人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)專題14.4整式的混合運(yùn)算與化簡求值(重點(diǎn)題專項(xiàng)講練)專題特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題14.4整式的混合運(yùn)算與化簡求值【典例1】若整式A只含有字母x，且A的次數(shù)不超過3次，令A(yù)＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d為整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義：M（b+d，a+b+c+d）為整式A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，我們規(guī)定次數(shù)超過3次的整式?jīng)]有關(guān)聯(lián)點(diǎn)．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，則a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，1）．（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，則A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，若整式C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），求整式B的表達(dá)式．（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多項(xiàng)式，整式F是整式D與整式E的平方的乘積，若整式F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），請直接寫出整式E的表達(dá)式．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)整式A得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意得出B中x的次數(shù)為1次，設(shè)B＝nx+m，計(jì)算出C＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，進(jìn)而表達(dá)出a，b，c，d的值，再根據(jù)C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；（3）設(shè)E＝nx+m，根據(jù)題意求出F＝n2x3+（2mm﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，進(jìn)而表達(dá)出a，b，c，d的值，再根據(jù)F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．【解題過程】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，4），故笞案為：（5，4）；（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是二次多項(xiàng)式，且C的次數(shù)不能超過3次，∴B中x的次數(shù)為1次，∴設(shè)B＝nx+m，∴C＝（nx+m）（x2﹣4）＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，∵整式C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），∴m﹣4m＝6，n+m﹣4n﹣4m＝﹣3，解得：m＝﹣2，n＝3，∴B＝3x﹣2；（3）根據(jù)題意：設(shè)E＝nx+m，∴F＝（nx+m）2（x﹣3）＝（n2x2+2mnx+m2）（x﹣3）＝n2x3+（2mn﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，∴a＝n2，b＝2mn﹣3n2，c＝m2﹣6mn，d＝﹣3m2，∵整式F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），∴2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200，n2+2mn﹣3n2+m2﹣6mn﹣3m2＝0，n2+2mn+m2＝0，（m+n）2＝0，∴m＝﹣n，把m＝﹣n代入2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200得：﹣2n2﹣3n2﹣3n2＝﹣200，解得：n2＝25，∴n＝±5，m＝±5，∴E＝5x﹣5或E＝﹣5x+5．1．（真題?和平區(qū)期末）下列計(jì)算正確的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+82．（2020春?長安區(qū)校級期末）若x2﹣4x﹣1＝0，則代數(shù)式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值為（）A．3 B．4 C．1 D．03．已知a2+2ab+b2＝0，那么代數(shù)式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值為（）A．0 B．2 C．4 D．64．（真題?張掖期末）如圖，正方體的每一個(gè)面上都有一個(gè)正整數(shù)，已知相對的兩個(gè)面上兩數(shù)之和都相等．如果13、9、3對面的數(shù)分別為a、b、c，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（）A．48 B．76 C．96 D．1525．（2021春?越秀區(qū)校級期末）已知x1，x2，…，x2021均為正數(shù)，且滿足M＝（x1+x2+…+x2020）（x2+x3+……+x2021），N＝（x1+x2+…+x2021）（x2+x3+…+x2020），則M，N的大小關(guān)系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N6．