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學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準(zhǔn)考證號(hào)學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準(zhǔn)考證號(hào)…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁,共7頁福建省福州市金山中學(xué)2024年數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期開學(xué)經(jīng)典試題題號(hào)一二三四五總分得分A卷(100分)一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題4分,共32分,每小題均有四個(gè)選項(xiàng),其中只有一項(xiàng)符合題目要求)1、(4分)函數(shù)的自變量的取值范圍是()A. B. C. D.2、(4分)下列因式分解正確的是()A. B.C. D.3、(4分)若實(shí)數(shù)a、b滿足ab<0,則一次函數(shù)y=ax+b的圖象可能是()A. B.C. D.4、(4分)=()A.4 B.2 C.﹣2 D.±25、(4分)乒乓球是我國的國球,也是世界上流行的球類體育項(xiàng)目.我國乒乓球名將與其對應(yīng)身高如下表所示:乒乓球名將劉詩雯鄧亞萍白楊丁寧陳夢孫穎莎姚彥身高(cm)160155171173163160175這些乒乓球名將身高的中位數(shù)和眾數(shù)是()A.160,163 B.173,175 C.163,160 D.172,1606、(4分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.7、(4分)為了調(diào)查某校同學(xué)的體質(zhì)健康狀況,隨機(jī)抽查了若干名同學(xué)的每天鍛煉時(shí)間如表:每天鍛煉時(shí)間(分鐘)20406090學(xué)生數(shù)2341則關(guān)于這些同學(xué)的每天鍛煉時(shí)間,下列說法錯(cuò)誤的是()A.眾數(shù)是60 B.平均數(shù)是21 C.抽查了10個(gè)同學(xué) D.中位數(shù)是508、(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,D為BC上一點(diǎn),要使點(diǎn)D到AB的距離等于DC,則必須滿足()A.點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)B.點(diǎn)D在∠BAC的平分線上C.AD是△ABC的一條中線D.點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上二、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)9、(4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A為,點(diǎn)C是第一象限上一點(diǎn),以O(shè)A,OC為鄰邊作?OABC,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C和AB的中點(diǎn)D,反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B,則的值為______.10、(4分)已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是x=-1,則_______.11、(4分)在平行四邊形ABCD中,AD=13,BAD和ADC的角平分線分別交BC于E,F(xiàn),且EF=6,則平行四邊形的周長是____________________12、(4分)函數(shù)yl="x"(x≥0),(x>0)的圖象如圖所示,則結(jié)論:①兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,3)②當(dāng)x>3時(shí),③當(dāng)x=1時(shí),BC=8④當(dāng)x逐漸增大時(shí),yl隨著x的增大而增大,y2隨著x的增大而減?。渲姓_結(jié)論的序號(hào)是_.13、(4分)如圖,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,2),過點(diǎn)A作AB⊥y軸,垂足為B,在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P(0,t),過點(diǎn)P作直線OA的垂線l,以直線l為對稱軸,點(diǎn)B經(jīng)軸對稱變換得到的點(diǎn)B'在此反比例函數(shù)的圖象上,則t的值是()A.1+ B.4+ C.4 D.-1+三、解答題(本大題共5個(gè)小題,共48分)14、(12分)已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形.(2)如圖1,求AF的長.(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)P的速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①問在運(yùn)動(dòng)的過程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎?若有可能,請求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和點(diǎn)Q的速度;若不可能,請說明理由.②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.15、(8分)定義:直線與直線互為“友好直線”,如:直線與互為“友好直線”.