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文檔簡介
2022-2023學年湖南省衡陽市衡陽縣第三中學普通高中畢業(yè)班第二次質量檢查數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿足當時,,則()A. B. C. D.2.過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點,直線(是坐標原點)交的右支于點,若,且,則的離心率是()A. B. C. D.3.不等式組表示的平面區(qū)域為,則()A., B.,C., D.,4.已知等比數(shù)列的前項和為,且滿足,則的值是()A. B. C. D.5.某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢6.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.7.已知雙曲線的一個焦點為,點是的一條漸近線上關于原點對稱的兩點,以為直徑的圓過且交的左支于兩點,若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.8.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時,表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時,表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設勞倫茨曲線對應的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④9.將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.10.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.11.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知,若,則等于()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.點在雙曲線的右支上,其左、右焦點分別為、,直線與以坐標原點為圓心、為半徑的圓相切于點,線段的垂直平分線恰好過點,則該雙曲線的漸近線的斜率為__________.14.已知函數(shù),則函數(shù)的極大值為___________.15.已知,記,則的展開式中各項系數(shù)和為__________.16.已知雙曲線的左右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于.若,則雙曲線的離心率為_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在銳角中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知.(1)求的值;(2)當,且時,求的面積.18.(12分)三棱柱中,平面平面,,點為棱的中點,點為線段上的動點.(1)求證:;(2)若直線與平面所成角為,求二面角的正切值.19.(12分)某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗,并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時間y的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點圖(如圖).表中,.(1)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)x的回歸方程類型?(不必說明理由)(2)根據(jù)判斷結果和表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程;(3)若旋轉的弧度數(shù)x與單位時間內煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時,燒開一壺水最省煤氣?附:對于一組數(shù)據(jù),,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.20.(12分)某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失?。畷x級成功晉級失敗合計男16女50合計(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機抽取4人進行約談,記這4人中晉級失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02421.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(),數(shù)列的前項和.若對恒成立,求實數(shù),的值.22.(10分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,,且數(shù)列前項和為,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
由題設條件,可得函數(shù)的周期是,再結合函數(shù)是奇函數(shù)的性質將轉化為函數(shù)值,即可得到結論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當時,,所以,.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設得函數(shù)的周期是解答本題的關鍵,屬于基礎題.2.D【解析】
如圖,設雙曲線的右焦點為,連接并延長交右支于,連接,設,利用雙曲線的幾何性質可以得到,,結合、可求離心率.【詳解】如圖,設雙曲線的右焦點為,連接,連接并延長交右支于.因為,故四邊形為平行四邊形,故.又雙曲線為中心對稱圖形,故.設,則,故,故.因為為直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率,注意利用雙曲線的對稱性(中心對稱、軸對稱)以及雙曲線的定義來構造關于的方程,本題屬于難題.3.D【解析】
根據(jù)題意,分析不等式組的幾何意義,可得其表示的平面區(qū)域,設,分析的幾何意義,可得的最小值,據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示,其中,,
設,則,的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍,
由圖可得:當過點時,直線在軸上的截距最大,即,當過點原點時,直線在軸上的截距最小,即,故AB錯誤;
設,則的幾何意義為點與點連線的斜率,由圖可得最大可到無窮大,最小可到無窮小,故C錯誤,D正確;故選:D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質以及應用,關鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識,屬于基礎題.4.C【解析】
利用先求出,然后計算出結果.【詳解】根據(jù)題意,當時,,,故當時,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,故,解得,故選.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項和的表達形式,只要求出數(shù)列中的項即可得到結果,較為基礎.5.D【解析】
根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關,故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個,故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學生的理解能力.6.A【解析】