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，在長方形ABCD中放入一個(gè)邊長為8的大正方形ALMN和兩個(gè)邊長為6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3個(gè)陰影部分的面積滿足2S3+S1﹣S2＝2，則長方形ABCD的面積為（）A．100 B．96 C．90 D．867．（真題?晉中期中）圖1是兩張全等的矩形紙片，先后按如圖2、圖3（圖中的陰影部分）所示的方式放置在同一個(gè)正方形中．若知道圖形B與圖形E（兩個(gè)矩形的公共部分）的面積差，則一定能求出（）A．圖形A與圖形C的周長和 B．圖形D與圖形F的周長和 C．圖形B與圖形E的周長和 D．圖形D與圖形F的周長差8．（真題?江岸區(qū)期末）某種產(chǎn)品的原料提價(jià)，因而廠家決定對產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，現(xiàn)有3種方案：①第一次提價(jià)m%，第二次提價(jià)n%；②第一次提價(jià)n%，第二次提價(jià)m%；③第一次、第二次提價(jià)均為m+n2%．其中m和nA．方案（1）提價(jià)最多 B．方案（2）提價(jià)最多 C．方案（3）提價(jià)最多 D．三種方案提價(jià)一樣多9．（2021春?高州市月考）對于任意實(shí)數(shù)（a，b）?（c，d），規(guī)定（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc，則當(dāng)x2﹣3x+2＝0時(shí)，（x﹣1，x）?（4﹣x，x﹣1）＝．10．（2021春?賀蘭縣期中）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝．11．（2021春?茌平區(qū)期末）已知（x+a）（x?32）的結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值為12．（真題?江岸區(qū)期中）如圖所示，四邊形ABCD、DEFG、HFJI均為正方形，點(diǎn)G在線段BI上，若DG＝a，則△BEI的面積為（用含a的式子表示）．13．（2021春?東平縣期末）計(jì)算：（1）（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）﹣（x+2y+1）（x﹣2y﹣1）；（2）[（x﹣3y）（x+3y）+（3y﹣x）2]÷（﹣2x）．14．（真題?德城區(qū)校級月考）先化簡，再求值：（1）[2x（x2y﹣xy2）+xy（xy﹣x2）]÷（x2y），其中x＝2016，y＝2015．（2）32（x+y+z）2+32（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣3z（x+y），其中x+y15．（2021春?順德區(qū)期末）已知a＝（2x﹣3y）2﹣（3y﹣1）（3y+1），b=(8（1）化簡a和b；（2）若ab＝40，求a2+b2．16．（2021春?招遠(yuǎn)市期中）閱讀：計(jì)算：（12?13）（2+1解：設(shè)t=1則原式＝t（t+2）﹣（1+t）2+2＝t2+2t﹣（1+2t+t2）+2＝1．請按照上述的解題思路，解答下列問題：計(jì)算：（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a．17．（2020?武侯區(qū)校級開學(xué)）對于任意有理數(shù)a，b，c，d，我們規(guī)定abcd=a2+d（1）對于有理數(shù)x，y，k，若2xkx?2yy（2）對于有理數(shù)x，y，若2x+y＝4，3x+y2x218．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，一個(gè)長方形中剪下兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示），留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）．（1）用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．（2）若y＝3x＝21米，“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米20元的草坪，請計(jì)算草坪的造價(jià)．19．（2021春?廬陽區(qū)校級期中）在長方形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當(dāng)AD﹣AB＝42時(shí)，求S2﹣S1的值（用含a、b的代數(shù)式表示）．20．（真題?奉賢區(qū)期中）圖1是一個(gè)長方形窗戶ABCD，它是由上下兩個(gè)長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個(gè)小窗戶上各安裝了一個(gè)可以朝一個(gè)方向水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個(gè)遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時(shí)（如圖1），窗戶的透光面積就是整個(gè)長方形窗戶（長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平方向向左拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶的遮陽簾水平方向向右拉伸2b時(shí)，恰好與GH在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．（1）求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如果上面窗戶的遮陽簾保持不動(dòng)，將下面窗戶的遮陽簾繼續(xù)水平方向向右拉伸b至PQ時(shí)，求此時(shí)窗戶透光的面積（即圖中空白部分的面積）為多少？