2024年大學試題(理學)-數(shù)值分析考試近5年真題集錦（頻考類試題）帶答案

（圖片大小可自由調整）2024年大學試題(理學)-數(shù)值分析考試近5年真題集錦（頻考類試題）帶答案第I卷一.參考題庫(共100題)1.用牛頓法求方程x2-3x-1=0在[1,2]之間的近似根 （1）請指出為什么初值應取2？ （2）請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.2.對于初值問題，證明當h<0.2時，歐拉公式絕對穩(wěn)定。3.設方程組 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-塞德爾迭代法的收斂性。4.求方程x2-x-1.25=0的近似根，用迭代公式，取初始值x0=1，那么x1=（）。5.試討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列方程組的收斂性問題： 6.設（1）方程f（x）=0有根x*： （2）對一切x∈R，f’（x）存在且，證明對于任意的λ∈（0，2/m迭代格式是局部收斂的。7.用冪法計算下列矩陣的主特征值及對應的特征向量： 當特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時迭代終止。8.下述矩陣能否分解為LU（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？ 9.設一階差商f（x1，x2）==-3，f（x2，x3）=，則二階差商f（x1，x2，x3）=（）。10.分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分： 11.求證： （a）║x║∞≤║x║1≤n║x║∞； （b）12.用辛浦生公式計算積分近似值；13.遞推公式，如果取y0=≈1.41作計算，則計算到y(tǒng)0時，誤差為（），這個計算公式數(shù)值穩(wěn)定不穩(wěn)定（）。14.求解方程組的高斯—塞德爾迭代格式為（），該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑ρ（M）=（）。15.已知用線性插值求的近似值。（拉格朗日線性插值）16.用復化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為0.5×10-5。17.設∥A∥P,∥A∥q為Rn*n上任意兩種矩陣（算子）范數(shù)，證明存在常數(shù)c1,c2>0使得對一切A∈Rn*n均成立。18.對一元2次方程具有5位有效數(shù)字，求其具有5位有效數(shù)字的根。19.導出如下3個求積公式，并給出截斷誤差的表達式。 20.對于f（x）=0的牛頓公式， 證明收斂到，這里x*為f（x）=0的根。21.解初值問題的改進歐拉法是（）階方法。22.改變函數(shù)的形式，使計算結果較精確（）。23.選取常數(shù)a，使達到極小，問這個解是否唯一？24.已知一元方程x3-3x-1.2=0。 1）求方程的一個含正根的區(qū)間； 2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式（判斷收斂性）； 3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。25.π=3.14159...具有4位有效數(shù)字的近似值是多少？（有效數(shù)字的計算）26.設，則ρ（A）為（）。A、2B、5C、7D、327.分別描述R2中（畫圖）28.證明對于任意選擇的A，序列收斂于零29.用二分法求方程f（x）=x3-x-1=0在[1.0，1.5]區(qū)間內的一個根，誤差限。ε=10-230.設f（x）=4x5+2x4+3x2+1和節(jié)點xk=k/2，k=0，1，2...則f[x0，x1，...x5]=（）31.設f（x）=x4+3x3-1，在[0，1]上求三次最佳逼近多項式。32.用追趕法求解三對角方程組 33.已知f（-1）=2，f（1）=3，f（2）=-4，求拉格朗日插值多項式L2（x）及f（1，5）的近似值，取五位小數(shù)。34.設，在?1≤x≤1上取n=20，按等距節(jié)點求分段線性插值函數(shù)Ih（x），計算各相鄰節(jié)點間中點處的Ih（x）與f（x）的值，并計算誤差。35.設為Rn×n上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)c1，c2>0，使對一切A∈Rn×n滿足 36.已知方程組Ax=b，其中 （1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； （2）判斷兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快。37.用二步法求解一階常微分方程初值問題，問：如何選擇參數(shù)，α，β的值，才使該方法的階數(shù)盡可能地高？寫出此時的局部截斷誤差主項，并說明該方法是幾階的。38.解常微分方程初值問題的梯形格式是（）階方法。39.