數(shù)學教材習題點撥：3回歸分析的基本思想及其初步應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥練習1．解：畫散點圖的目的是通過變量的散點圖判斷兩個變量更近似于什么樣的函數(shù)關系，以確定是否直接用線性回歸模型來擬合原始數(shù)據(jù)．評注：在對常用的函數(shù)圖象比較了解的情況下，通過觀察散點圖可以判斷兩個變量的關系更近似于哪種函數(shù)．2．解：分析殘差可以幫助我們解決以下幾個問題：①尋找異常點，就是殘差特別大的點，考察相應的樣本數(shù)據(jù)是否有錯；②分析殘差圖可以發(fā)現(xiàn)模型選擇是否合適．評注：分析殘差是回歸診斷的一部分內容,可以幫助發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中的錯誤,分析模型選擇是否合適，是否有其他變量需要加入到模型中，模型的假設是否正確等．3．解：(1）解釋變量與預報變量的關系是線性函數(shù)的關系．(2）R2＝1.評注：如果所有的樣本點都在一條直線上,建立的線性回歸模型一定是這條直線,即此時的模型為y＝bx＋a，沒有隨機誤差項,所以是嚴格的一次函數(shù)關系．通過計算可以證明解釋變量和預報變量之間的相關系數(shù)是1,而R2恰好等于相關系數(shù)的平方．習題3。11．解：（1）由表中數(shù)據(jù)制作的散點圖如圖所示1993～2002年中國GDP散點圖從散點圖中可以看出GDP值與年份近似呈現(xiàn)線性關系．(2)用yi表示GDP值，t表示年份．根據(jù)截距和斜率的最小二乘計算公式得≈－14292537.73，≈7191.969，從而得線性回歸方程＝7191。969t－14292537.73.殘差計算結果見下表．GDP值與年份線性擬合殘差表年份1993199419951996殘差－6422。087－1489.0563037。6755252。206年份1997199819992000殘差4638.2371328。868－2140。801－1932.17年份20012002殘差－1277。439－993。608(3）2003年的GDP預報值為112976。2億元，根據(jù)國家統(tǒng)計局2004年的統(tǒng)計，2003年實際GDP值為117251。9億元，預報與實際相差4275.7億元．（4）上面建立的回歸方程的R2＝0。974,說明年份能夠解釋97％的GDP值變化,因此所建立的模型能夠很好地刻畫GDP和年份的關系．2．提示:該題目的結果與具體的數(shù)據(jù)有關,不作統(tǒng)一答案．3．解：由表中數(shù)據(jù)得散點圖如圖所示．從散點圖中可以看出震級x與地震數(shù)N之間不具有線性相關關系．從圖中可以看出，隨著x的減少,所考察的地震數(shù)N近似地以指數(shù)函數(shù)圖象的形式增長．做變換y＝lgN，得到的數(shù)據(jù)見下表:x3.03。23.43。63。84。0y4.4534。3094。1704。0293。8833。741x4。24。44。64。85。05.2y3.5853.4313。2833。1322.9882。873x5。45.65.86。06.26。4y2.7812.6382.4382.3142.1701。991x6.66.87。0y1.7561.6131。398x和y的散點圖如圖所示．從這個散點圖可以看出x和y之間有很強的線性相關性,因此可以用線性回歸模型擬合它們之間的關系．根據(jù)截距和斜率的最小二乘計算公式得＝6。7013，＝－0.7405，從而線性回歸方程為＝6。7013－0.7405x