（用含a、b的代數(shù)式表示）（3）如果上面窗戶的遮陽簾保持不動(dòng)，當(dāng)下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點(diǎn)處時(shí)，請通過計(jì)算比較窗戶的透光的面積與被遮陽簾遮住的面積的大?。畬ｎ}14.4整式的混合運(yùn)算與化簡求值【典例1】若整式A只含有字母x，且A的次數(shù)不超過3次，令A(yù)＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d為整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義：M（b+d，a+b+c+d）為整式A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，我們規(guī)定次數(shù)超過3次的整式?jīng)]有關(guān)聯(lián)點(diǎn)．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，則a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，1）．（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，則A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，若整式C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），求整式B的表達(dá)式．（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多項(xiàng)式，整式F是整式D與整式E的平方的乘積，若整式F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），請直接寫出整式E的表達(dá)式．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)整式A得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意得出B中x的次數(shù)為1次，設(shè)B＝nx+m，計(jì)算出C＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，進(jìn)而表達(dá)出a，b，c，d的值，再根據(jù)C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；（3）設(shè)E＝nx+m，根據(jù)題意求出F＝n2x3+（2mm﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，進(jìn)而表達(dá)出a，b，c，d的值，再根據(jù)F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），列出關(guān)于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．【解題過程】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，4），故笞案為：（5，4）；（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是二次多項(xiàng)式，且C的次數(shù)不能超過3次，∴B中x的次數(shù)為1次，∴設(shè)B＝nx+m，∴C＝（nx+m）（x2﹣4）＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，∵整式C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），∴m﹣4m＝6，n+m﹣4n﹣4m＝﹣3，解得：m＝﹣2，n＝3，∴B＝3x﹣2；（3）根據(jù)題意：設(shè)E＝nx+m，∴F＝（nx+m）2（x﹣3）＝（n2x2+2mnx+m2）（x﹣3）＝n2x3+（2mn﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，∴a＝n2，b＝2mn﹣3n2，c＝m2﹣6mn，d＝﹣3m2，∵整式F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），∴2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200，n2+2mn﹣3n2+m2﹣6mn﹣3m2＝0，n2+2mn+m2＝0，（m+n）2＝0，∴m＝﹣n，把m＝﹣n代入2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200得：﹣2n2﹣3n2﹣3n2＝﹣200，解得：n2＝25，∴n＝±5，m＝±5，∴E＝5x﹣5或E＝﹣5x+5．1．（真題?和平區(qū)期末）下列計(jì)算正確的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8【思路點(diǎn)撥】直接利用平方差公式以及完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式分別計(jì)算，進(jìn)而判斷得出答案．【解題過程】解：A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此選項(xiàng)不合題意；B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，故此選項(xiàng)不合題意；C．（a+2）2＝a2+4a+4，故此選項(xiàng)不合題意；D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（2020春?長安區(qū)校級期末）若x2﹣4x﹣1＝0，則代數(shù)式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值為（）A．3 B．4 C．1 D．