已知常微分方程的初值問題： 用改進的Euler方法計算y（1.2）的近似值，取步長h=0.2。40.，則A的譜半徑ρ（A）=（），A的cound（A）1=（）。41.已知一組試驗數(shù)據(jù)如下： 求它的擬合曲線（直線）。42.數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點的函數(shù)值（x0，y0）（x1，y1）（x2，y2），則由三點的求導公式，有f′（x1）=（）。43.試用最小二乘法，求解下列超定方程組： 44.設x*=2.3149541...，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=（）。45.對于給定的線性方程組 （1）討論雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法的收斂性。 （2）對收斂的方法，取初值，迭代兩次，求出。46.用梯形法解初值問題y′=x2+x-y，y（0）=0取步長h=0.1，計算到x=0.5，并與準確解y=-e-x+x2-x+1相比較。47.有常微分方程的初值問題，試用泰勒展開法，構造線性兩步法數(shù)值計算公式，使其具有二階精度，并推導其局部截斷誤差主項。48.舍入誤差是（）產(chǎn)生的誤差。A、只取有限位數(shù)B、模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C、觀察與測量D、數(shù)學模型準確值與實際值49.已知高斯求積公式將區(qū)間[0，1]二等分，用復化高斯求積法求定積分的近似值。50.已知一組試驗數(shù)據(jù) 試用直線擬合這組數(shù)據(jù).(計算過程保留3位小數(shù))。（最小二乘線性逼近）51.如有下列表函數(shù)： 則一次差商f[0.2，0.4]=（）52.用最小二乘法求一個形如y=a+bx2的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合，并求均方誤差。 53.用二分法求非線性方程f（x）=0在區(qū)間（a，b）內的根時，二分n次后的誤差限為（）。54.設Y0=28，按遞推公式計算到Y100，若取≈27.982（五位有效數(shù)字），試問計算Y100將有多大誤差？55.迭代法收斂的充要條件是什么？如果能否說明迭代法不收斂？用什么表示迭代法的收斂速度？56.求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求（保留四位小數(shù)）。57.設A為非奇異矩陣，且，求證（A+δA）-1存在且有估計 58.設A為對稱正定矩陣，且其分解為A=LDLT=WTW，其中W=D1/2LT，求證： 59.導出具有下列形式的3階方法： 60.證明61.以100，121，144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。62.設f（x）=（x-x0）（x-x1）…（x-xn）求之值，其中，而節(jié)點互異。（均差的計算）63.取h=0.25，用差分方法解邊值問題。 64.用改進的尤拉方法解 取步長h=0.1計算y（0.5），并與準確解y=-e-x+x2-x+1相比較。65.在[-1，1]上利用冪級數(shù)項數(shù)求f（x）=sinx的3次逼近多項式，使誤差不超過0.005。66.設x*的相對誤差為2％，求（x*）n的相對誤差67.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求誤差<0.05。68.求參數(shù)a，b，使得計算初值問題的二步數(shù)值方法的階數(shù)盡量高，并給出局部截斷誤差的主項。69.已知f（1）=1.0，f（2）=1.2，f（3）=1.3，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得≈（），用三點式求得f′（x）≈（）。70.構造一個三次多項式H（x），使它滿足條件（埃爾米特插值）。71.若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都（）。72.設x的相對誤差為a%，求y=xn的相對誤差。（函數(shù)誤差的計算）73.若x1≈0.937具有3位有效數(shù)字，問的相對誤差限是多？設的絕對誤差限和相對誤差限。74.設A∈Rn×n，且ai1，aj1不全為零，Pij為使aj1（2）=0的平面旋轉陣，試推導計算PijA第i行，第j行元素公式及APTij第i列，第j列元素的計算公式。75.用辛普森公式求積分并計算誤差76.用插值極小化方法求在[1，2]上的二次插值多項式，并在[1，2]上估計誤差。 77.用牛頓法求方程xex-1=0的根，x0=0.5，計算結果準確到四位有效數(shù)字。78.設f（x）=C2[a，b]，且f（a）=f（b）=0，求證： 79.設A∈Rn*n，證明當ρ（A）<1時，矩陣序列Sk=I+A+L+Ak（k=0，1，2，L）收斂，并求其極限。80.設li（x）是以xk=k（k=0，1，...