(1)點(diǎn)在直線的“友好直線”上,則________.(2)直線上的點(diǎn)又是它的“友好直線”上的點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)對于直線上的任意一點(diǎn),都有點(diǎn)在它的“友好直線”上,求直線的解析式.16、(8分)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)B作BP∥AC,過點(diǎn)C作CP∥BD,BP與CP相交于點(diǎn)P.(1)判斷四邊形BPCO的形狀,并說明理由;(2)若將平行四邊形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,得到的四邊形BPCO是什么四邊形,并說明理由;(3)若得到的是正方形BPCO,則四邊形ABCD是.(選填平行四邊形、矩形、菱形、正方形中你認(rèn)為正確的一個(gè))17、(10分)某文具商店銷售功能相同的兩種品牌的計(jì)算器,購買2個(gè)A品牌和3個(gè)B品牌的計(jì)算器共需156元;購買3個(gè)A品牌和1個(gè)B品牌的計(jì)算器共需122元.(1)求這兩種品牌計(jì)算器的單價(jià);(2)學(xué)校開學(xué)前夕,該商店對這兩種計(jì)算器開展了促銷活動(dòng),具體辦法如下:A品牌計(jì)算器按原價(jià)的八折銷售,B品牌計(jì)算器5個(gè)以上超出部分按原價(jià)的七折銷售.設(shè)購買個(gè)x個(gè)A品牌的計(jì)算器需要y1元,購買x個(gè)B品牌的計(jì)算器需要y2元,分別求出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(3)小明準(zhǔn)備聯(lián)系一部分同學(xué)集體購買同一品牌的計(jì)算器,若購買計(jì)算器的數(shù)量超過5個(gè),購買哪種品牌的計(jì)算器更合算?請說明理由.18、(10分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),分別在軸,軸的正半軸上,矩形的邊,,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過邊的中點(diǎn).(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)求的面積.B卷(50分)一、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)19、(4分)兩個(gè)全等的直角三角尺如圖所示放置在∠AOB的兩邊上,其中直角三角尺的短直角邊分別與∠AOB的兩邊上,兩個(gè)直角三角尺的長直角邊交于點(diǎn)P,連接OP,且OM=ON,若∠AOB=60°,OM=6,則線段OP=______.20、(4分)閱讀下面材料:在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:尺規(guī)作圖:作一條線段的垂直平分線.已知:線段AB.求作:線段AB的垂直平分線.小紅的作法如下:如圖,①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)C;②再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長為半徑(不同于①中的半徑)作弧,兩弧相交于點(diǎn)D,使點(diǎn)D與點(diǎn)C在直線AB的同側(cè);③作直線CD.所以直線CD就是所求作的垂直平分線.老師說:“小紅的作法正確.”請回答:小紅的作圖依據(jù)是_____.21、(4分)如圖,在中,對角線與相交于點(diǎn),在上有一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作的垂線和的延長線交于點(diǎn),連接,,,若,,則_________.22、(4分)把方程x2﹣3=2x用配方法化為(x+m)2=n的形式,則m=_____,n=_____.23、(4分)已知∠ABC=60°,點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn),BD=CD=6,DE//AB交BC于點(diǎn)E.若在射線BA上存在點(diǎn)F,使,請寫出相應(yīng)的BF的長:BF=_________二、解答題(本大題共3個(gè)小題,共30分)24、(8分)某市提倡“誦讀中華經(jīng)典,營造書香校園”的良好誦讀氛圍,促進(jìn)校園文化建設(shè),進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的良好誦讀習(xí)慣,使經(jīng)典之風(fēng)浸漫校園.某中學(xué)為了了解學(xué)生每周在校經(jīng)典誦讀時(shí)間,在本校隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請根據(jù)圖表信息解答下列問題:時(shí)間(小時(shí))頻數(shù)(人數(shù))頻率2≤t<340.13≤t<4100.254≤t<5a0.155≤t<68b6≤t<7120.3合計(jì)401(1)表中的a=,b=;(2)請將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)全;(3)若該校共有1200名學(xué)生,試估計(jì)全校每周在校參加經(jīng)典誦讀時(shí)間至少有4小時(shí)的學(xué)生約為多少名?25、(10分)解方程組x26、(12分)為選拔參加八年級數(shù)學(xué)“拓展性課程”活動(dòng)人選,數(shù)學(xué)李老師對本班甲、乙兩名學(xué)生以前經(jīng)歷的10次測驗(yàn)成績(分)進(jìn)行了整理、分析(見圖①):(1)寫出a,b的值;(2)如要推選1名學(xué)生參加,你推薦誰?請說明你推薦的理由.