0【思路點(diǎn)撥】利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算法則和完全平方公式先算乘方和乘法，然后再算加減，最后整體代入求值．【解題過程】解：原式＝2x2﹣6x﹣（x2﹣2x+1）+3＝2x2﹣6x﹣x2+2x﹣1+3＝x2﹣4x+2，又∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴原式＝1+2＝3，故選：C．3．已知a2+2ab+b2＝0，那么代數(shù)式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值為（）A．0 B．2 C．4 D．6【思路點(diǎn)撥】直接利用乘法公式化簡，再利用整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，把（a+b）＝0代入得出答案．【解題過程】解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）＝a2+4ab﹣（a2﹣4b2）＝a2+4ab﹣a2+4b2＝4ab+4b2，∵a2+2ab+b2＝0，∴（a+b）2＝0，則a+b＝0，故原式＝4b（a+b）＝0．故選：C．4．（真題?張掖期末）如圖，正方體的每一個(gè)面上都有一個(gè)正整數(shù)，已知相對的兩個(gè)面上兩數(shù)之和都相等．如果13、9、3對面的數(shù)分別為a、b、c，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（）A．48 B．76 C．96 D．152【思路點(diǎn)撥】本題須先求出a﹣b＝﹣4，b﹣c＝﹣6，c﹣a＝10，再通過對要求的式子進(jìn)行化簡整理，代入相應(yīng)的值即可求出結(jié)果．【解題過程】解：∵正方體的每一個(gè)面上都有一個(gè)正整數(shù)，相對的兩個(gè)面上兩數(shù)之和都相等，∴a+13＝b+9＝c+3，∴a﹣b＝﹣4，b﹣c＝﹣6，c﹣a＝10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca==(a?b故選：B．5．（2021春?越秀區(qū)校級期末）已知x1，x2，…，x2021均為正數(shù)，且滿足M＝（x1+x2+…+x2020）（x2+x3+……+x2021），N＝（x1+x2+…+x2021）（x2+x3+…+x2020），則M，N的大小關(guān)系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，不妨設(shè)x2+x3…+x2020＝a，然后即可將M和N化簡，再作差比較大小即可．【解題過程】解：設(shè)x2+x3…+x2020＝a，∴M＝（x1+a）（a+x2021），N＝（x1+a+x2021）?a，∴M﹣N＝（x1+a）（a+x2021）﹣（x1+a+x2021）?a＝ax1+x1x2021+a2+ax2021﹣ax1﹣a2﹣ax2021＝x1x2021，∵x1，x2，…，x2021均為正數(shù)，∴x1x2021＞0，∴M﹣N＞0，∴M＞N，故選：B．6．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，在長方形ABCD中放入一個(gè)邊長為8的大正方形ALMN和兩個(gè)邊長為6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3個(gè)陰影部分的面積滿足2S3+S1﹣S2＝2，則長方形ABCD的面積為（）A．100 B．96 C．90 D．86【思路點(diǎn)撥】設(shè)長方形ABCD的長為a，寬為b，則由已知及圖形可得S1，S2，S3的長、寬及面積如何表示，根據(jù)2S3+S1﹣S2＝2，可整體求得ab的值，即長方形ABCD的面積．【解題過程】解：設(shè)長方形ABCD的長為a，寬為b，則由已知及圖形可得：S1的長為：8﹣6＝2，寬為：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），S2的長為：，8+6﹣a＝14﹣a，寬為：6+6﹣b＝12﹣b，故S2＝（14﹣a）（12﹣b），S3的長為：a﹣8，寬為：b﹣6，故S3＝（a﹣8）（b﹣6），∵2S3+S1﹣S2＝2，∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，∴ab﹣88＝2，∴ab＝90．故選：C．7．（真題?晉中期中）圖1是兩張全等的矩形紙片，先后按如圖2、圖3（圖中的陰影部分）所示的方式放置在同一個(gè)正方形中．若知道圖形B與圖形E（兩個(gè)矩形的公共部分）的面積差，則一定能求出（）A．圖形A與圖形C的周長和 B．圖形D與圖形F的周長和 C．圖形B與圖形E的周長和 D．圖形D與圖形F的周長差【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意設(shè)矩形較長的一邊為x，較短的一邊為y，正方形的邊長為a，先用字母表示出圖形B、E的面積，根據(jù)題意得到（x﹣y）為已知，再用字母分別表示出圖形A、B、C、D、E、F的周長，進(jìn)行計(jì)算即可得出正確的選項(xiàng)．【解題過程】解：設(shè)矩形較長的一邊為x，較短的一邊為y，正方形的邊長為a，圖形B的面積＝（2x﹣a）（2y﹣a）＝（4xy﹣2ax﹣2ay+a2），圖形E的面積＝（x+y﹣a）（x+y﹣a）＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay），∴圖形B與圖形E的面積差＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay）﹣（4xy﹣2ax﹣2ay+a2）＝（x2+y2﹣2xy）＝（x﹣y）2，圖形B的周長＝2（2x﹣a）+2（2y﹣a）＝4x+4y﹣4a，圖形E的周長＝2（x+y﹣a）+2（x+y﹣a）＝4x+4y﹣4a，∴圖形B與圖形E的周長和＝（4x+4y﹣4a）+（4x+4y﹣4a）＝8x+8y﹣8a，故C選項(xiàng)不符合題意；圖形A的周長＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，圖形C的周長＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，∴圖形A與圖形C的周長和＝4a﹣2y﹣2x+4a﹣2y﹣2x＝8a﹣4y﹣4x，故A選項(xiàng)不符合題意；圖形D的周長＝4（a﹣x），圖形F的周長＝4（a﹣y），∴圖形D與圖形F的周長和＝4（a﹣x）+4（a﹣y）＝8a﹣4y﹣4x，故B選項(xiàng)不符合題意；∴圖形D與圖形F的周長差＝4（a﹣x）﹣4（a﹣y）＝4（y﹣x），又∵圖形B與圖形E的面積差＝（x﹣y）2，為已知，即（x﹣y）為已知，故D選項(xiàng)符合題意，故選：D．