第一學期九年級數(shù)學期末復習第24章圓分析

第24章圓期末復習高于鋪二中張濤學習目標：1、系統(tǒng)熟悉圓的有關概念。2、鞏固有關圓的一些性質(zhì)和定理。3、進一步掌握應用圓的有關知識解決某些數(shù)學問題。本章知識結(jié)構(gòu)圖圓的基本性質(zhì)圓圓的對稱性弧、弦圓心角之間的關系同弧上的圓周角與圓心角的關系與圓有關的位置關系正多邊形和圓有關圓的計算點和圓的位置關系切線直線和圓的位置關系三角形的外接圓三角形內(nèi)切圓等分圓圓和圓的位置關系弧長扇形的面積圓錐的側(cè)面積和全面積學習要求：1、圓是如何定義的？2、同圓或等圓中的弧、弦、圓心角有什么關系？垂直于弦的直徑有什么性質(zhì)？一條弧所對的圓周角和它所對的圓心角有什么關系？3、點和圓有怎樣的位置關系？直線和圓呢？圓和圓呢？怎樣判斷這些位置關系呢？4、圓的切線有什么性質(zhì)？如何判斷一條直線是圓的切線？5、正多邊形和圓有什么關系？6、如何計算弧長、扇形面積、圓錐的側(cè)面積和全面積。一.圓的基本概念:1.圓的定義:到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓.2.有關概念:(1)弦、直徑(圓中最長的弦)(2)弧、優(yōu)弧、劣弧、等弧(3)弦心距．O圓的定義（運動觀點）在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓。固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以點O為圓心的圓，記作☉O，讀作“圓O”二.圓的基本性質(zhì)1.圓的對稱性:(1)圓是軸對稱圖形,經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.圓有無數(shù)條對稱軸.(2)圓是中心對稱圖形,并且繞圓心旋轉(zhuǎn)任何一個角度都能與自身重合,即圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.．一、垂徑定理●OABCDM└③AM=BM,重視：模型“垂徑定理直角三角形”

若①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

1.定理

垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.2、垂徑定理的逆定理②CD⊥AB,由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OCD●MAB┗平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理及推論直徑(過圓心的線)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分優(yōu)弧.知二得三注意:“直徑平分弦則垂直弦.”這句話對嗎?()錯●OABCDM└●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)例⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，

AB=16，CD=12，則AB、CD間的距離是___.2cm或14cmEFP

在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.●OAB┓DA′B′D′┏如由條件:②AB=A′B′⌒

⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′3、圓心角、弧、弦、弦心距的關系1、如圖,已知⊙O的半徑OA長為5,弦AB的長8,OC⊥AB于C,則OC的長為_______.OABC3AC=BC弦心距半徑半弦長反思：在⊙O中，若⊙O的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長a中，任意知道兩個量，可根據(jù)

定理求出第三個量：CDBAO2：如圖，圓O的弦AB＝8㎝，

DC＝2㎝，直徑CE⊥AB于D，求半徑OC的長。垂徑直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.3、如圖，P為⊙O的弦BA延長線上一點，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半徑。輔助線關于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦長構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。MAPBOA

4.圓周角:定義:頂點在圓周上，兩邊和圓相交的角，叫做圓周角.性質(zhì):(1)在同一個圓中,同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.∠BAC=∠BOC12在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的所有的圓周角相等.相等的圓周角所對的弧相等.圓周角的性質(zhì)(2)∵∠ADB與∠AEB、∠ACB是同弧所對的圓周角∴∠ADB=∠AEB=∠ACB性質(zhì)3:半圓或直徑所對的圓周角都相等,都等于900(直角).性質(zhì)4:900的圓周角所對的弦是圓的直徑.∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=900圓周角的性質(zhì):15?ABCOD3.6作圓的直徑與找90度的圓周角也是圓里常用的輔助線2.如圖，AB是⊙O的直徑,BD是