參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題4分,共32分,每小題均有四個(gè)選項(xiàng),其中只有一項(xiàng)符合題目要求)1、C【解析】
根據(jù)分母不為零分式有意義,可得答案.【詳解】解:由題意,得
2019-x≠0,
解得x≠2019,
故選:C.本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍,利用分母不能為零得出不等式是解題關(guān)鍵.2、C【解析】
利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式進(jìn)行分解即可得到答案.【詳解】解:A、,故此選項(xiàng)不符合題意;
B、,故此選項(xiàng)不符合題意;C、,故此選項(xiàng)符合題意;
D、,故此選項(xiàng)不符合題意;
故選:C.此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.3、B【解析】分析:利用ab<0,得到a<0,b>0或b<0,a>0,然后根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷.詳解:因?yàn)閍b<0,得到a<0,b>0或b<0,a>0,當(dāng)a<0,b>0,圖象經(jīng)過一、二、四象限;當(dāng)b<0,a>0,圖象經(jīng)過一、三、四象限,故選B.點(diǎn)睛:本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)是一條直線,當(dāng)k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減?。粓D象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b).4、B【解析】
根據(jù)算術(shù)平方根,即可解答.【詳解】==2,故選B.本題考查了算術(shù)平方根,解決本題的關(guān)鍵是熟記算術(shù)平方根的定義.5、C【解析】
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解:眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),注意眾數(shù)可以不止一個(gè);找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,位于最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))為中位數(shù);【詳解】解:把數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為:155,1,1,2,171,173,175;在這一組數(shù)據(jù)中1是出現(xiàn)次數(shù)最多的,故眾數(shù)是1.處于中間位置的數(shù)是2,那么由中位數(shù)的定義可知,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2.故選:C.此題考查中位數(shù)與眾數(shù)的意義,掌握基本概念是解決問題的關(guān)鍵.6、C【解析】分析:根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)解答.詳解:點(diǎn)P(-3,-5)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,5),故選C.點(diǎn)睛:本題考查的是關(guān)于原點(diǎn)的對稱的點(diǎn)的坐標(biāo),平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(x,y),關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是(-x,-y),即關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù).7、B【解析】
根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義分別對每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】解:A、60出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,則眾數(shù)是60,故A選項(xiàng)說法正確;B、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是:(20×2+40×3+60×4+90×1)÷10=49,故B選項(xiàng)說法錯(cuò)誤;C、調(diào)查的戶數(shù)是2+3+4+1=10,故C選項(xiàng)說法正確;D、把這組數(shù)據(jù)從小到大排列,最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是(40+60)÷2=50,則中位數(shù)是50,故D選項(xiàng)說法正確;故選:B.此題考查了眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù),中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個(gè)數(shù)(最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)),叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).8、B【解析】
根據(jù)角平分線的判定定理解答即可.【詳解】如圖所示,DE為點(diǎn)D到AB的距離.∵DC=DE,∠C=90°,DE⊥AB,∴AD平分∠CAD,則點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.故選B.本題考查了角平分線的判定,掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵.二、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)9、【解析】