8．（真題?江岸區(qū)期末）某種產(chǎn)品的原料提價(jià)，因而廠家決定對產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，現(xiàn)有3種方案：①第一次提價(jià)m%，第二次提價(jià)n%；②第一次提價(jià)n%，第二次提價(jià)m%；③第一次、第二次提價(jià)均為m+n2%．其中m和nA．方案（1）提價(jià)最多 B．方案（2）提價(jià)最多 C．方案（3）提價(jià)最多 D．三種方案提價(jià)一樣多【思路點(diǎn)撥】方案（1）和（2）顯然相同，用方案（3）的單價(jià)減去方案（1）的單價(jià)，利用完全平方公式及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則化簡，去括號合并后再利用完全平方公式變形，根據(jù)m不等于n判定出其差為正數(shù)，進(jìn)而確定出方案3的提價(jià)多．【解題過程】解：設(shè)m%＝a，n%＝b，則提價(jià)后三種方案的價(jià)格分別為：方案1：（1+a）（1+b）＝（1+a+b+ab）；方案2：（1+a）（1+b）＝（1+a+b+ab）；方案3：（1+a+b2）2＝（1+a+b（1+a+b+a2+2ab+b24）﹣（1+＝1+a+b+a2+2ab+b24?=a=14（a﹣b）∵m和n是不相等的正數(shù)，∴a≠b，∴14（a﹣b）2∴方案（3）提價(jià)最多．故選：C．9．（2021春?高州市月考）對于任意實(shí)數(shù)（a，b）?（c，d），規(guī)定（a，b）?（c，d）＝ad﹣bc，則當(dāng)x2﹣3x+2＝0時(shí)，（x﹣1，x）?（4﹣x，x﹣1）＝．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)新定義運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后將x2﹣3x+2＝0代入原式即可求出答案．【解題過程】解：原式＝（x﹣1）2﹣x（4﹣x）＝x2﹣2x+1﹣4x+x2＝2x2﹣6x+1，∵x2﹣3x+2＝0，∴x2﹣3x＝﹣2，∴原式＝2（x2﹣3x）+1＝2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3．故答案為：﹣3．10．（2021春?賀蘭縣期中）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)立方和公式變形，再將已知條件整體代入即可．【解題過程】解：∵x+y＝1，∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．故答案為：4．11．（2021春?茌平區(qū)期末）已知（x+a）（x?32）的結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值為【思路點(diǎn)撥】先求出a的值，再根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則算乘法，再合并同類項(xiàng)，最后求出答案即可．【解題過程】解：（x+a）（x?3＝x2?32x+ax＝x2+（?32+a）x∵（x+a）（x?32）的結(jié)果中不含∴?32解得：a=3（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）＝a2+4a+4+a+1﹣a2﹣a＝4a+5，當(dāng)a=32時(shí)，原式＝4故答案為：11．12．（真題?江岸區(qū)期中）如圖所示，四邊形ABCD、DEFG、HFJI均為正方形，點(diǎn)G在線段BI上，若DG＝a，則△BEI的面積為（用含a的式子表示）．【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方形ABCD、HFJI的邊長分別為x和y，然后利用割補(bǔ)法表示出陰影部分面積，從而結(jié)合去括號，合并同類項(xiàng)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡計(jì)算．【解題過程】解：設(shè)正方形ABCD、HFJI的邊長分別為x和y，∴S△BEI＝S正方形ABCD+S正方形DEFG+S正方形HFJI+S△BCE﹣S△ABG﹣S△HGI﹣S△EJI＝x2+a2+y2+12x（a﹣x）?12x（x+a）?12y（y﹣a）?＝x2+a2+y2+12xa?12x2?12x2?12xa?1＝a2，故答案為：a2．13．（2021春?東平縣期末）計(jì)算：（1）（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）﹣（x+2y+1）（x﹣2y﹣1）；（2）[（x﹣3y）（x+3y）+（3y﹣x）2]÷（﹣2x）．【思路點(diǎn)撥】（1）先利用平方差公式計(jì)算乘法，然后再去括號，最后合并同類項(xiàng)；（2）先利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算乘方和乘法，然后再計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．【解題過程】解：（1）原式＝[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]﹣[x+（2y+1）][x﹣（2y+1）]＝[x2﹣（2y﹣1）2]﹣[x2﹣（2y+1）2]＝[x2﹣（4y2﹣4y+1）]﹣[x2﹣（4y2+4y+1）]＝（x2﹣4y2+4y﹣1）﹣（x2﹣4y2﹣4y﹣1）＝x2﹣4y2+4y﹣1﹣x2+4y2+4y+1＝8y；（2）原式＝（x2﹣9y2+9y2﹣6xy+x2）÷（﹣2x）＝（2x2﹣6xy）÷（﹣2x）＝﹣x+3y．