2023-2024學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)高三(上)入學(xué)考試-數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)高三(上)入學(xué)考試-數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.2.已知中,,則()A.1 B. C. D.3.已知平面向量,,,則實(shí)數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.4.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.5.將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度與向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,若所得到的兩個(gè)圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知拋物線(xiàn):的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為,是上一點(diǎn),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于,兩點(diǎn),若,則為()A. B.40 C.16 D.8.棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,過(guò)正方體中兩條異面直線(xiàn),的中點(diǎn)作直線(xiàn),則該直線(xiàn)被球面截在球內(nèi)的線(xiàn)段的長(zhǎng)為()A. B. C. D.19.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.10.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù),則使得成立的的取值范圍是().A. B.C. D.12.若的內(nèi)角滿(mǎn)足,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為_(kāi)___________.14.“六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”.某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”知識(shí)講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿(mǎn)足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為_(kāi)_______.15.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為_(kāi)_________.16.在四棱錐中,底面為正方形,面分別是棱的中點(diǎn),過(guò)的平面交棱于點(diǎn),則四邊形面積為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某單位準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)三臺(tái)設(shè)備,型號(hào)分別為已知這三臺(tái)設(shè)備均使用同一種易耗品,提供設(shè)備的商家規(guī)定:可以在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)該易耗品,每件易耗品的價(jià)格為100元,也可以在設(shè)備使用過(guò)程中,隨時(shí)單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)易耗品,每件易耗品的價(jià)格為200元.為了決策在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號(hào)的設(shè)備各60臺(tái),調(diào)査每臺(tái)設(shè)備在一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù),并得到統(tǒng)計(jì)表如下所示.每臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)678型號(hào)A30300頻數(shù)型號(hào)B203010型號(hào)C04515將調(diào)查的每種型號(hào)的設(shè)備的頻率視為概率,各臺(tái)設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立.(1)求該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過(guò)21件的概率;(2)以該單位一個(gè)月購(gòu)買(mǎi)易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),該單位在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)20件還是21件易耗品?18.(12分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且(1)求;(2)若,且面積的最大值為,求周長(zhǎng)的取值范圍.19.(12分)已知如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn),AEBD于E,延長(zhǎng)AE交BC于F,將△ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示。(Ⅰ)求證:AE平面BCD;(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比(只需寫(xiě)出結(jié)果,不要求過(guò)程).20.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別是,且.(1)求;(2)若,求.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:的右焦點(diǎn)為(,為常數(shù)),離心率等于0.8,過(guò)焦點(diǎn)、傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn).⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵若時(shí),,求實(shí)數(shù);⑶試問(wèn)的值是否與的大小無(wú)關(guān),并證明你的結(jié)論.22.(10分)車(chē)工劉師傅利用數(shù)控車(chē)床為某公司加工一種高科技易損零件,對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:加工1個(gè)零件用時(shí)(分鐘)20253035頻數(shù)(個(gè))15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座,用時(shí)40分鐘,另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過(guò)100分鐘的概率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

由圓過(guò)原點(diǎn),知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合,作出圖形,由,,得,從而直線(xiàn)傾斜角為,寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線(xiàn)方程求出參數(shù),可得點(diǎn)坐標(biāo),從而得三角形面積.【詳解】由題意圓過(guò)原點(diǎn),所以原點(diǎn)是圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)為,如圖,由于,,∴,∴,,∴點(diǎn)坐標(biāo)為,代入拋物線(xiàn)方程得,,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)與圓相交問(wèn)題,解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn),從而是等腰直角三角形,于是可得點(diǎn)坐標(biāo),問(wèn)題可解,如果僅從方程組角度研究?jī)汕€(xiàn)交點(diǎn),恐怕難度會(huì)大大增加,甚至沒(méi)法求解.2.C【解析】

以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.3.A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于容易題.4.A【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).【詳解】時(shí),函數(shù)為減函數(shù),排除B,時(shí),函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時(shí),,排除C,只有A可滿(mǎn)足.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等等排除,可通過(guò)特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除,最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).5.B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的兩個(gè)圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當(dāng)時(shí),最小值為,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系,屬于簡(jiǎn)單題目.6.D【解析】

首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿(mǎn)足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫(huà)出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.7.D【解析】

如圖所示,過(guò)分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:過(guò)分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)中弦長(zhǎng)問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.8.C【解析】

連結(jié)并延長(zhǎng)PO,交對(duì)棱C1D1于R,則R為對(duì)棱的中點(diǎn),取MN的中點(diǎn)H,則OH⊥MN,推導(dǎo)出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線(xiàn)被球面截在球內(nèi)的線(xiàn)段的長(zhǎng).【詳解】如圖,MN為該直線(xiàn)被球面截在球內(nèi)的線(xiàn)段連結(jié)并延長(zhǎng)PO,交對(duì)棱C1D1于R,則R為對(duì)棱的中點(diǎn),取MN的中點(diǎn)H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查該直線(xiàn)被球面截在球內(nèi)的線(xiàn)段的長(zhǎng)的求法,考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.9.A【解析】

