數(shù)學(xué)教材習(xí)題點撥：第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點撥復(fù)習(xí)參考題A組1．解:（1)3；（2)y＝－4.2．解:(1)y′＝eq\f(2sinxcosx＋2x,cos2x)；(2)y′＝3(x－2）2(3x＋1)（5x－3）；(3)y′＝2x·ln2·lnx＋eq\f（2x,x)；（4）y′＝eq\f（2x－2x2,2x＋14)。3．解：F′＝－eq\f（2GMm，r3)。4．解:（1）f′(t)＜0。因為紅茶的溫度在下降．(2)f′（3）＝－4表明在3min附近時，紅茶溫度約以4℃/min的速率下降．圖略．5．解：因為f(x)＝eq\r（3,x2),所以f′(x)＝eq\f(2,3\r（3，x）).當(dāng)f′（x)＝eq\f（2,3\r（3，x))＞0，即x＞0時,f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)f′（x)＝eq\f(2,3\r(3，x）)＜0，即x＜0時，f（x)單調(diào)遞減．6．解：因為f(x）＝x2＋px＋q，所以f′(x）＝2x＋p.當(dāng)f′（x)＝2x＋p＝0，即x＝－eq\f（p,2)＝1時，f（x）有最小值．由－eq\f（p,2）＝1，得p＝－2.又因為f(1)＝1－2＋q＝4，所以q＝5。7．解：因為f(x)＝x（x－c)2＝x3－2cx2＋c2x,所以f′(x）＝3x2－4cx＋c2＝(3x－c)(x－c)．當(dāng)f′(x)＝0,即x＝eq\f（c,3)或x＝c時，函數(shù)f(x)＝x（x－c)2可能有極值．由題意，當(dāng)x＝2時,函數(shù)f(x）＝x（x－c)2有極大值，所以c＞0。由于xeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(c，3））)eq\f（c,3)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(c，3)，c))c（c，＋∞）f′（x)＋0－0＋f（x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，當(dāng)x＝eq\f（c，3）時,函數(shù)f(x）＝x(x－c)2有極大值．此時，eq\f（c，3）＝2，c＝6。8．解：設(shè)當(dāng)點A的坐標(biāo)為(a，0）時,△AOB的面積最?。驗橹本€AB過點A(a,0），P（1，1）,所以直線AB的方程為eq\f（y－0,1－0)＝eq\f(x－a,1－a），即y＝eq\f（1,1－a）（x－a)．當(dāng)x＝0時,y＝eq\f（a,a－1)，即點B的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f（a,a－1）））。因此，△AOB的面積S△AOB＝S（a）＝eq\f（1,2)a·eq\f（a,a－1)＝eq\f(a2,2a－1）.令S′(a)＝0,即S′（a)＝eq\f(1，2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(a2－2a,a－12)））＝0。當(dāng)a＝0或a＝2時，S′(a）＝0，a＝0不符合題意舍去．由于x(0,2）2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以,當(dāng)a＝2,即直線AB的傾斜角為135°時，△AOB的面積最小，最小面積為2。9．D10．解：設(shè)底面一邊的長為xm，另一邊的長為（x＋0.5）m．因為鋼條長為14。8m，所以長方體容器的高為eq\f(14。8－4x－4x＋0。5,4）＝eq\f(12。8－8x,4)＝3。2－2x.設(shè)容器的容積為V，則V＝V(x)＝x(x＋0。5）(3。2－2x）＝－2x3＋2.2x2＋1。6x,0＜x＜1.6。令V′(x）＝0，即－6x2＋4。4x＋1。6＝0，所以，x＝－eq\f(4,15)（舍去），或x＝1。容易知道，x＝1是函數(shù)V(x)的唯一極值點，且為極大值點,從而是最大值點．因此，長方體容器的高為1m時，容器最大，最大容積為1×1.5×1.2＝1。8m311．解:設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為100＋x時，旅行社收費為y＝f(x）＝(100＋x)（1000－5x)＝－5x2＋500x＋100000,0≤x≤80，x∈N。令f′（x)＝0，即－10x＋500＝0，所以x＝50.容易知道，x＝50是函數(shù)f（x)在［0，80]內(nèi)的唯一極值點，且為極大值點,從而是最大值點．所以,當(dāng)x＝50時，f(x）有最大值．因此，旅游團(tuán)人數(shù)為150時，可使旅行社收費最多．12．解:設(shè)打印紙的長為xcm時，可使其打印面積最大．因為打印紙的面積為623。7，長為x，所以寬為eq\f（623。7,x），打印面積S（x)＝（x－2×2。54)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（623。7，x)－2×3.17）)＝655。9072－6。34x－eq\f(3168。396,x)，5.08＜x＜98。38。令S′（x)＝0，即6.34－eq\f（3168.396,x2）＝0，解之，得x≈22.4（負(fù)值舍去)，eq\f（623.7,22。4)≈27。89.容易知道，函數(shù)S(x)在(5.08，98。38）內(nèi)取得唯一極值，且為極大值，從而是最大值．答：打印紙的長、寬分別約為27。89cm、22.36cm時，可使其打印面積最大．13．解：設(shè)每年養(yǎng)q頭豬時，總利潤為y元．