新教材同步備課2024春高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.4空間點直線平面之間的位置關(guān)系8.4.2空間點直線平面之間的位置關(guān)系課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學習任務借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義．(數(shù)學抽象、直觀想象)必備知識·情境導學探新知01觀察你所在的教室．問題：(1)教室內(nèi)同一列的燈管所在的直線是什么位置關(guān)系？(2)教室內(nèi)某燈管所在的直線和地面是什么位置關(guān)系？(3)教室內(nèi)某燈管所在的直線和黑板左右兩側(cè)所在的直線是什么位置關(guān)系？(4)教室內(nèi)黑板面和教室的后墻面是什么位置關(guān)系？

任何一個平面內(nèi)

思考1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？[提示]

不一定．可能平行、相交或異面．思考2．如何畫異面直線？[提示]

常常需要以輔助平面作為襯托，以加強直觀性，如圖①②③．位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點______公共點_____公共點_____公共點符號表示a?

αa∩α＝Aa∥α知識點2空間中直線與平面的位置關(guān)系無數(shù)個一個沒有位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行圖形表示思考3．直線l在平面α外，l就與α無公共點嗎？[提示]

直線l在平面α外包含兩種情況：l與α平行，l與α相交．若l與α相交，則有唯一的公共點．所以直線l在平面α外，l與α不一定沒有公共點．知識點3空間中兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點___________有_____個公共點(在一條直線上)符號表示_______________圖形表示沒有公共點無數(shù)α∥βα∩β＝l思考4．已知兩個平面有三個公共點，這兩個平面的位置關(guān)系如何？[提示]

當三個公共點共線時，兩個平面相交或重合；當三個公共點不共線時，兩個平面重合．1．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條(

)A．相交 B．異面C．相交或異面 D．平行√2．若a是平面α外的一條直線，則直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．相交C．異面 D．平行、相交或異面D

[若a∥α，則a與α內(nèi)的直線平行或異面；若a與α相交，則a與α內(nèi)的直線相交或異面．]√3．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有____組互相平行的面，與其中一個側(cè)面相交的面共有____個．4

6

[六棱柱的兩個底面互相平行，每個側(cè)面與其直接相對的側(cè)面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共由8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側(cè)面平行的面有1個，其余6個面與該側(cè)面均為相交的關(guān)系．]46關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1異面直線的判定類型2空間中直線與平面的位置關(guān)系類型3平面與平面的位置關(guān)系[證明]

假設(shè)直線AB與a在同一個平面內(nèi)，那么這個平面一定經(jīng)過點B和直線a．因為B?a，經(jīng)過點B與直線a只有一個平面α．所以直線AB與a應在平面α內(nèi)．所以A∈α，這與已知A?α矛盾．所以直線AB與a是異面直線．類型1異面直線的判定【例1】

(源自湘教版教材)如圖，已知a?α，A?α，B∈α，B?a．求證：直線AB與a是異面直線．反思領(lǐng)悟

判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)．(2)重要結(jié)論：與平面相交的直線與該平面內(nèi)不過該交點的直線是異面直線．[跟進訓練]1．(1)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面D

[如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′．故a和c可以平行、相交或異面．]√(2)如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直線中，找出與棱AA′所在直線異面的所有直線．[解]

先把長方體中和棱AA′相交或平行的棱去掉，剩下棱D′C′，B′C′，DC，BC．觀察棱BC所在直線，因為AA′?平面AB′，B∈平面AB′，B?AA′，C?平面AB′，所以直線AA′與BC是異面直線．同理，直線B′C′，D′C′，DC都與直線AA′異面．類型2空間中直線與平面的位置關(guān)系【例2】

(1)若直線上有一點在平面外，則下列結(jié)論正確的是(

)A．直線上所有的點都在平面外B．直線上有無數(shù)多個點都在平面外C．直線上有無數(shù)多個點都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個點在平面內(nèi)B

直線上有一點在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個點在平面外．√(2)下列說法中，正確的是______．①如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；②如果一條直線與一個平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線相交；③過平面外一點有且只有一條直線與已知平面平行．②

如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，所以①錯；如果一條直線與一個平面相交，那么在這個平面內(nèi)作過交點的直線都與這條直線相交，有無數(shù)條，所以②正確；對于③顯然有無數(shù)條，所以錯誤．②反思領(lǐng)悟

在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷．[跟進訓練]2．(多選)下列命題中的真命題是(

)A．若直線a不在平面α內(nèi)，則a∥αB．若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥αC．若l∥α，則直線l與平面α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點D．平行于同一平面的兩直線可以相交√√CD

[A中，直線a也可能與平面α相交，故A是假命題；B中，直線l與平面α相交時，l上也有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，故B是假命題；C中，l∥α時，l與α沒有公共點，所以l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點，故C是真命題；D中，長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，且A1C1與B1D1相交，故D是真命題．]類型3平面與平面的位置關(guān)系【例3】

(多選)以下四個命題中，正確的有(

)A．在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行B．在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行C．平面α內(nèi)△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行D．平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交√√CD

[當兩個平面相交時，一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于它們的交線，即平行另一個平面，所以AB錯誤．]反思領(lǐng)悟

判定兩個平面相交，只需找到兩個平面的一個公共點，就可根據(jù)基本事實3知，兩個不重合的平面是相交的．判定兩個平面平行，可根據(jù)定義判定兩個平面沒有公共點，也可以排除兩個平面相交和重合，從而判定兩平面平行．[跟進訓練]3．(1)如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是(

)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定C

逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．√(2)長方體各面所在平面將空間分成____部分．27

分上、中、下三個部分，每個部分分空間為9個部分，共27部分．27學習效果·課堂評估夯基礎(chǔ)0312341．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面√D

[由于空間兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面，則不平行的兩條直線的位置關(guān)系是相交或異面．]2．在三棱錐S-ABC中，與SA是異面直線的是(

)A．SB

B．SC

C．BC

D．AB1234√C

[由題圖知SB，SC，AB，AC與SA均是相交直線，BC與SA既不相交，又不平行，是異面直線．]3．若點A∈α，B?α，C?α，則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是______．1234相交[∵點A∈α，B?α，C?α，∴平面ABC與平面α有公共點，且不重合，∴平面ABC與平面α的位置關(guān)系是相交．]相交4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AA1異面的棱有______條，正方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面有______個．12344

3

[與AA1異面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4條；與AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3個．]43回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．空間中兩直線的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷它們的位置關(guān)系？[提示]

空間兩條直線有相交、平行、異面三種位置關(guān)系．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．2．空間中直線與平