第01講 勾股定理（知識解讀+達(dá)標(biāo)檢測）（原卷版）-A4

第頁第01講勾股定理【題型1：已知直角三角形的兩邊，求第三邊長】【題型2：求直接三角形周長，面積、斜邊上的高等問題】【題型3：等面積法求直接斜邊上的高問題】【題型4：作無理數(shù)的線段】【題型5：勾股定理的證明】考點(diǎn)1：勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段【題型1：一直直角三角形的兩邊，求第三邊長】【典例1】直角三角形兩條直角邊分別為4和6，則斜邊長為（）A．6 B． C．10 D．6或【變式1-1】直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，若a＝5，c＝13，則b的值為（）A．4 B．8 C．12 D．144【變式1-2】如圖Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，則AB的長是（）A． B． C． D．【變式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，則AC的長為（）A．8 B．或12 C． D．12【題型2：求直接三角形周長，面積、斜邊上的高等問題】【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則△ABC的面積為（）A．17.5 B．20 C． D．28【變式2-1】如圖，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，則AB的長為（）A．4 B．5 C．8 D．10【變式2-2】如圖，直角三角形的三邊上分別有一個(gè)正方形，其中兩個(gè)正方形的面積分別是25和169，則字母B所代表的正方形的面積是（）A．144 B．194 C．12 D．13【變式2-3】已知直角三角形的周長為24，斜邊長為10，則三角形的面積為（）A．12 B．24 C．36 D．48【題型3：等面積法求直接斜邊上的高問題】【典例3】如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4.8【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點(diǎn)C到AB的距離是（）A． B． C． D．【變式3-2】如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A． B． C． D．【變式3-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則AC邊上的高BD的長為（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【題型4：作無理數(shù)的線段】【典例4】邊長為1的正方形OABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．1 B． C． D．【變式4-1】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的數(shù)為x，則點(diǎn)A坐標(biāo)為．【變式4-2】（1）如圖4×4的方格，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，若每個(gè)小正方形邊長為1單位，請?jiān)诜礁裰凶饕粋€(gè)正方形，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①所作的正方形的頂點(diǎn)，必須在方格上；②所作正方形的面積為8個(gè)平方單位（2）在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)（保留作圖痕跡）考點(diǎn)2：勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.【題型5：勾股定理的證明】【典例5】如圖，直角三角形ACB，直角頂點(diǎn)C在直線l上，分別過點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．【變式5-1】（1）為了證明勾股定理，李明將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖1所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，如圖1，請利用此圖證明勾股定理；（2）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折線A﹣C﹣B運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0），若點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，求此時(shí)t的值．【變式5-2】我國三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積為25，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和為7，求中間小正方形的邊長．【變式5-3】如圖1，將長為2a+3，寬為3a﹣2的長方形ABCD分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．（1）求圖2中小正方形MNPQ的邊長（用含a的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)a＝3時(shí)，請直接寫出小正方形MNPQ的面積．一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?朝陽區(qū)校級期末）圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長為7cm，則圖中A、B兩個(gè)正方形的面積之和為（）A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm22．（2023秋?綏化期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，則c的長為（）A．26 B．18 C．20 D．213．（2023秋?榆樹市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E．若AC＝12，BC＝16，則AE的長為（）A．6 B．8 C．10 D．124．（2023秋?泉山區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分∠BAC，則AD的長為（）A．5 B．10 C．12 D．135．（2022秋?盧龍縣期末）如圖，長方形OABC的OA長為2，AB長為1，OA在數(shù)軸上，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，以原點(diǎn)為圓心，對角線OB的長為半徑畫弧，交負(fù)半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（）A．2.5 B．﹣2 C． D．﹣6．（2023秋?廣饒縣期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，則Rt△ABC的斜邊AB上的高CD的長是（）A． B． C．9 D．67．（2022秋?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)D；以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑畫弧，交線段BC于點(diǎn)E．若BD＝CE，則AC的長為（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm8．（2022秋?高青縣期末）如圖，已知網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則ED的長為（）A． B．3 C．2 D．9．（2023秋?蕉城區(qū)期中）如圖：4×1網(wǎng)格中每個(gè)正方形邊長為1，表示長的線段是（）A．OA B．OB C．OC D．OD10．（2023?阜寧縣二模）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3二．填空題（共5小題）11．（2023秋?市北區(qū)期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足|a﹣3|+＝0，且a，b恰是直角三角形的兩條邊長，則該直角三角形的斜邊長為．12．（2023秋?北碚區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，CB＝12，BD平分∠ABC，則AD的長是．（2023秋?二道區(qū)期末）如圖①，四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形，恰好拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖形是由我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．如果圖①中的直角三角形的長直角邊為7cm，短直角邊為3cm，連結(jié)圖②中四條線段得到如圖③的新圖案，則圖③中陰影部分的周長為cm．14．（2022秋?鯉城區(qū)校級期末）如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為．15．（2023秋?泉山區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是邊AB的垂直平分線，則△ADC的周長為．三．解答題（共3小題）16．（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．17．（2023秋?金鳳區(qū)校級期末）如圖，圖1為4×4的方格，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，每個(gè)小正方形邊長為1．（1）圖1中正方形ABCD的面積為，邊長為；（2）①依照圖1中的作法，在下面圖2的方格中作一個(gè)正方形，同時(shí)滿足下列兩個(gè)要求：Ⅰ．所作的正方形的頂點(diǎn)，必須在方格的格點(diǎn)上；Ⅱ．所作的正方形的邊長為．②請?jiān)趫D2中的數(shù)軸上標(biāo)出表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)，保留作圖痕跡．18．（2023春?臨朐縣期中）閱讀材料，解決問題：三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