2024屆湖南省益陽市桃江縣高三一診模擬考試數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

2024屆湖南省益陽市桃江縣高三一診模擬考試數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,點為中點,過點的直線與,所在直線分別交于點,,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.2.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③3.已知等差數(shù)列的前n項和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.24.已知x,y滿足不等式組,則點所在區(qū)域的面積是()A.1 B.2 C. D.5.在中,角所對的邊分別為,已知,則()A.或 B. C. D.或6.設(shè),則A. B. C. D.7.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.8.對于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點”.若實數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點”,則的最大值為()A. B. C. D.9.半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱,則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()A. B. C. D.10.如圖所示,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.11.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.1012.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則()A.45 B.42 C.25 D.36二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù),滿足約束條件則的最大值為________.14.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.15.,則f(f(2))的值為____________.16.已知橢圓的下頂點為,若直線與橢圓交于不同的兩點、,則當_____時,外心的橫坐標最大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓與x軸負半軸交于,離心率.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線與橢圓C交于兩點,連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點,若,直線MN是否恒過定點,如果是,請求出定點坐標,如果不是,請說明理由.18.(12分)設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)在和之間插入個實數(shù),使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:.19.(12分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點,且,求的值.21.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當時,有兩個零點,證明:.(參考數(shù)據(jù):)22.(10分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的極小值;(3)求函數(shù)的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由,,三點共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因為點為中點,所以,又因為,,所以.因為,,三點共線,所以,所以,當且僅當即時等號成立,所以的最小值為1.故選:B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.2、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項.點睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.3、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計算,難度容易.4、C【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域,計算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖:直線的斜率為,直線的斜率為,所以兩直線垂直,故為直角三角形,易得,,,,所以陰影部分面積.故選:C.【點睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力,屬于??碱}.5、D【解析】

根據(jù)正弦定理得到,化簡得到答案.【詳解】由,得,∴,∴或,∴或.故選:【點睛】本題考查了正弦定理解三角形,意在考查學(xué)生的計算能力.6、C【解析】分析:利用復(fù)數(shù)的除法運算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),化簡復(fù)數(shù),然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解:,則,故選c.點睛:復(fù)數(shù)是高考中的必考知識,主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念,復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算,通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法,運算時特別要注意多項式相乘后的化簡,防止簡單問題出錯,造成不必要的失分.7、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結(jié)合和的離心率之積為,即可得的關(guān)系,進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對稱點”,所以,故(當且僅當時取等號).又與為函數(shù)的“線性對稱點,所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9、B【解析】

設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,利用,可得,進一步得到側(cè)面積,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長與高分別為,則,在中,,化為,,,當且僅當時取等號,此時.故選:B.【點睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題,涉及到基本不等式求最值,考查學(xué)生的計算能力,是一道中檔題.10、D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因為雞蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題,考查球體有關(guān)的知識.在解答過程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時,可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面,然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.11、C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點中心對稱是解題的關(guān)鍵.12、D【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進而代入等差數(shù)列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項和.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

作出約束條件表示的可行域,轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為,當目標函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大,取得最大值,即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大此時取得最大值1.故答案為:1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、55【解析】

由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當n=1時,,當時,由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前項和,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

先求f(1),再根據(jù)f(1)值所在區(qū)間求f(f(1)).【詳解】由題意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案為:1.【點睛】本題考查分段函數(shù)求值,考查對應(yīng)性以及基本求解能力.16、【解析】

由已知可得、的坐標,求得的垂直平分線方程,聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程,求得的垂直平分線方程,兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標,再由導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】如圖,由已知條件可知,不妨設(shè),則外心在的垂直平分線上,即在直線,也就是在直線上,聯(lián)立,得或,的中點坐標為,則的垂直平分線方程為,把代入上式,得,令,則,由,得(舍)或.當時,,當時,.當時,函數(shù)取極大值,亦為最大值.故答案為:.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值,是中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)直線恒過定點,詳見解析【解析】

(1)依題意由橢圓的簡單性質(zhì)可求出,即得橢圓C的方程;(2)設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求得點的坐標,同理可求出點的坐標,根據(jù)的坐標可求出直線的方程,將其化簡成點斜式,即可求出定點坐標.【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)設(shè)直線的方程為:,則∴或,∴,同理,當時,由有.∴,同理,又∴,當時,∴直線的方程為∴直線恒過定點,當時,此時也過定點..綜上:直線恒過定點.【點睛】本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓的標準方程,以及直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用,定點問題的求法等,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力,屬于難題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ),,兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.(Ⅱ)由題設(shè)可得,可得,利用錯位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因為,故,兩式相減可得,,故,因為是等比數(shù)列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由題設(shè)可得,所以,所以,①則,②①-②得:,所以,得證.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式求和公式、錯位相減法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

(1)零點分段去絕對值解不等式即可(2)由題在上有解,去絕對值分離變量a即可.【詳解】(1)不等式,即等價于或或解得,所以原不等式的解集為;(2)當時,不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【點睛】本題考查絕對值不等式解法,不等式有解求參數(shù),熟記零點分段,熟練處理不等式有解問題是關(guān)鍵,是中檔題.20、(1),(2)0【解析】

(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入的普通方程,化為關(guān)于的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時的幾何意義求解.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得;由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得,即.(2)把為參數(shù))代入,得.,..解得:,即,滿足△..【點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.21、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域為,,分和兩種情況討論,分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得出關(guān)于實數(shù)的不等式,進而可求得實數(shù)的取值范圍;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增,在上遞減,可得出,由,構(gòu)造函數(shù),證明出,進而得出,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,且.當時,對任意的,,此時函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為最大值;當時,令,得.當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以,函數(shù)在處取得極大值,亦即最大值,即,解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是;(2)當時,,定義域為,,當時,;當時,.所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個零點、且,,,構(gòu)造函數(shù),其中,,令,,當時,,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,則.所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,,,即,即,,且,而函數(shù)在上為減函數(shù),所以,,因此,.【點睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù),同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式,利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計算能力,屬于難題.22、(1);(2)極小值;

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