過C作CE⊥x軸于E,過D作DF⊥x軸于F,易得△COE∽△DAF,設(shè)C(a,b),則利用相似三角形的性質(zhì)可得C(4,b),B(10,b),進(jìn)而得到.【詳解】如圖,過C作CE⊥x軸于E,過D作DF⊥x軸于F,則∠OEC=∠AFD=90°,又,,∽,又是AB的中點(diǎn),,,設(shè),則,,,,,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C和AB的中點(diǎn)D,,解得,,又,,,故答案為.本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握:反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.10、【解析】試題分析:因?yàn)榉匠痰囊粋€(gè)根是x=-1,所以把x=-1代入方程得,所以,所以.考點(diǎn):一元二次方程的根.11、41或33.【解析】
需要分兩種情況進(jìn)行討論.由于平行四邊形的兩組對邊互相平行,又AE平分∠BAD,由此可以推出所以∠BAE=∠DAE,則BE=AB;同理可得,CF=CD=1.而AB+CD=BE+CF=BC+FE=13+6=19,或AB+CD=BE+CF=BC-FE=13-6=7由此可以求周長.【詳解】解:分兩種情況,(1)如圖,當(dāng)AE、DF相交時(shí):∵AE平分∠BAD,∴∠1=∠2∵平行四邊形ABCD中,AD∥BC,BC=AD=13,EF=6∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴AB=BE同理CD=CF∴AB+CD=BE+CF=BC+FE=13+6=19∴平行四邊形ABCD的周長=AB+CD+BC+AD=19+13×2=41;(二)當(dāng)AE、DF不相交時(shí):由角平分線和平行線,同(1)方法可得AB=BE,CD=CF∴AB+CD=BE+CF=BC-FE=13-6=7∴平行四邊形ABCD的周長=AB+CD+BC+AD=7+13×2=33;故答案為:41或33.本題考查角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí),解題關(guān)鍵“角平分線+一組平行線=等腰三角形”.12、①③④【解析】逐項(xiàng)分析求解后利用排除法求解.①可列方程組求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)加以論證.②由圖象分析論證.③根據(jù)已知先確定B、C點(diǎn)的坐標(biāo)再求出BC.④由已知和函數(shù)圖象分析.解:①根據(jù)題意列解方程組,解得,;∴這兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,3),正確;②當(dāng)x>3時(shí),y1在y2的上方,故y1>y2,錯(cuò)誤;③當(dāng)x=1時(shí),y1=1,y2==9,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,9),所以BC=9-1=8,正確;④由于y1=x(x≥0)的圖象自左向右呈上升趨勢,故y1隨x的增大而增大,y2=(x>0)的圖象自左向右呈下降趨勢,故y2隨x的增大而減小,正確.因此①③④正確,②錯(cuò)誤.故答案為①③④.本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).解決此類問題的關(guān)鍵是由已知和函數(shù)圖象求出正確答案加以論證.13、A【解析】
根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2)得到k=-4,即反比例函數(shù)解析式為y=-,且OB=AB=2,則可判斷△OAB為等腰直角三角形,所以∠AOB=45°,再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°,然后軸對稱的性質(zhì)得PB=PB′,BB′⊥PQ,所以∠BPQ=∠B′PQ=45°,于是得到B′P⊥y軸,則點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為(-,t),于是利用PB=PB′得t-2=|-|=,然后解方程可得到滿足條件的t的值.【詳解】如圖,∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,2),∴k=-2×2=-4,∴反比例函數(shù)解析式為y=-,∵OB=AB=2,∴△OAB為等腰直角三角形,∴∠AOB=45°,∵PQ⊥OA,∴∠OPQ=45°,∵點(diǎn)B和點(diǎn)B′關(guān)于直線l對稱,∴PB=PB′,BB′⊥PQ,∴∠B′PQ=∠OPQ=45°,∠B′PB=90°,∴B′P⊥y軸,∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(-,t),∵PB=PB′,∴t-2=|-|=,整理得t2-2t-4=0,解得t1=,t2=1-(不符合題意,舍去),∴t的值為.故選A.本題是反比例函數(shù)的綜合題,解決本題要掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)及會(huì)用求根公式法解一元二次方程.三、解答題(本大題共5個(gè)小題,共48分)14、(1)證明見解析;(2)AF=5cm;(3)①有可能是矩形,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是8,Q的速度是0.5cm/s;②t=.【解析】
(1)證△AEO≌△CFO,推出OE=OF,根據(jù)平行四邊形和菱形的判定推出即可;
(2)設(shè)AF=CF=a,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于a的方程,求出即可;
