2024-2025學年高二上學期期中模擬考試數(shù)學試題（北京專用范圍：空間向量與立體幾何 直線與圓 橢圓）（全解全析）

2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：空間向量與立體幾何+直線和圓的方程+橢圓。5．難度系數(shù)：0.75。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為該直線的斜率為，所以它的傾斜角為.故選:D.2．若方程表示圓，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得故，解得，故選：A3．已知空間向量，空間向量滿足且，則＝（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵，且空間向量滿足，∴可設，又，∴，得．∴，故A正確.故選：A.4．已知直線，若，則（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【詳解】因為，，所以，所以，解得或，當時，，，直線重合，不滿足要求，當時，，，直線平行，滿足要求，故選：B.5．直線與曲線恰有1個交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．或【答案】D【詳解】曲線，整理得，畫出直線與曲線的圖象，當直線與曲線相切時，則圓心到直線的距離為，可得（正根舍去），當直線過時，，如圖，直線與曲線恰有1個交點，則或.故選：D.6．若圓與相交于、兩點，則公共弦的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】圓，即，所以圓心為，半徑為，圓，即，所以圓心為，半徑為，所以兩圓圓心距為，所以兩圓相交，兩圓方程作差得到，即公共弦方程為，又圓的圓心到的距離為，所以公共弦的長為.故選：B7．一個橢圓的兩個焦點分別是，，橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，則該橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于8，故，且，故，所以橢圓的標準方程為.故選：B8．在正方體中，是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，所以設平面的法向量為，則，令，則，所以，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.9．已知圓，圓，點M，N分別是圓上的動點，點P為x軸上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記圓關于軸的對稱圓為，點關于軸的對稱點為，由題知，圓的圓心為2,3，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，由圖可知，當且僅當共線時取等號，因為，所以的最小值為.故選：B

10．如圖所示，四面體的體積為，點為棱的中點，點分別為線段的三等分點，點為線段的中點，過點的平面與棱分別交于，設四面體的體積為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接，由題意知：；令，則，，四點共面，（當且僅當時取等號），；設點到平面的距離為，則點到平面的距離為，又，，，即的最小值為.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．方程表示的圖形是.【答案】直線或單位圓【詳解】由方程即可求解.由方程可得：或，所以方程表示的曲線是直線或單位圓，故答案為：直線或單位圓.12．已知點分別是橢圓的左、右焦點，點在此橢圓上，則橢圓離心率為，的周長為.【答案】；【詳解】由已知可得，的周長為.故答案為：；.13．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形狀體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，M，N分別是的中點，，動點在線段MN上運動，若，則.

【答案】【解析】如圖，取的中點，連接AE交于點．

因為M，N分別是的中點，所以．因為平面，所以平面．因為平面EMN，所以平面平面，點在平面EMN內，所以由等和面定理可知，．故答案為：.14．已知點，點在圓上，則的取值范圍是；若與圓相切，則.【答案】【詳解】圓標準化為，圓心，半徑，，則，所以的取值范圍是，當與圓相切時，可知.故答案為：；15．已知曲線，給出下列四個命題：①曲線關于軸、軸和原點對稱；②當時，曲線共有四個交點；③當時，曲線圍成的區(qū)域內（含邊界）兩點之間的距離的最大值是；④當時，曲線圍成的區(qū)域面積大于曲線圍成的區(qū)域面積．其中所有真命題的序號是．【答案】①②③【詳解】①設點在上，對于點，代入方程，也在上；對于點，代入方程，也在上；對于點，代入方程，也在上；所以曲線關于x軸、y軸和原點對稱，正確；②聯(lián)立可得，即或，當時，都有，即存在交點；當時，都有，即存在交點；綜上，共有四個交點，正確；③當時，則，故，可得，曲線上任意一點到原點距離，當時，結合對稱性知：曲線對圍成的平面區(qū)域內（含邊界）兩點之間的距離的最大值是3，正確.④當時，對于曲線是圓心為原點，半徑為的圓，設曲線圍成的區(qū)域為，曲線圍成的區(qū)域為，設，則，故，故，故，故Px,y在的內部，故的面積不大于的面積，故④錯誤.故答案為：①②③三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（13分）求滿足下列條件的曲線方程：(1)求過點且與圓相切的直線方程；(2)求圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程.【詳解】（1）據(jù)點可設直線方程為.圓的方程可化為，故點到所求直線的距離為，從而.（4分）所以，得.這就說明或，所以所求直線的方程為或.（7分）（2）設所求圓的圓心坐標為，由于該圓與軸相切，故該圓的半徑為，所以該圓的方程是，即.（11分）而該圓被直線截得的弦長為，故該圓圓心到直線的距離為.所以，解得.故所求的圓的方程為或.（13分）17．（14分）已知以點為圓心的圓與直線相切．過點的直線與圓相交于兩點．(1)求圓的標準方程；(2)當時，求直線的方程．【詳解】（1）設圓A的半徑為r，由題意知，圓心到直線l的距離為，即，所以圓A的方程為；（5分）（2）當直線與x軸垂直時，直線方程為，即，點A到直線的距離為1，此時，符合題意；當直線與x軸不垂直時，設，即，取的中點Q，連接，則，（9分）因為，所以，（10分）又點A到直線的距離為，（12分）所以，解得，所以直線方程為．綜上，直線的方程為或．（14分）18．（13分）如圖，在三棱柱中，平面，，，.(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點到平面的距離.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，又因為，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，A0,0,0,,,,,,（5分）設平面的法向量為得，取，（9分）設直線與平面所成角為，所以.（11分）（2）因為,，設點到平面的距離為，所以.（13分）19．（15分）已知橢圓的一個焦點為，四個頂點構成的四邊形面積等于12.設圓的圓心為為此圓上一點.(1)求橢圓的離心率；(2)記線段與橢圓的交點為，求的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，且，即，解得，所以橢圓的離心率.（5分）（2）由題意，得.設，則.（8分）所以，（12分）因為，所以當時，；當時，.所以的取值范圍為.（15分）20．（15分）如圖，三棱柱中，平面平面，，過的平面交于點E，交BC于點F.

(1)求證：平面；(2)求證：四邊形為平行四邊形；(3)若，求二面角的大小.【詳解】（1）平面平面，平面平面，平面ABC，所以平面，所以，因為三棱柱中，，所以四邊形為菱形，所以,平面，平面,，所以平面；（4分）（2）因為平面，平面，所以平面，因為平面平面，平面，所以，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形；（8分）（3）在平面內，過A作.因為平面，如圖建立空間直角坐標系，

由題意得，，.因為，所以，所以.（10分）由（1）得平面的法向量為.設平面的法向量為n=x,y,z則，即，令，則，所以，（14分）所以，由圖知二面角的平面角是銳角，所以二面角的大小為45°.（15分）21．（15分）規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置．我們說球A是指該球的球心點A．兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向．所有的球都簡化為平面上半徑為1的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動．如圖：在桌面上建立平面直角坐標系，設母球A的位置為（R），目標球B的位置為，球的位置為，解決下列問題：(1)如圖①，若，沿向量的方向擊打母球A，能否使目標球B向球的球心方向運動？判斷并說明理由；(2)如圖②，若，要使目標球B向球的球心方向運動，求母球A的球心運動的直線方程；(3)如圖③，若，能否讓母球A擊打目標球B后，使目標球B向球的球心方向運動？判斷并說明理由．【詳解】（1）若時，沿向量的方向擊打母球A，則，而，所以，即兩向量同向共線，所以沿向量的方向擊打母球A，能使目標球B向球的球心方向運動；（3分）（2）若，過點B4,0