14．（真題?德城區(qū)校級月考）先化簡，再求值：（1）[2x（x2y﹣xy2）+xy（xy﹣x2）]÷（x2y），其中x＝2016，y＝2015．（2）32（x+y+z）2+32（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣3z（x+y），其中x+y【思路點(diǎn)撥】（1）先算乘法，再合并同類項(xiàng)，算除法，最后代入求出即可；（2）先算乘法，再合并同類項(xiàng)，算除法，最后代入求出即可．【解題過程】解：（1）原式＝（2x3y﹣2x2y2+x2y2﹣x3y）÷（x2y）＝（x3y﹣x2y2）÷（x2y）＝x﹣y，當(dāng)x＝2016，y＝2015時(shí)，原式＝2016﹣2015＝1；（2）原式=32[（x+y）+z]2+32[（x+y）2﹣z2=32（x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz）+32（x2﹣2xy+y2﹣z2=32x2+32y2+32z2+3xy+3xz+3yz+32x2﹣3xy+3＝3x2+3y2＝3（x2+y2），因?yàn)閤+y＝5，xy＝4所以x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×4＝25﹣8＝17，所以原式＝3×17＝51．15．（2021春?順德區(qū)期末）已知a＝（2x﹣3y）2﹣（3y﹣1）（3y+1），b=(8（1）化簡a和b；（2）若ab＝40，求a2+b2．【思路點(diǎn)撥】（1）化簡a，先根據(jù)乘法公式計(jì)算乘方和乘法，然后再計(jì)算；化簡b，用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算求解；（2）先求得a﹣b，然后利用完全平方公式計(jì)算求解．【解題過程】解：（1）a＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9y2﹣1）＝4x2﹣12xy+9y2﹣9y2+1＝4x2﹣12xy+1；b=＝4x2﹣12xy﹣4；（2）a﹣b＝4x2﹣12xy+1﹣（4x2﹣12xy﹣4）＝4x2﹣12xy+1﹣4x2+12xy+4＝5，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×40＝25+80＝105．16．（2021春?招遠(yuǎn)市期中）閱讀：計(jì)算：（12?13）（2+1解：設(shè)t=1則原式＝t（t+2）﹣（1+t）2+2＝t2+2t﹣（1+2t+t2）+2＝1．請按照上述的解題思路，解答下列問題：計(jì)算：（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a．【思路點(diǎn)撥】把2a2﹣ab看作一個(gè)整體，設(shè)m＝2a2﹣ab，利用換元即可求解．【解題過程】解：設(shè)m＝2a2﹣ab，則（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a＝（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣ab+2a2）＝（m+2）（m﹣2）﹣（m+1）2+2m＝m2﹣4﹣（m2+2m+1）+2m＝m2﹣4﹣m2﹣2m﹣1+2m＝﹣5．17．（2020?武侯區(qū)校級開學(xué)）對于任意有理數(shù)a，b，c，d，我們規(guī)定abcd=a2+d（1）對于有理數(shù)x，y，k，若2xkx?2yy（2）對于有理數(shù)x，y，若2x+y＝4，3x+y2x2【思路點(diǎn)撥】（1）利用新定義運(yùn)算列出算式并化簡，然后利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)分析求解；（2）利用新定義運(yùn)算列出等式并化簡，然后利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形計(jì)算求解．【解題過程】解：（1）原式＝（2x）2+y2﹣（﹣2y）?kx＝4x2+2kxy+y2，∵原式是一個(gè)完全平方式，∴4x2+2kxy+y2＝（2x±y）2，∴2k＝±2×2×1＝±4，解得：k＝±2，∴k的值為±2；（2）2x＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝4x2+y2，∴4x2+y2＝18，又∵4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝18，且2x+y＝4，∴42﹣4xy＝18，解得：xy=?1∴xy的值為?118．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，一個(gè)長方形中剪下兩個(gè)大小相同的正方形（有關(guān)線段的長如圖所示），留下一個(gè)“T”型的圖形（陰影部分）．（1）用含x，y的代數(shù)式表示“T”型圖形的面積并化簡．（2）若y＝3x＝21米，“T”型區(qū)域鋪上價(jià)格為每平方米20元的草坪，請計(jì)算草坪的造價(jià)．【思路點(diǎn)撥】（1）用大長方形面積減去兩個(gè)小正方形面積；（2）先求出x，然后將x、y的值代入即可．【解題過程】解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2＝2x2+5xy；（2）∵y＝3x＝21，∴x＝7，2x2+5xy＝2×49+5×7×21＝833（平方米）20×833＝16660（元）答：草坪的造價(jià)為16660元．19．（2021春?廬陽區(qū)校級期中）在長方形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當(dāng)AD﹣AB＝42時(shí)，求S2﹣S1的值（用含a、b的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】設(shè)AB＝x，則AD＝x+42，根據(jù)圖形得出S2﹣S2＝[（x﹣a）（x+42﹣b）+（x+42﹣a）a]﹣[（x+42）（x﹣a）+（x+42﹣a）