(3)①只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,求出時(shí)間t,即可求出答案;②分為三種情況,P在AF上,P在BF上,P在AB上,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∵AC的垂直平分線EF,∴AO=OC,AC⊥EF,在△AEO和△CFO中∵,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF,∵OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵AC⊥EF,∴平行四邊形AECF是菱形;(2)解:設(shè)AF=acm,∵四邊形AECF是菱形,∴AF=CF=acm,∵BC=8cm,∴BF=(8﹣a)cm,在Rt△ABF中,由勾股定理得:42+(8﹣a)2=a2,a=5,即AF=5cm;(3)解:①在運(yùn)動(dòng)過程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是:(5+3)÷1=8,Q的速度是:4÷8=0.5,即Q的速度是0.5cm/s;②分為三種情況:第一、P在AF上,∵P的速度是1cm/s,而Q的速度是0.8cm/s,∴Q只能再CD上,此時(shí)當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形;第二、當(dāng)P在BF上時(shí),Q在CD或DE上,只有當(dāng)Q在DE上時(shí),當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形才有可能是平行四邊形,如圖,∵AQ=8﹣(0.8t﹣4),CP=5+(t﹣5),∴8﹣(0.8t﹣4)=5+(t﹣5),t=,第三情況:當(dāng)P在AB上時(shí),Q在DE或CE上,此時(shí)當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形;即t=.考查了矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定,菱形的判定和性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,用了方程思想,分類討論思想.15、(1);(2)M(1,7);(3)y=x-.【解析】
(1)由“友好直線”可得直線y=-x+4的“友好直線”,代入可得m的值;
(2)先表示直線y=4x+3的“友好直線”,再分別代入列方程組可得M的坐標(biāo);
(3)先表示直線y=ax+b的“友好直線”,并將點(diǎn)M和N分別代入可得方程組,得:(2b+2a-1)m=-a-2b,
根據(jù)對于任意一點(diǎn)M(m,n)等式均成立,則,可得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得:直線y=-x+4的“友好直線”是:y=4x-1,
把(m,2)代入y=4x-1中,得:4m-1=2,
m=,
故答案為:;
(2)由題意知,y=4x+3的“友好直線”是y=3x+4,
又∵點(diǎn)M(m,n)是直線y=4x+3上的點(diǎn),又是它的“友好直線”上的點(diǎn),
∴,
∴解得,
∴點(diǎn)M(1,7);
(3)∵點(diǎn)M(m,n)是直線y=ax+b上的任意一點(diǎn),
∴am+b=n
①,
∵點(diǎn)N(2m,m-2n)是直線y=ax+b的“友好直線”上的一點(diǎn),
即N(2m,m-2n)在直線y=bx+a上
∴2bm+a=m-2n
②,
將①代入②得,
2bm+a=m-2(am+b),
整理得:2bm+2am-m=-a-2b,
∴(2b+2a-1)m=-a-2b,
∵對于任意一點(diǎn)M(m,n)等式均成立,
∴,
解得,
∴y=x-.此題考查一次函數(shù)的性質(zhì),理解好題目中所給友好直線的解析式與一次函數(shù)解析式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16、(1)四邊形BPCO為平行四邊形;(2)四邊形BPCO為矩形;(3)四邊形ABCD是正方形【解析】試題分析:(1)根據(jù)兩組對邊互相平行,即可得出四邊形BPCO為平行四邊形;(2)根據(jù)菱形的對角線互相垂直,即可得出∠BOC=90°,結(jié)合(1)結(jié)論,即可得出四邊形BPCO為矩形;(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出OB=OC,且OB⊥OC,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出OD=OB,OA=OC,進(jìn)而得出AC=BD,再由AC⊥BD,即可得出四邊形ABCD是正方形.解:(1)四邊形BPCO為平行四邊形,理由如下:∵BP∥AC,CP∥BD,∴四邊形BPCO為平行四邊形.(2)四邊形BPCO為矩形,理由如下:∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD,則∠BOC=90°,由(1)得四邊形BPCO為平行四邊形,∴四邊形BPCO為矩形.(3)四邊形ABCD是正方形,理由如下:∵四邊形BPCO是正方形,∴OB=OC,且OB⊥OC.又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OD=OB,OA=OC,∴AC=BD,又∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是正方形.17、(1)30元,32元(2)(3)當(dāng)購買數(shù)量超過5個(gè)而不足30個(gè)時(shí),購買A品牌的計(jì)算機(jī)更合算;當(dāng)購買數(shù)量為30個(gè)時(shí),購買兩種品牌的計(jì)算機(jī)花費(fèi)相同;當(dāng)購買數(shù)量超過30個(gè)時(shí),購買B品牌的計(jì)算機(jī)更合算.【解析】
