數(shù)學(xué)教材梳理平均數(shù)及其估計(jì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、平均數(shù)公式樣本數(shù)據(jù)a1,a2,…,an的平均數(shù)或均值：.在總體中抽取樣本求出樣本的平均數(shù)，這樣就可以用它來(lái)估計(jì)總體的平均水平，應(yīng)注意到樣本平均數(shù)只是總體平均數(shù)的近似。在樣本頻率分布直方圖中，平均數(shù)是直方圖的“重心"，即平衡點(diǎn)。學(xué)法一得求和符號(hào)的使用：“∑”希臘字母，表示求和的意思，讀作“西格馬",ai中i是變量，i從1到n,即a1，a2，…,an,只是一個(gè)符號(hào)，表示a1，a2,…，an相加，因此,=a1+a2+…+an,用它書寫比較方便。再如，等等。在統(tǒng)計(jì)學(xué)及高等數(shù)學(xué)中普遍使用這個(gè)符號(hào)。二、平均數(shù)的性質(zhì)（1）若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2,…,xn的平均數(shù)為，則ax1,ax2,…，axn的平均數(shù)為a;（2）若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…，xn的平均數(shù)為，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為a+b；（3）若給定的一組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn較大，直接求平均數(shù)較為煩瑣時(shí),可以將每個(gè)數(shù)據(jù)都減去常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1′，x2′，…，xn′，計(jì)算出新數(shù)據(jù)組的平均數(shù)為,則原數(shù)據(jù)組的平均數(shù)為+a；(4）若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X，N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y，則這M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是。如果兩組數(shù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的樣本平均數(shù)分別是和，那么一組數(shù)x1+y1,x2+y2，…,xn+yn的平均數(shù)是。三、眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)各自的作用（1）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，容易計(jì)算，但它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少一部分信息，顯然對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽略使得無(wú)法客觀地反映總體特征.(2）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，容易計(jì)算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息。但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。（3）由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，“越離群”的數(shù)據(jù)，對(duì)平均數(shù)的影響也越大，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì).也正因?yàn)檫@個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息。但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低.聯(lián)想發(fā)散如在體育、文藝等各種比賽的評(píng)分中，使用的是平均數(shù)，計(jì)分過(guò)程中采用“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分"的方法,就是為了防止個(gè)別裁判的人為因素而給出過(guò)高或過(guò)低的分?jǐn)?shù)，對(duì)選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量保證公平性。四、加權(quán)平均數(shù)一般地,若取值x1，x2，…,xn，其頻率分別為p1，p2，…，pn，則平均數(shù)為=x1p1+x2p2+…+xnpn。證明：設(shè)總體為n,樣本x1,x2,…，xn出現(xiàn)的次數(shù)為m1,m2，…,mn，則p1=，p2=，…,pn=，∴=x1p1+x2p2+…+xnpn.使用此公式可簡(jiǎn)化計(jì)算.典題·熱題知識(shí)點(diǎn)一樣本平均數(shù)的基本概念例1若s2=,寫出其展開式。思路分析:原式是求x1-15,x2—15，…，x10-15共10項(xiàng)的平方和的.解：s2=［(x1-15）2+(x2—15)2+…+（x10-15）2］.例2若a、b、c的平均數(shù)是x，則2a+1，2b-1,2c+3的平均數(shù)是（）A.2aB。+1C。D.2+1思路解析:[（2a+1)+(2b—1）+（2c+3）]/3=2+1.答案：D知識(shí)點(diǎn)二利用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)對(duì)總體進(jìn)行分析例3被譽(yù)為“雜交水稻之父"的中國(guó)科學(xué)院院士袁隆平，為得到良種水稻,進(jìn)行了大量的試驗(yàn)，下表是在10個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)甲、乙兩個(gè)品種的對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果：品種各試驗(yàn)點(diǎn)畝產(chǎn)量(kg)12345678910甲390409427397420482397389438432乙404386363375375430373370353412試估計(jì)哪個(gè)品種的平均產(chǎn)量更高一些?思路分析:需要計(jì)算甲、乙兩個(gè)品種的平均畝產(chǎn)量。解:甲、乙兩個(gè)品種的樣本平均數(shù)分別是=（390+409+…+432）÷10=418.1,=（404+386+…+412)÷10=384。1。由＞可以估計(jì)，甲種水稻的平均產(chǎn)量比乙種水稻的平均產(chǎn)量要高一些。巧解提示本題解法中計(jì)算平均數(shù)較繁,一般地，可以以400為常數(shù)a，所有各數(shù)分別減去400得出一組新數(shù)據(jù),再求10個(gè)新數(shù)據(jù)的平均數(shù)x′,從而求出平均數(shù)x=x′+400，這樣計(jì)算過(guò)程較為簡(jiǎn)便.例4某工廠人員及工資構(gòu)成如下表：人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)周工資2200250220200100人數(shù)16510123合計(jì)22001500110020001006900（1）指出這個(gè)問題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù);(2)在這個(gè)問題中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的工資水平嗎？為什么?思路分析：本題應(yīng)著眼于眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)各自的特點(diǎn)及適應(yīng)對(duì)象。眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).中位數(shù)是指如果將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序依次排列,當(dāng)數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，處在最中間的一個(gè)數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，處在最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商就是平均數(shù)。解:(1）由表格數(shù)據(jù)可知眾數(shù)為200?！?200+1500=3700〉1100+2000+100=3200,∴中位數(shù)為250。平均數(shù)為（2200+1500+1100+2000+100)÷23=300.（2)雖然平均數(shù)為300元/周，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可以看出，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平。誤區(qū)警示該題進(jìn)一步說(shuō)明平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,妨礙了對(duì)總體估計(jì)的可靠性，這時(shí)平均數(shù)反而不如眾數(shù)、中位數(shù)更客觀。問題·探究思想方法探究問題我們常用算術(shù)平均數(shù)〔其中ai(i=1，2，…，n)為n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)〕作為數(shù)據(jù)a1，a2,…,an的“最理想”的近似值，它的依據(jù)是什么呢？探究過(guò)程:處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原則是使這個(gè)近似值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的離差最小.設(shè)這個(gè)近似值為x，那么它與n個(gè)實(shí)驗(yàn)值ai(i=1，2,…，n)的離差分別為x-a1,x-a2，x—a3,…，x—an.由于上述離差有正有負(fù)，故不宜直接相加.可以考慮離差的平方和,即