⊙O的弦，延長BD到點C,使

DC=BD,連接AC交⊙O與點F.（1）AB與AC的大小有什么關系?為什么?（2）按角的大小分類,請你判斷

△ABC屬于哪一類三角形，并說明理由.(05宜昌)1.在⊙O中，弦AB所對的圓心角∠AOB=100°，則弦AB所對的圓周角為____________.（05年上海）500或13003.如圖在比賽中,甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進攻,當他帶球沖到A點時,同伴乙已經(jīng)助攻沖到B點,此時甲是直接射門好,還是將球傳給乙,讓乙射門好?為什么?PQ·AB(2)點在圓上(3)點在圓外(1)點在圓內(nèi)．．．1.點和圓的位置關系．ACB如果規(guī)定點與圓心的距離為d,圓的半徑為r,則d與r的大小關系為:點在圓內(nèi)點在圓上點在圓外d＜rd＝rd＞r三.與圓有關的位置關系:

不在同一直線上的三個點確定一個圓（這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形，這個圓叫做三角形的外接圓，圓心叫做三角形的外心）

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：（1）對角互補；（2）任意一個外角都等于它的內(nèi)對角反證法的三個步驟：1、提出假設2、由題設出發(fā)，引出矛盾3、由矛盾判定假設不成立，肯定結(jié)論正確

1、⊙O的半徑為R，圓心到點A的距離為d，且R、d分別是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則點A與⊙O的位置關系是（）A．點A在⊙O內(nèi)部B．點A在⊙O上C．點A在⊙O外部D．點A不在⊙O上

2、M是⊙O內(nèi)一點，已知過點M的⊙O最長的弦為10cm，最短的弦長為8cm，則OM=

_____cm.

3、圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（）

A、1∶2∶3∶4

B、1∶3∶2∶4

C、4∶2∶3∶1

D、4∶2∶1∶3

練：有兩個同心圓，半徑分別為Ｒ和r，Ｐ是圓環(huán)內(nèi)一點，則ＯＰ的取值范圍是＿＿＿＿＿.r<OP<R7.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D為AB的中點，E為AC的中點，以B為圓心，BC為半徑作⊙B，問：（1）A、C、D、E與⊙B的位置關系如何？（2）AB、AC與⊙B的位置關系如何？EDCAB·2.如圖,OA是⊙O的半徑,已知AB=OA,試探索當∠OAB的大小如何變化時點B在圓內(nèi)?點B在圓上?點B在圓外??ABO2.直線和圓的位置關系:．O．O．Olll(1)相離:(2)相切:(3)相交:一條直線與一個圓沒有公共點,叫做直線與這個圓相離.一條直線與一個圓只有一個公共點,叫做直線與這個圓相切.一條直線與一個圓有兩個公共點,叫做直線與這個圓相交.．O．Ol(1)當直線與圓相離時d＞r;(2)當直線與圓相切時d=r;(3)當直線與圓相交時d＜r.直線與圓位置關系的識別:∟drl∟dr．Ol∟dr設圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d,則:切線的識別方法1.與圓有一個公共點的直線。2.圓心到直線的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線。3.經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。．OA∟l∵OA是半徑,OA⊥l∴直線l是⊙O的切線.切線的性質(zhì):(1)圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.(2)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.(3)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.．O．A∟l∴OA⊥l∵直線l是⊙O的切線,切點為A切線長定理：

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；這點與圓心的連線平分這兩條切線的夾角。BAPO．．．∵PA、PB為⊙O的切線∴PA=PB,∠APO=∠BPO1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分線交BC于D,以D為圓心,DB長為半徑作⊙D.試說明:AC是⊙D的切線.F過D點作DFAC于F點，然后證明DF等于圓D的半徑BD^如圖，AB在⊙O的直徑，點D在AB的延長線上,且BD=OB,點C在⊙O上,∠CAB=30°.(1)CD是⊙O的切線嗎？說明你的理由;(2)AC=_____，請給出合理的解釋.

只要連接OC，而后證明OC垂直CD2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一點,BC是⊙O的切線,AB交過C點的直徑于點D,OA⊥CD,試判斷△BCD的形狀,并說明你的理由.不在同一直線上的三點確定一個圓.O．．C．B．A三角形的外接圓與內(nèi)切圓:三角形的外心就是三角形各邊垂直平分線的交點.．OABC三角形的內(nèi)心就是三角形各角平分線的交點.ABCO三角形的外接圓和內(nèi)切圓：ABCI三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心。三角形外接圓的圓心叫三角形的外心三角形三邊垂直平分線的交點三角形三內(nèi)角角平分線的交點到三角形各邊的距離相等到三角形各頂點的距離相等等邊三角形的外心與內(nèi)心重合.特別的:內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比是1:2.OABCD二、過三點的圓及外接圓1.過一點的圓有________個2.過兩點的圓有_________個，這些圓的圓心的都在_______________