則y＝R（q)－20000－100q＝－eq\f（1，2)q2＋300q－20000,0＜q≤400，q∈N。令y′＝0,即－q＋300＝0，q＝300。容易知道，q＝300是函數(shù)在(0,400］上的唯一極值點,且為極大值點，從而是最大值點．當(dāng)q＝300時，y＝－eq\f（1,2）×3002＋3002－20000＝25000（元）．答：每年養(yǎng)300頭豬時可使總利潤最大，最大總利潤為25000元．14．解：(1）2eq\r（3）－2；(2）2e－2;(3)1；(4）原式;(5)原式。15．解：（1)如圖（1)所示,在x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f（π,2)，\f（π,2）))內(nèi),cosx的圖形關(guān)于y軸對稱，所以.（1）（2)(2)如圖（2）所示，在x∈［－π,π]內(nèi)，sinx的圖形關(guān)于原點對稱，所以eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（π,－π）sinθdθ＝eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(0,－π)sinθdθ＋eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（π,0)sinθdθ＝0。16．解：S＝2eq\r(2）－2.17．解：由F＝kl，得0.049＝0.01k.解之，得k＝4.9。所做的功為W＝eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(0。3,0。1）4。9ldl＝4。9×eq\f（l2,2)|eq\o\al（0.3,0。1）＝0。196(J)．B組1．解:（1)b′(t)＝104－2×103t。所以,細(xì)菌在t＝5與t＝10時的瞬時速度分別為0和－104。（2）當(dāng)0≤t＜5時,b′（t)＞0,所以細(xì)菌在增加；當(dāng)5＜t＜16時，b′(t）＜0，所以細(xì)菌在減少．2．解：設(shè)扇形的半徑為r，中心角為α弧度時，扇形的面積為S。由l－2r＝αr，得α＝eq\f（l,r)－2。所以S＝eq\f（1，2）αr2＝eq\f（1，2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（l，r)－2))r2＝eq\f(1，2)(lr－2r2)，0＜r＜eq\f（l,2).令S′＝0，即l－4r＝0，r＝eq\f（l，4),此時α為2弧度．容易得到，r＝eq\f（l,4)是函數(shù)S＝eq\f(1，2)αr2在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（l,2））)內(nèi)的唯一極值點，且為極大值點，從而是最大值點．答：扇形的半徑為eq\f（l,4),中心角為2弧度時,扇形的面積最大．3．解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r2＋h2＝R2，因此V＝eq\f（1，3)πr2h＝eq\f（1,3)π（R2－h(huán)2)h＝eq\f(1，3）πR2h－eq\f(1，3）πh3,0＜h＜R.令V′＝eq\f(1,3）πR2－πh2＝0，解得h＝eq\f(\r（3）,3）R。容易知道,V(h）在(0，R)內(nèi)只有一個極值，且為極大值，從而是最大值．所以當(dāng)h＝eq\f（\r(3），3)R時,容積最大．把h＝eq\f(\r(3)，3)R代入r2＋h2＝R2，得r＝eq\f(\r（6),3)R.由Rα＝2πr,得α＝eq\f（2\r(6），3）π時，容積最大．答：扇形的圓心角α＝eq\f(2\r(6)，3）π時，容器的容積最大．4．解：由于80＝k×102，所以k＝eq\f（4,5）。設(shè)船速為xkm/h時,總費用為y，則y＝eq\f（4，5)x2×eq\f（20,x)＋eq\f(20，x）×480＝16x＋eq\f(9600，x)。令y′＝0，即16－eq\f（9600，x2）＝0，x≈24.容易得到，函數(shù)y在（0，＋∞）內(nèi)有唯一值，且為極小值，從而是最小值．當(dāng)x＝24時，16×24＋eq\f（9600，24)＝784（元），784÷eq\f(20，24）≈940(元）．答：船速約為24km/h時，總費用最少，此時每小時費用約為940元．5．解：設(shè)汽車以xkm/h行駛時，行車的總費用y＝eq\f（130，x）(3＋eq\f（x2，360)）×3＋eq\f（130,x）×14,50≤x≤100.令y′＝0,解得x≈53（km/h）．此時，y≈114(元）．容易看出，函數(shù)y在[50，100]內(nèi)有唯一極值，且為極小值，從而是最小值．答：最經(jīng)濟的車速約為53km/h；如果不考慮其他費用,這次行車的總費用約是114元．6．解:原式。7．解：解方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx，,y＝x－x2，)）得直線y＝kx與拋物線y＝x－x2交點的橫坐標(biāo)為x＝0，1－k.拋物線與x軸所圍圖形的面積S＝eq\i\in（0,1,）(x－x2)dx＝(eq\f(x2,2)－eq\f（x3，3）)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2）－eq\f（1，3)＝eq\f(1,6）.由題設(shè)得eq\f（S,2)＝∫eq\o\al（1－k，0）（x－x2)dx－∫eq\o\al(1－k，0)kxdx＝∫eq\o\al（1－k，0)（x－x2－kx）dx＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1－k,2)x2－\f(x3,3)）)|eq\o\a