新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.1直線與直線垂直課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直學(xué)習(xí)任務(wù)1．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系．(直觀想象)2．掌握兩異面直線所成的角的求法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01觀察下面兩個(gè)圖形．問題：(1)教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線的位置關(guān)系是什么？(2)六角螺母中直線AB與CD的位置關(guān)系是什么？CD與BE的位置關(guān)系是什么？知識(shí)點(diǎn)1異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線________所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍是____________．思考1．在異面直線所成角的定義中，角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)系嗎？[提示]

根據(jù)等角定理可知，異面直線所成角的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān).a′與b′0°≤α≤90°知識(shí)點(diǎn)2兩條異面直線垂直(1)定義：如果兩條異面直線所成的角是____，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．(2)表示：直線a與直線b垂直，記作_____．思考2．兩條直線垂直，一定相交嗎？[提示]

不一定．當(dāng)兩條異面直線所成的角為90°時(shí)，兩條異面直線垂直，但不一定相交．直角a⊥b1．已知正方體ABCD-EFGH，則AH與FG所成的角是________．45°

[如圖，連接BG，則BG∥AH，所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角.因?yàn)樗倪呅蜝CGF為正方形，所以∠BGF＝45°.]2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是A1D1和BC的中點(diǎn)，則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有________條．2

[長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條．]45°2關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1異面直線所成的角類型2直線與直線垂直的證明類型1異面直線所成的角【例1】如圖，空間四邊形ABCD的各個(gè)棱長都相等，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

求異面直線所成角的一般步驟“一作”即過空間一點(diǎn)作兩條異面直線的______，而空間一點(diǎn)一般取在兩異面直線中的一條上，特別是某些特殊點(diǎn)處，例如“端點(diǎn)”或“中點(diǎn)”處．

“二求”即通過解三角形，計(jì)算所作的角的大?。叭Y(jié)論”即假如所構(gòu)造的角的大小為α，若0°＜α≤90°，則α即為所求異面直線所成角的大??；若90°＜α＜180°，則________即為所求．平行線180°－α

類型2直線與直線垂直的證明【例2】如圖，正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求證：DB1⊥EF.[解]法一：如圖，連接A1C1，B1D1，設(shè)交點(diǎn)為O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，GA1，GC1．

則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1．∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，∴DB1⊥EF.

法三：如圖，在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)全等的正方體，連接B1Q，DQ，則B1Q∥EF.于是，直線DB1與B1Q所成的角就是異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．通過計(jì)算，不難得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，從而異面直線DB1與EF所成的角為90°，所以DB1⊥EF.反思領(lǐng)悟

證明兩條直線垂直的策略(1)對于共面垂直的兩條直線的證明，可根據(jù)勾股定理證明．(2)對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明．

學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)0312341．(多選)如果空間兩條直線互相垂直，那么它們可能是(

)A．相交直線 B．異面直線C．共面直線

D．平行直線√ABC

[由平面幾何知識(shí)和異面垂直的定義可知，互相垂直的兩條直線可垂直相交或異面垂直，故選ABC.]√√1234√2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于(

)A．45°

B．60°

C．90°

D．120°B

[取A1B1中點(diǎn)I，連接IG，IH，則EF綉IG.易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，則IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°.]1234

√

1234

45°60°回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．異面直線所成角的范圍如何？什么是異面直線垂直？[提示]

異面直線所成角θ的范圍為0°<θ≤90°，如果兩條異面直線a，b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直，記為a⊥b.2．用平移法求異面直線所成角的一般步驟是什么？[提示]

(1)作角——用平移法找(或作)出符合題意的角；(2)求角——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角；(3)結(jié)論——設(shè)