上.3.過三點的圓有______________個4.如何作過不在同一直線上的三點的圓（或三角形的外接圓、找外心、破鏡重圓、到三個村莊距離相等）5.銳角三角形的外心在三角形____，直角三角形的外心在三角形____，鈍角三角形的外心在三角形____。無數(shù)無數(shù)0或1內(nèi)外連結(jié)著兩點的線段的垂直平分線在斜邊的中點上經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。問題1：如何作三角形的外接圓？如何找三角形的外心？問題2：三角形的外心一定 在三角形內(nèi)嗎？∠C＝90°▲ABC是銳角三角形▲ABC是鈍角三角形3.如圖,是某機械廠的一種零件平面圖.(1)請你根據(jù)所學的知識找出該零件所在圓的圓心(要求正確畫圖,不寫做法,保留痕跡).(2)若弦AB=80cm,AB的中點C到AB的距離是20cm,求該零件所在的半徑長.基礎題：1.既有外接圓,又內(nèi)切圓的平行四邊形是______.2.直角三角形的外接圓半徑為5cm,內(nèi)切圓半徑為1cm,

則此三角形的周長是_______.3.⊙O邊長為2cm的正方形ABCD的內(nèi)切圓,E、F切⊙O

于P點，交AB、BC于E、F，則△BEF的周長是_____.EFHG正方形22cm2cm4.如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，P是弧FDE上的一點，若∠A+∠C=110度，則∠FPE=_____度CoDEAB.FP5．如圖，已知△ABC的三邊長分別為AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是E、F、G，則AE=

，BF=

，CG=

。7．如圖，⊙M與x

軸相交于點A（2，0），B（8，0），與y軸相切于點C，求圓心M的坐標AO

y.MCxB6.小紅家的鍋蓋壞了,為了配一個鍋蓋,需要測量鍋蓋的直徑(鍋邊所形成的圓的直徑),而小紅家只有一把長20cm

的直尺,根本不夠長,怎么辦呢?小紅想了想,采取以下方法:首先把鍋平放到墻根,鍋邊剛好靠到兩墻,用直尺緊貼墻面量得MA的長,即可求出鍋蓋的直徑,請你利用圖乙,說明她這樣做的道理.圓與圓的位置關系:.....外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含．O1．O2．O1．O2．O1．O2．O2．O1．O1．O2d＞R+rd=R+rd=R-rd＜R-rR-r＜d＜R+r1.如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于點T，⊙O2的弦TA，TB分別交⊙O1于C，D，連接AB，CD求證：AB//CD··o1o2ABCDT典型例題:1.如圖,⊙O的直徑AB=12,以OA為直徑的⊙O1交大圓的弦AC于D,過D點作小圓的切線交OC于點E,交AB于F.EO1ODCBAF(2)猜想DF與OC的位置關系,并說明理由.(1)說明D是AC的中點.(3)若DF=4,求OF的長.2.如圖,正方形ABCD的邊長為2,P是線段BC上的一個動點.以AB為直徑作圓O,過點P作圓O的切線交AD于點F,切點為E.DCBAFP．O．E(1)求四邊形CDFP的周長.(2)設BP=x,AF=y,求y關于x的函數(shù)解析式.Q三.正多邊形:2.半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑．１.中心：一個正多邊形外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．3.中心角：正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角．4.邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距．OABFDCEG3

正多邊形和圓（1）.有關概念（2）.常用的方法（3）.正多邊形的作圖EFCD.邊心距r半徑R中心角O邊OABCRda1.圓的周長和面積公式2.弧長的計算公式3.扇形的面積公式S=360nπr2L=180nπr=12lrS或四.圓中的有關計算:周長C=2πr面積s=πr2．Or4.圓柱的展開圖:D B C A rhS側(cè)

=2πrhS全=2πrh+2π

r25.圓錐的展開圖:底面?zhèn)让鎍ahrS側(cè)

