、，設點的運動時間為秒．（1）線段的長為；（2）用含的代數(shù)式表示線段的長；（3）當為鈍角時，求的取值范圍；（4）做點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)，當時，直接寫出的值．【解答】解：（1）如圖1中，過點作于點．，，，，，，．故答案為：．（2）當時，．當時，．綜上所述，；（3）如圖1中，當時，，，，此時．如圖2中，當時，，，此時，觀察圖形可知滿足條件的的值為：或．（4）如圖3中，當時，過點作于點．設，則，，，，．如圖4中，當時，過點作于點．設，則，，，，．綜上所述，滿足條件的的值為或．11．（2023?宜興市一模）如圖，矩形中，，．點在上運動（點不與點、重合）將沿直線翻折，使得點落在矩形內(nèi)的點處（包括矩形邊界）．（1）求的取值范圍；（2）連接并延長交矩形的邊于點，當時，求的長．【解答】解：（1）當落在上時，的長度達到最大，四邊形是矩形，，，，沿直線翻折，，，，，，，，，，，的取值范圍是；（2）如圖，將沿直線翻折，使得點落在矩形內(nèi)的點處，，，，，，，，設，，過作于，將沿直線翻折，使得點落在矩形內(nèi)的點處，，，，，，，，，為的中位線，，在中，，，解得，（不合題意舍去），．12．（2023?鄞州區(qū)校級一模）（1）特殊發(fā)現(xiàn)如圖1，正方形與正方形的頂點重合，、分別在、邊上，連接，則有：①；②直線與直線所夾的銳角等于度；（2）理解運用將圖1中的正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接、，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若、、三點在同一直線上，且過邊的中點，，直接寫出的長；（3）拓展延伸如圖4，點是正方形的邊上一動點（不與、重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．【解答】解：（1）①連接，，如圖，四邊形和四邊形為正方形，，，，三點在一條直線上．，，和為等腰直角三角形，，，，；②，，三點在一條直線上，，直線與直線所夾的銳角等于．故答案為：；45；（2）①（1）中的結(jié)論仍然成立，理由：連接，，如圖，四邊形和四邊形為正方形，，，和為等腰直角三角形，，，，，，，；延長，交于點，交于點，，．，．，即直線與直線所夾的銳角等于，（1）中的結(jié)論仍然成立；②連接，，如圖，四邊形為正方形，．由①知：，．邊的中點為，．在和中，，，，，．故答案為：；（3）的值是定值，定值為3，理由：過點作于點，連接，，，與交于點，如圖，四邊形為正方形，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，．，，．，．，，．為等腰直角三角形，，，，．由（2）①的結(jié)論可得：，，，．，，，，，．，的值是定值，定值為3．13．（2023?金寨縣一模）如圖，在邊長為2的正方形中，是邊上一動點（不含，兩點），將沿直線翻折，點落在點處，在上有一點，使得將沿直線翻折后，點落在直線上的點處，直線交于點，連接，．（1）求證：；（2）求的周長；（3）求線段長度的最小值．【解答】證明：（1），，，，，，，，，四邊形是正方形，，，．（2）將沿直線翻折，點落在點處，，，，且四邊形是正方形，，，又，，，的周長為：；所以的周長為4．（3）設，則，，，，作于，，最小時最小，，時，最小值，的最小值，所以，線段長度的最小值為．14．（2023?郁南縣校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的其中兩邊分別在坐標軸上，它的兩條對角線交于點，其中，，動點從點出發(fā)，以的速度在上向點運動，動點同時從點出發(fā)，以的速度在上向點運動．當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動．設它們運動時間是．（1）請直接寫出，的長度；（2）當為何值時，與相似；（3）記的面積為，求出與的函數(shù)表達式，并求出的最小值及此時的值．【解答】解：（1）四邊形是矩形，，，，（2），或，當時，，，，當時，，，，綜上所述：或；（3）如圖，作于，于，四邊形是矩形，，，，，，，同理可得：，，，，，，當時，最大值為．15．（2023?衡山縣二模）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學教材第103頁的部分內(nèi)容．