，9）為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則=（）A、xB、kC、iD、181.若用復化辛浦生公式計算積分問至少應將區(qū)間[0，4]多少等分才能保證計算結果有五位有效數(shù)字？82.用Gauss消去法求解下列方程組。 83.如何選取r，使p（x）=x2+r在[-1，1]上與零偏差最??？r是否唯一？84.計算球體積要使相對誤差為1%，問度量半徑R允許的相對誤差限是多少？85.證明解y’=f（x，y）的公式： 是二階的，并求出其局部截斷誤差。86.已知x=φ（x）在區(qū)間[a，b]內只有一根，而當a<x<b時，試問如何將x=φ（x）化為適于迭代的形式？ 將x=tgx化為適于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。87.若誤差限為0.5×10-15，那么近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計算）88.用Romberg方法求，要求誤差不超過。從所取節(jié)點個數(shù)與上題結果比較中體會這2種方法的優(yōu)缺點。89.利用尤拉方法計算積分 在點x=0.5，1，1.5，2的近似值。90.證明解y′=f（x，y）的下列差分公式 是二階的，并求出截斷誤差的首項。91.證明：若為嚴格對角占優(yōu)矩陣，則A非奇異。92.用下列方法計算積分比較結果 （1）龍貝格方法； （2）三點及五點高斯公式； （3）將積分區(qū)間分為四等分，用復化兩點高斯公式。93.利用區(qū)間變換推出區(qū)間為[a，b]的伯恩斯坦多項式。94.方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根，把方程寫成3種不同的等價形式： 95.設x∈Rn。證明 96.用二次拉格朗日插值多項式的值。插值節(jié)點和相應的函數(shù)值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。97.f（x）=x7+x4+3x+1，求f[20，21，...，27]及f[20，21，...，28]。98.用直接三角分解（Doolittle）法解方程組（不選主元）： 99.選擇a，使積分取得最小值100.設初值問題 a）寫出由Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式； b）寫出由改進Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式。第I卷參考答案一.參考題庫1.參考答案： 2.參考答案： 3.參考答案： （a）譜半徑ρ（B）=1.093>1，Jacobi迭代法不收斂； 矩陣A對稱正定，故Gauss-Seidel迭代法收斂。 （b）譜半徑ρ（B）=01，Gauss-Seidel迭代法不收斂。4.參考答案：1.55.參考答案：6.參考答案：7.參考答案： 8.參考答案： 按高斯消去法，A無法進行第二次消去，換行后可以分解，B第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，C可唯一分解。9.參考答案： 10.參考答案： 如下： 11.參考答案： 12.參考答案： 13.參考答案： ；不穩(wěn)定14.參考答案： ；15.參考答案： 16.參考答案： 如下： 17.參考答案：18.參考答案：19.參考答案：20.參考答案： 迭代函數(shù)為，且有 21.參考答案：222.參考答案： 23.參考答案： 原函數(shù)與零的偏差極大值點分別為 24.參考答案： 25.參考答案： 26.參考答案：C27.參考答案： 28.參考答案： 29.參考答案： 30.參考答案：431.參考答案： 則g（t）在[-1，1]上的三次最佳逼近多項式為 作逆變換t=2x-1代入S（t），則f（x）在[0，1]上的三次最佳逼近多項式為 32.參考答案：33.參考答案： 如下： 34.參考答案：35.參考答案： 由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)a1，a2>0，使得，于是令c1=a1/a2>0，c2=a2/a1>0，則對任意A∈Rn×n，均有不等式 36.參考答案： （1）Jacobi迭代法的分量形式 37.參考答案： 局部截斷誤差為 38.參考答案：二39.參考答案： 如下： 40.參考答案： ；641.參考答案： 42.參考答案： 43.參考答案：44.參考答案：2.315045.參考答案： 46.參考答案： 用梯形法求解公式，得 47.參考答案： 48.參考答案：A49.參考答案： 50.參考答案： 51.參考答案：0.652.參考答案： 如下： 53.參考答案： 54.參考答案： 如下： 55.參考答案： 迭代法收斂的充要條件是ρ（B）時因不一定能使ρ（B）則迭代法收斂。56.參考答案： 如下： 57.參考答案： 58.參考答案： 59.參考答案：60.參考答案： 如下： 61.參考答案： 用Newton插值方法：差分表： 62.參考答案： 63.參考答案： 用差商逼近導數(shù)的方法把原邊值問題轉化為等價差分法方程組可得， 解此方程組可得 64