由的解集,可知及,進(jìn)而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因?yàn)?,所以的解集為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】

先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個(gè)數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí),,函數(shù)在時(shí),是增函數(shù).因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù),所以有,因?yàn)?,函?shù)在時(shí),是增函數(shù),所以,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問(wèn)題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.11.B【解析】

由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù),由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,由此知在上單調(diào)遞減,從而將所求不等式化為,解絕對(duì)值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知:定義域?yàn)?,,為偶函?shù),當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,由得:,解得:或,的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題;奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱(chēng)區(qū)間的單調(diào)性,單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,進(jìn)而化簡(jiǎn)不等式.12.A【解析】

由,得到,得出,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由題意,角滿(mǎn)足,則,又由角A是三角形的內(nèi)角,所以,所以,因?yàn)?,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì),以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題,著重考查了推理與計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求出曲線(xiàn)在切點(diǎn)的切線(xiàn)方程,將原點(diǎn)代入切線(xiàn)方程,求出的值,于此可得出所求的切線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,由于該直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),則,得,因此,則過(guò)原點(diǎn)且與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線(xiàn)方程,求解思路是:(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),并利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程;(2)將所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程,求出參數(shù)的值,可得出切點(diǎn)的坐標(biāo);(3)將參數(shù)的值代入切線(xiàn)方程,可得出切線(xiàn)的方程.14.【解析】

分步排課,首先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié),然后,“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來(lái)全排列,同時(shí)它們內(nèi)部也全排列.【詳解】第一步:先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié),有種不同的排法;第二步:將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法,所以滿(mǎn)足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用,排列組合問(wèn)題中,遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則,相鄰問(wèn)題用捆綁法,不相鄰問(wèn)題用插入法.15.【解析】

真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.【詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

設(shè)是中點(diǎn),由于分別是棱的中點(diǎn),所以,所以,所以四邊形是平行四邊形.由于平面,所以,而,,所以平面,所以.由于,所以,也即,所以四邊形是矩形.而.從而.故答案為:.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間平面圖形面積的計(jì)算,考查線(xiàn)面垂直的判定,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)21件易耗品【解析】

(1)由統(tǒng)計(jì)表中數(shù)據(jù)可得型號(hào)分別為在一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時(shí)的概率,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨(dú)立事件概率公式進(jìn)而求解即可;(2)由題可得X所有可能的取值為,即可求得對(duì)應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)20件易耗品和21件易耗品時(shí)總費(fèi)用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】(1)由題中的表格可知A型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為;B型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為;C型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為;設(shè)該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過(guò)21件的概率為.(2)以題意知,X所有可能的取值為;;;由(1)知,,若該單位在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了20件易耗品,設(shè)該單位一個(gè)月中購(gòu)買(mǎi)易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,;;;;;若該單位在肋買(mǎi)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)了21件易耗品,設(shè)該單位一個(gè)月中購(gòu)買(mǎi)易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,;;;;,所以該單位在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)21件易耗品【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.18.(1)(2)【解析】

(1)利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理,將化簡(jiǎn)為,求出的值,結(jié)合,求出A的值;(2)寫(xiě)出三角形的面積公式,由其最大值為求出.由余弦定理,結(jié)合,,求出的范圍,注意.進(jìn)而求出周長(zhǎng)的范圍.【詳解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由題意知,又,,又周長(zhǎng)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角余弦公式,三角形面積公式,余弦定理的應(yīng)用,求三角形的周長(zhǎng)的范圍問(wèn)題.屬于中檔題.19.(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ)1:5【解析】

(Ⅰ)由平面ABD⊥平面BCD,交線(xiàn)為BD,AE⊥BD于E,能證明AE⊥平面BCD;(Ⅱ)以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線(xiàn)為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積,再作比寫(xiě)出答案即可.【詳解】(Ⅰ)證明:∵平面ABD⊥平面BCD,交線(xiàn)為BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE?平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(Ⅱ)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF,由題意知EF⊥BD,又AE⊥BD,如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線(xiàn)為x軸,y軸,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=BD=DC=AD=2,

則BE=ED=1,∴AE=,BC=2,BF=,則E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,),

F(,0,0),C(,2,0),,,由AE⊥平面BCD知平面BCD的一個(gè)法向量為,設(shè)平面ADC的一個(gè)法向量,則,取x=1,得,∴,∴二面角A-DC-B的平面角為銳角,故余弦值為.

(Ⅲ)三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比為:1:5.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的證明、幾何體體積計(jì)算、二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,屬于中等題.20.(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理到,得到答

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