(1)根據(jù)“購買2個(gè)A品牌和3個(gè)B品牌的計(jì)算器共需156元”和“購買3個(gè)A品牌和1個(gè)B品牌的計(jì)算器共需122元”列方程組求解即可.(2)根據(jù)題意分別列出函數(shù)關(guān)系式.(3)由、、列式作出判斷.【詳解】解:(1)設(shè)A品牌計(jì)算機(jī)的單價(jià)為x元,B品牌計(jì)算機(jī)的單價(jià)為y元,則由題意可知:,解得.答:A,B兩種品牌計(jì)算機(jī)的單價(jià)分別為30元,32元.(2)由題意可知:,即.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即.(3)當(dāng)購買數(shù)量超過5個(gè)時(shí),.①當(dāng)時(shí),,解得,即當(dāng)購買數(shù)量超過5個(gè)而不足30個(gè)時(shí),購買A品牌的計(jì)算機(jī)更合算;②當(dāng)時(shí),,解得,即當(dāng)購買數(shù)量為30個(gè)時(shí),購買兩種品牌的計(jì)算機(jī)花費(fèi)相同;③當(dāng)時(shí),,解得,即當(dāng)購買數(shù)量超過30個(gè)時(shí),購買B品牌的計(jì)算機(jī)更合算.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù),求出C點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)為的中點(diǎn),得到D點(diǎn)坐標(biāo),再用待定系數(shù)法即可求解函數(shù)解析式;(2)先求出E點(diǎn)坐標(biāo),利用割補(bǔ)法即可求出的面積.【詳解】解:(1)∵,,∴.∵為的中點(diǎn),∴.代入可得,∴.(2)將代入得,∴.∴矩形.此題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合,解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法的應(yīng)用.一、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題4分,共20分)19、【解析】
根據(jù)HL定理證明,求得,根據(jù)余弦求解即可;【詳解】∵OM=ON,OP=OP,,∴,∵∠AOB=60°,∴,∵OM=6,∴.故答案是.本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用,結(jié)合三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.20、到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上;兩點(diǎn)確定一條直線.【解析】分析:根據(jù)線段垂直平分線的作法即可得出結(jié)論.詳解:如圖,∵由作圖可知,AC=BC=AD=BD,∴直線CD就是線段AB的垂直平分線.故答案為:到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上;兩點(diǎn)確定一條直線.點(diǎn)睛:本題考查的是作圖-基本作圖,熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵.21、【解析】
根據(jù)平行四邊形的對邊平行,可得AD∥BC,利用兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),可得∠G+∠GBC=180°,從而求出∠G=∠FBC=90°,根據(jù)“SAS”可證△AGB≌△FBC,利用全等三角形的性質(zhì),可得AG=BF=1,BC=BG,然后利用勾股定理求出FG=3,從而求出BC=BG=AD=4,即得GD=5,再利用勾股定理即可得出BD的長.【詳解】延長BF、DA交于點(diǎn)點(diǎn)G,如圖所示∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠G+∠GBC=180°又∵BF⊥BC,∴∠FBC=90°在△AGB和△FBC中,∴△AGB≌△FBC∴AG=BF=1,BC=BG∵∴BC=BG=AD=3+1=4∴GD=4+1=5∴此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握,即可解題.22、-11【解析】
先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊、一次項(xiàng)移到等式左邊得x2?2x=3,再配方得(x?1)2=1,故可以得出結(jié)果.【詳解】∵x2?3=2x,∴x2?2x=3,則x2?2x+1=3+1,即(x?1)2=1,∴m=?1、n=1,故答案為:?1、1.本題考查了解一元二次方程,配方法的一般步驟:把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊;把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;選擇用配方法解一元二次方程時(shí),最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).23、2或4.【解析】
過點(diǎn)D作DF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn),過點(diǎn)D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等,根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn),然后在等腰△BDE中求出BE的長,即可得解.【詳解】如圖,過點(diǎn)D作DF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此時(shí)S△DCF1=S△BDE;過點(diǎn)D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°,F(xiàn)1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,
∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
∴△DF1F2是等邊三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn),
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°,
∠CDF2=360°-150°-60°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△
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