=πraS全=πra+π

r21、扇形AOB的半徑為12cm,∠AOB=120°,求扇形的面積和周長.2、如圖,當半徑為30cm的轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)過120°時,傳送帶上的物體A平移的距離為______.AACBA′C′3：如圖，把Rt△ABC的斜邊放在直線上，按順時針方向轉(zhuǎn)動一次,使它轉(zhuǎn)到的位置。若BC=1,∠A=300。求點A運動到A′位置時，點A經(jīng)過的路線長。4.如下圖，所示的三角形鐵皮余料，剪下扇形制成圓錐形玩具，已知∠C=90度，AC=BC=4cm，使剪下的扇形邊緣半徑在三角形邊上，弧與其他邊相切，設計裁剪的方案圖，直接寫出扇形的半徑長。O5、扇形的面積是它所在圓的面積的，這個扇形的圓心角的度數(shù)是_________°.240°6、圓錐的母線為5cm，底面半徑為3cm，則圓錐的表面積為_______24πcm27、已知：在RtΔABC,

求以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的全面積。分析：以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是由公共底面的兩個圓錐所組成的幾何體，因此求全面積就是求兩個圓錐的側(cè)面積。ABC8：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900。(1)分別以AC，BC為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐相同嗎?(2)以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到怎樣的幾何體？(3)若AB=5，BC=4，你能求出題(2)中幾何體的表面積嗎？9.如圖，圓錐的底面半徑為2cm，母線長為8cm，一只螞蟻從底面圓周上一點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到A點，求螞蟻爬行的最短路線長是多少？BAOA’E．CBAOD∟常見的基本圖形及結(jié)論:∟1.如圖,在以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D,則:AC=BD若大圓的弦切小圓于C,則OACBAC=BC兩圓之間的環(huán)形面積．S=πAB22.如圖,以等腰△ABC的腰AB為直徑作⊙O交底邊BC于點D,則:OCBAD點D是BC的中點.O．．．．PBADC3.如圖,已知PA、PB切圓O于點A,B,過弧AB上任一點E作圓O的切線,交PA,PB于點C,D,則:(1)△PCD的周長=2PA(2)∠COD=900-∠APBE．OABC．．．．OABC．．．DFEDFE4.如圖,△ABC各邊分別切圓O于點D、E、F.(1)∠DEF=900-∠A(3)S△ABC=(a+b+c)r(2)∠BOC=900+∠AABC．O．．．EFD5.在Rt△ABC中,∠ACB是直角,三邊分別是a、b、c,內(nèi)切圓半徑是r,則:內(nèi)切圓半徑r=a+b-c26.如圖,AB是圓O的直徑,AD,BC,DC均為切線,則:(1)DC=AD+BC(2)∠DOC=900OBDCAE3．已知：AB為⊙O的直徑，P為AB弧的中點．（1）若⊙O′與⊙O外切于點P（見圖甲），AP、BP的延長線分別交⊙O′于點C、D，連接CD，則△PCD是

————三角形；（2）若⊙O′與⊙O相交于點P、Q（見圖乙），連接AQ、BQ并延長分別交⊙O′于點E、F，請選擇下列兩個問題中的一個作答：問題二：判斷線段AE與BF的關系，并證明你的結(jié)論.問題一：判斷△PEF的形狀，并證明你的結(jié)論；5.已知⊙O1、⊙O2

，相交與A，B兩點，兩圓的半徑分別是和，公共弦的長AB=6，求O1O2和∠O1AO2

BA..O1O2DAB..O1O2D=3+或3-O1O2∠O1AO2=75度或15度6.某電機長生產(chǎn)一批直徑分別為10cm和20cm的圓形硅鋼片,現(xiàn)在有寬度為20cm的硅鋼片,現(xiàn)設計了兩種裁料方法:1.如圖（一），把兩種規(guī)格的圓鋼片分開排料：2..如圖（二）把2片小的和1片大的圓鋼片間隔起來排料：問題1.上述問題主要反映了有關圓的位置關系是_______問題2.比較兩種不同的方案，通過計算說明哪一種排料方法更節(jié)約用料？專題一：與圓有關的輔助線的作法：輔助線，莫亂添，規(guī)律方法記心間；圓半徑，不起眼，角的計算常要連，構(gòu)成等腰解疑難；切點和圓心，連結(jié)要領先；遇到直徑想直角，靈活應用才方便。弦與弦心距，親密緊相連；2、已知⊙O1與⊙O2相交于C、D，

O1O2的延長線和⊙O1交于A，AC、AD