例2如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．證明：延長至點，使，連結(jié)、．（1）請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．（2）【應用】如圖②，直角三角形紙片中，，點是邊上的中點，連結(jié)，將沿折疊，點落在點處，此時恰好有．若，那么．（3）【拓展】如圖③，在等腰直角三角形中，，，是邊中點，，分別是邊，上的動點，且，當點從點運動到點時，的中點所經(jīng)過的路徑長是多少？【解答】（1）證明：延長到，使，連接，，則，是斜邊上的中線，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形，，；（2）解：如圖2中，設交于點．，，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，故答案為：；（3）過點作，，如圖，，，．是邊中點，，同理：，，．四邊形為正方形，．，，．．在和中，，．．為等腰直角三角形，當點從點運動到點時，的中點所經(jīng)過的路徑為，中點的連線，即所經(jīng)過的路徑為，，，的中點所經(jīng)過的路徑長為．16．（2023?長春一模）如圖，在中，，，．點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向終點勻速運動，過點作交折線于點，連結(jié)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．設點的運動時間為（秒．（1）4．（2）用含的代數(shù)式表示線段的長．（3）當點落在邊上時，求的值．（4）當與重疊部分為三角形時，直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）在中，，，，，．故答案為：4；（2）如圖中，當點在線段上時，，，，．如圖中，當點在線段上時，．，，綜上所述，；（3）如圖2中，當點落在上時，，，，解得，時，點落在上；（4）如圖3中，當點落在邊上時，，，解得，．觀察圖象可知當時，點落在內(nèi)部．綜合（3）（4）可知，當或在內(nèi)部時，與重疊部分為三角形，當點與重合時，，解得，滿足條件的的值為：或．17．（2023?鹿城區(qū)校級一模）如圖1，在中，，，．點為的中點，過點作射線交于點，點為射線上一動點，過點作于點，點為邊上一點，連結(jié)，且滿足，設，．（1）求線段的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)表達式；（3）如圖2，連結(jié)．①當為等腰三角形時，求的值．②以點為旋轉(zhuǎn)中心，將線段按順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段，當點落在邊上時，求的值．【解答】解：（1）過點作于點．，，，，在中，，，點為的中點，；（2），，，，，，，，，，．（3）①分三種情形：當時，，．當時，過點作于點，則，，，，．當時，過點作于點，則，．，，．綜上所述，滿足條件的的值為6或或；②如圖，過點作交的延長線于點．，，，，，，，，，，．18．（2023?渦陽縣模擬）如圖，中，，，為邊上一動點（不與、重合），和的垂直平分線交于點，連接、、和，與相交于點，設．（1）請用含的代數(shù)式表示的度數(shù)；（2）求證：；（3）若，求的值．【解答】（1）解：和的垂直平分線交于點，，，，，，，，，，；（2）證明：，，，和的垂直平分線交于點，，，，，即，，，，，，，，，；（3）解：當時，，，，，，，，設，則，，，．19．（2023?金華模擬）如圖，在中，，，．點是直線上一動點．過點作，滿足點在上方，，以、為鄰邊作．（1）求的長以及點到的距離．（2）設線段與邊交于點，線段與邊交于點．當時，求的長．（3）連結(jié)，沿直線分割四邊形，當分割的兩部分可以拼成一個不重疊無縫隙的三角形時，求的長．【解答】解：（1）如圖1，作于，，，，；（2）如圖2，設和交點，作于，四邊形是平行四邊形，，，，，，，同理可得：，，可設，，，，，，由得，，，；（3）如圖3，當點在上時，當經(jīng)過點時，和可以拼成一個不重疊無縫隙的等腰三角形，即是上的高，，，，如圖4，當點在的延長線上時，作于，由上可知：，當時，，，，此時點是的中點，和四邊形可以拼成一個不重疊無縫隙的等腰三角形，，如圖5，當點和點重合時，分四邊形成的和四邊形可以拼成一個不重疊無縫隙的等腰三角形，此時，綜上所述：或或10可以分四邊形分割的兩部分可以拼成一個不重疊無縫