分段求解函數(shù)零點,數(shù)形結合,分類討論即可求得結果.【詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個零點,等價于與有三個交點,又因為,且由圖可知,當時與有兩個交點,故只需當時,與有一個交點即可.若當時,時,顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??,故滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點,故不滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點,故不滿足題意;時,顯然與有一個交點,故滿足題意.綜上所述,要滿足題意,只需.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.7.B【解析】
由雙曲線的對稱性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設雙曲線的另一個焦點為,由雙曲線的對稱性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質,考查直線與圓的位置關系,考查數(shù)形結合思想與計算能力,屬于中檔題.8.A【解析】
對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯誤.對于③,因為,所以,所以③錯誤.對于④,因為,所以,所以④正確.故選A.9.D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關性質,基礎題.10.A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運算即可得到結論.【詳解】設向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運算,難度不大,屬于基礎題.11.C【解析】
根據(jù)線面平行的性質定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理,屬于基礎題.12.C【解析】
先求出,再由,利用向量數(shù)量積等于0,從而求得.【詳解】由題可知,因為,所以有,得,故選:C.【點睛】該題考查的是有關向量的問題,涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式,向量垂直的坐標表示,屬于基礎題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】如圖,是切點,是的中點,因為,所以,又,所以,,又,根據(jù)雙曲線的定義,有,即,兩邊平方并化簡得,所以,因此.14.【解析】
對函數(shù)求導,通過賦值,求得,再對函數(shù)單調性進行分析,求得極大值.【詳解】,故解得,,令,解得函數(shù)在單調遞增,在單調遞減,故的極大值為故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)極值的求解,難點是要通過賦值,求出未知量.15.【解析】
根據(jù)定積分的計算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計算,可得,令,則,即的展開式中各項系數(shù)和為.【點睛】本題主要考查了定積分的應用,以及二項式定理的應用,其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得的表示是解答本題的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.16.【解析】
由已知可得,結合雙曲線的定義可知,結合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據(jù)幾何關系,分析出.關于圓錐曲線的問題,一般如果能結合幾何性質,可大大減少計算量.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)利用二倍角公式求解即可,注意隱含條件.(2)利用(1)中的結論,結合正弦定理和同角三角函數(shù)的關系易得的值,又由求出的值,最后由正弦定理求出的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計算得出.【詳解】(1)由已知可得,所以,因為在銳角中,,所以(2)因為,所以,因為是銳角三角形,所以,所以.由正弦定理可得:,所以,所以【點睛】此類問題是高考的??碱}型,主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識,同時考查了學生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能,屬于中檔題.18.(1)見解析;(2)【解析】
(1)可證面,從而可得.(2)可證點為線段的三等分點,再過作于,過作,垂足為,則為二面角的平面角,利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標系,利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值,最后利用同角三角函數(shù)的基本關系式可求.【詳解】證明:(1)因為為中點,所以.因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,而平面,故,又因為,所以,則,又,故面,又面,所以.(2)由(1)可得:面在面內的射影為,則為直線與平面所成的角,即.因為,所以,所以,所以,即點為線段的三等分點.解法一:過作于,則平面,所以,過作,垂足為,則為二面角的平面角,因為,,,則在中,有,所以二面角的平面角的正切值為.解法二:以點為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,設點,由得:,即,,,點,平面的一個法向量,又,,設平面的一個法向量為,則,令,則平面的一個法向量為.設二面角的平面角為,則,即,所以二面角的正切值為.【點睛】線線垂直的判定可由線面垂直得到,也可以由兩條線所成的角為得到,而線面垂直又可以由面面垂直得到,解題中注意三種垂直關系的轉化.空間中的角的計算,可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結為向量的夾角的計算,也可以構建空間角,把角的計算歸結平面圖形中的角的計算.19.(1)更適宜(2)(3)x為2時,燒開一壺水最省煤氣【解析】
(1)根據(jù)散點圖是否按直線型分布作答;(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關于的線性回歸方程,再得出y關于x的回歸方程;(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】(1)更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)x的回歸方程類型.(2)由公式可得:,,所以所求回歸方程為.(3)設,則煤氣用量,當且僅當時取“”,即時,煤氣用量最小.故x為2時,燒開一壺水最省煤氣.【點睛】本題考查擬合模型的選擇,回歸方程的求解,涉及均值不等式的使用,屬綜合中檔題.20.(1);(2)列聯(lián)表見解析,有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關;(3)分布列見解析,=3【解析】
(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率,計算晉級成功的人數(shù),填寫列聯(lián)表,計算觀測值,對照臨界值得出結論;(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率,將頻率視為概率,知隨機變量服從二項分布,計算對應的概率值,寫出分布列,計算數(shù)學期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,可知,解得;(2)由頻率分布直方圖知,晉級成功的頻率為,所以晉級成功的人數(shù)為(人),填表如下:晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計25751
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